Questions de cours · 21 notions

Géométrie plane : les questions de cours du brevet

Hauteur, médiatrice, Thalès, Pythagore, trigonométrie, triangles semblables, transformations : tous les énoncés de géométrie à restituer sans hésiter.

1. Médiatrice d'un segment
Donner la définition de la médiatrice d'un segment et sa propriété.
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Propriété : un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est à égale distance des deux extrémités de ce segment.
Exemple. Si OA = OB, alors O appartient à la médiatrice de [AB].
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2. Hauteur d'un triangle
Énoncer la définition de la hauteur issue d'un sommet dans un triangle.
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à la droite qui porte ce côté).
Exemple. Aire d'un triangle : $\frac{c o ˆ t e ˊ \times hauteur relative a ˋ ce c o ˆ t e ˊ}{2}$ (côté × hauteur relative à ce côté)/2.
Piège. Deux conditions sont exigées dans la définition : « passe par le sommet » et « perpendiculaire au côté opposé ».
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3. Bissectrice d'un angle
Donner la définition de la bissectrice d'un angle.
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la bissectrice de l'angle principal (et la hauteur issue du sommet principal).
Exemple. Dans AOB isocèle en O avec $A O B = 7 0^{\circ}$ AOB̂=70°, la médiatrice de [AB] coupe l'angle en deux angles de $3 5^{\circ}$ 35°.
4. Somme des angles d'un triangle
Énoncer la propriété de la somme des angles d'un triangle.
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $18 0^{\circ}$ 180°. Conséquence : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $9 0^{\circ}$ 90°).
Exemple. Triangle avec $10 8^{\circ}$ 108° et $3 6^{\circ}$ 36° : le troisième angle mesure $180 - 108 - 36 = 3 6^{\circ}$ 180-108-36=36°.
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5. Angles alternes-internes et correspondants
Énoncer la caractérisation angulaire du parallélisme.
Deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes et des angles correspondants. Si les deux droites sont parallèles, ces angles sont de même mesure. Réciproquement, si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.
Exemple. $B E A = C D A = 11 0^{\circ}$ BEÂ=CDÂ=110° sont correspondants, donc (BE) et (CD) sont parallèles.
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6. Angles opposés, complémentaires, supplémentaires
Que sont des angles opposés par le sommet ? complémentaires ? supplémentaires ?
Deux angles opposés par le sommet (formés par deux droites sécantes) ont la même mesure. Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut $9 0^{\circ}$ 90°, supplémentaires si elle vaut $18 0^{\circ}$ 180°. Trois points alignés forment un angle plat de $18 0^{\circ}$ 180°.
7. Triangles isocèle et équilatéral
Quelles sont les propriétés des angles d'un triangle isocèle et d'un triangle équilatéral ?
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur ; ses deux angles à la base ont la même mesure. Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur ; ses trois angles mesurent $6 0^{\circ}$ 60°.
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8. Inégalité triangulaire
Énoncer l'inégalité triangulaire.
Pour trois points A, B et C : AB ≤ AC + CB. L'égalité AB = AC + CB a lieu si et seulement si le point C appartient au segment [AB]. Conséquence : on peut construire un triangle si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres.
Exemple. On ne peut pas construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm, car 8 > 3 + 4.
9. Cas d'égalité des triangles
Énoncer les cas d'égalité des triangles.
Deux triangles sont égaux (superposables) s'ils ont : leurs trois côtés respectivement de même longueur ; ou un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur ; ou un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure.
Revoir le cours : cas d'égalité des triangles →
10. Triangles semblables
Donner une définition des triangles semblables et une propriété caractéristique.
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure (il suffit que deux paires d'angles soient égales). Propriété caractéristique : deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Exemple. Si les côtés sont proportionnels avec le rapport $k$ k, les aires sont dans le rapport $k^{2}$ k².
Revoir le cours : triangles semblables →
11. Parallélogramme
Donner une définition du parallélogramme et une propriété caractéristique.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Propriété caractéristique : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Exemple. Si les diagonales ont en plus la même longueur, c'est un rectangle ; si elles sont perpendiculaires, c'est un losange ; les deux à la fois : un carré.
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12. Théorème de Thalès
Énoncer le théorème de Thalès.
Soit deux droites $(B M)$ (BM) et $(C N)$ (CN) sécantes en $A$ A. Si les droites $(B C)$ (BC) et $(M N)$ (MN) sont parallèles, alors $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ AM/AB=AN/AC=MN/BC. Le théorème s'applique aux triangles emboîtés et à la configuration « papillon ».
Exemple. $\frac{4 , 8}{6 , 4} = \frac{D E}{8}$ 4,8/6,4=DE/8 donne $D E = 6$ DE=6.
Piège. Les rapports se forment en partant toujours du point d'intersection A, petit triangle sur grand triangle.
Revoir le cours : théorème de thalès →
13. Réciproque du théorème de Thalès
Énoncer la réciproque du théorème de Thalès.
Soit deux droites $(B M)$ (BM) et $(C N)$ (CN) sécantes en $A$ A. Si les points $A, M, B$ A, M, B et les points $A, N, C$ A, N, C sont alignés dans le même ordre et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ AM/AB=AN/AC, alors les droites $(M N)$ (MN) et $(B C)$ (BC) sont parallèles.
Piège. Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée du théorème).
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14. Théorème de Pythagore
Énoncer le théorème de Pythagore.
Si un triangle $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC².
Exemple. $A B = 6, 4$ AB=6,4 et $A C = 8$ AC=8 avec l'angle droit en B : $B C^{2} = 64 - 40, 96 = 23, 04$ BC²=64-40,96=23,04, $B C = 4, 8$ BC=4,8.
Piège. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long.
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15. Réciproque du théorème de Pythagore
Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore.
Si, dans un triangle $A B C$ ABC, le carré du plus grand côté $[B C]$ [BC] est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ( $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ BC²=AB²+AC²), alors ce triangle est rectangle en $A$ A. Si l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
Exemple. $7, 3^{2} = 53, 29$ 7,3²=53,29 et $5, 5^{2} + 4, 8^{2} = 53, 29$ 5,5²+4,8²=53,29 : le triangle est rectangle.
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16. Cosinus, sinus et tangente
Donner les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $B$ B̂ : $cos B = \frac{c o ˆ t e ˊ adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ cosB̂=(côté adjacent)/hypoténuse, $sin B = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ sinB̂=(côté opposé)/hypoténuse, $tan B = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{c o ˆ t e ˊ adjacent}$ tanB̂=(côté opposé)/(côté adjacent).
Exemple. Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA. $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ cos60°=0,5.
Piège. La calculatrice doit être en mode degrés ; le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours entre 0 et 1.
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17. Symétrie axiale
Définir le symétrique d'un point par rapport à une droite.
Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM'] (si M est sur (d), il est son propre symétrique). Une symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires.
18. Symétrie centrale
Définir le symétrique d'un point par rapport à un point.
Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM']. Une symétrie centrale est un demi-tour autour de O : elle conserve les longueurs, les angles et les aires.
Revoir le cours : symétrie centrale →
19. Translation et rotation
Quel est l'effet d'une translation et d'une rotation sur une figure ?
Une translation fait glisser une figure : tous les points se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même longueur. Une rotation fait tourner une figure autour d'un point (le centre) d'un angle donné, dans un sens donné. Translations et rotations conservent les longueurs, les angles et les aires.
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20. Homothétie
Quel est l'effet d'une homothétie de rapport k sur une figure ?
Une homothétie de centre $O$ O et de rapport $k$ k agrandit (si $∣ k ∣ > 1$ |k|>1) ou réduit (si $∣ k ∣ < 1$ |k|<1) une figure : les longueurs sont multipliées par $∣ k ∣$ |k|, les aires par $k^{2}$ k² ; les angles sont conservés. Si $k > 0$ k>0, l'image est du même côté de $O$ O ; si $k < 0$ k<0, elle est de l'autre côté.
Exemple. Rapport $- 2, 5$ -2,5 : l'image est de l'autre côté du centre et ses longueurs sont $2, 5$ 2,5 fois plus grandes.
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21. Cercle
Donner la définition d'un cercle.
Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à la distance r du point O. Tous les rayons d'un cercle ont la même longueur ; le diamètre mesure le double du rayon.
Exemple. Si A et B sont sur un cercle de centre O, alors OA = OB : le triangle OAB est isocèle en O.

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