Exercices corrigés : Automatismes — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Prendre $t\%$t% d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$t/100.

   Ici $t=12$t = 12, donc le facteur est $\frac{12}{100}=0,12$12/100 = 0,12.

2. 2

   Puissance perdue : $0,12\times 2400=288$0,12 × 2 400 = 288 W.

3. 3

   La puissance utile est ce qui reste : $2400-288=2112$2 400 - 288 = 2 112 W.

4. 4

   Contrôle par une autre route : si $12\%$12% sont perdus, il reste $100-12=88\%$100 - 12 = 88%, soit $0,88\times 2400=2112$0,88 × 2 400 = 2 112 W. ✔ Les deux chemins donnent la même valeur.

5. 5

   Interprétation : le rendement du moteur vaut $\frac{2112}{2400}=0,88$(2 112)/(2 400) = 0,88, c'est-à-dire $88\%$88%.

Rappel de cours : $t\%$t% d'une quantité $=\frac{t}{100}\times$= t/100 × quantité. Retirer $t\%$t%, c'est multiplier par $1-\frac{t}{100}$1 - t/100.

Erreur fréquente : Écrire $12\%=12$12% = 12 : le pourcentage est une proportion, il faut diviser par $100$100 avant de multiplier.

Correction détaillée

1. 1

   Une évolution de $t\%$t% correspond au coefficient multiplicateur $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100, avec $t$t NÉGATIF pour une baisse.

2. 2

   Hausse de $8\%$8% : $CM=1+0,08=1,08$CM = 1 + 0,08 = 1,08.

3. 3

   Baisse de $8\%$8% : $CM=1-0,08=0,92$CM = 1 - 0,08 = 0,92.

4. 4

   Hausse de $150\%$150% : $CM=1+1,5=2,5$CM = 1 + 1,5 = 2,5 — la production est multipliée par $2,5$2,5.

5. 5

   Baisse de $2,5\%$2,5% : $CM=1-0,025=0,975$CM = 1 - 0,025 = 0,975.

6. 6

   Réciproquement, pour $CM=0,97$CM = 0,97 : $t=(CM-1)\times 100=(0,97-1)\times 100=-3$t = (CM - 1) × 100 = (0,97 - 1) × 100 = -3.

   C'est une BAISSE de $3\%$3%.

Rappel de cours : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100 · un $CM>1$CM > 1 est une hausse, un $CM<1$CM < 1 une baisse, $CM=1$CM = 1 aucune variation.

Erreur fréquente : Traduire « hausse de $150\%$150% » par $CM=1,5$CM = 1,5. Non : $CM=1+1,50=2,5$CM = 1 + 1,50 = 2,5. Le $1$1 initial ne disparaît jamais.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $A$A, on distribue le $3$3 sur les deux termes de la parenthèse : $3(2x-5)=6x-15$3(2x - 5) = 6x - 15.

2. 2

   On ajoute ensuite $4x$4x : $A=6x-15+4x=10x-15$A = 6x - 15 + 4x = 10x - 15.

3. 3

   Pour $B$B, on développe le produit de deux binômes (double distributivité) : $B=x\times x+x\times (-2)+4\times x+4\times (-2)$B = x × x + x × (-2) + 4 × x + 4 × (-2).

4. 4

   Soit $B=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$B = x² - 2x + 4x - 8 = x² + 2x - 8.

5. 5

   Pour $C$C, on reconnaît l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a + b)² = a² + 2ab + b² avec $a=2x$a = 2x et $b=3$b = 3.

6. 6

   $C=(2x{)}^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$C = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

7. 7

   Contrôle numérique en $x=1$x = 1 : $A=10-15=-5$A = 10 - 15 = -5 et $3(2-5)+4=-9+4=-5$3(2-5)+4 = -9+4 = -5 ✔ ; $C=4+12+9=25$C = 4 + 12 + 9 = 25 et $(2+3{)}^2=25$(2+3)² = 25 ✔.

Rappel de cours : $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)² = a² + 2ab + b² · $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)² = a² - 2ab + b² · $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a-b)(a+b) = a² - b².

Erreur fréquente : Écrire $(2x+3{)}^2=4x^2+9$(2x + 3)² = 4x² + 9 : le double produit $12x$12x manque. On ne « distribue » jamais un carré sur une somme.

Correction détaillée

1. 1

   Une écriture scientifique est de la forme $a\times 10^n$a × 10ⁿ avec $1\le a<10$1 ≤ a < 10.

2. 2

   $47\times 10^{-6}=4,7\times 10^1\times 10^{-6}=4,7\times 10^{-5}$47 × 10⁻⁶ = 4,7 × 10¹ × 10⁻⁶ = 4,7 × 10⁻⁵ F.

3. 3

   $0,0032=3,2\times 10^{-3}$0,0032 = 3,2 × 10⁻³ A (la virgule est déplacée de $3$3 rangs vers la droite, d'où l'exposant $-3$-3).

4. 4

   Pour le quotient, on sépare les nombres et les puissances : $\frac{3,2\times 10^{-3}}{4,7\times 10^{-5}}=\frac{3,2}{4,7}\times 10^{-3-(-5)}$(3,2 × 10⁻³)/(4,7 × 10⁻⁵) = 3,2/4,7 × 10^(-3 - (-5)).

5. 5

   $-3-(-5)=-3+5=2$-3 - (-5) = -3 + 5 = 2, et $\frac{3,2}{4,7}\approx 0,6809$3,2/4,7 ≈ 0,6809.

6. 6

   Donc le quotient vaut $0,6809\times 10^2=68,09\approx 68$0,6809 × 10² = 68,09 ≈ 68.

Rappel de cours : $\frac{10^p}{10^q}=10^{p-q}$10^(p)/10^(q) = 10^(p-q) et $10^p\times 10^q=10^{p+q}$10^(p) × 10^(q) = 10^(p+q).

Erreur fréquente : Calculer $-3-5=-8$-3 - 5 = -8 au lieu de $-3-(-5)=2$-3 - (-5) = 2 : le signe « moins » de la règle s'applique à l'exposant du dénominateur, signe compris.

Correction détaillée

1. 1

   Pour lire $u$u quand $i=2$i = 2 : on part de $2$2 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit à gauche.

   On trouve $u=6$u = 6 V.

2. 2

   Pour l'antécédent de $9$9 : on part de $9$9 sur l'axe vertical, on va jusqu'à la courbe, puis on descend.

   On lit $i=3$i = 3 A.

3. 3

   Test de proportionnalité : on calcule le quotient $\frac{u}{i}$u/i pour les deux points lus.

   $\frac{6}{2}=3$6/2 = 3 et $\frac{9}{3}=3$9/3 = 3.

4. 4

   Les quotients sont égaux, et la courbe est une droite qui passe par l'origine : la tension est bien proportionnelle à l'intensité.

5. 5

   Le coefficient de proportionnalité $3$3 s'exprime en $\Omega$Ω : c'est la résistance du composant, $R=3\Omega$R = 3 Ω (loi d'Ohm $u=Ri$u = R i).

Rappel de cours : Une situation de proportionnalité se lit graphiquement : DROITE passant par l'ORIGINE. Les deux conditions sont nécessaires.

Correction détaillée

1. 1

   Le taux d'évolution entre une valeur initiale $V_i$Vᵢ et une valeur finale $V_f$V_f vaut $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$t = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ.

2. 2

   Ici $V_i=4500$Vᵢ = 4 500 et $V_f=3960$V_f = 3 960, donc $t=\frac{3960-4500}{4500}=\frac{-540}{4500}$t = (3 960 - 4 500)/(4 500) = (-540)/(4 500).

3. 3

   $\frac{-540}{4500}=-0,12$(-540)/(4 500) = -0,12, soit $-12\%$-12% : la consommation a BAISSÉ de $12\%$12%.

4. 4

   Contrôle par le coefficient multiplicateur : $\frac{3960}{4500}=0,88$(3 960)/(4 500) = 0,88, et $0,88=1-0,12$0,88 = 1 - 0,12 ✔.

5. 5

   Pour mars, on applique une baisse de $20\%$20% à la valeur de JANVIER : $CM=0,80$CM = 0,80.

6. 6

   $4500\times 0,80=3600$4 500 × 0,80 = 3 600 kWh.

Rappel de cours : $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$t = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ : on divise TOUJOURS par la valeur de départ.

Erreur fréquente : Diviser par la valeur finale : $\frac{-540}{3960}\approx -13,6\%$(-540)/(3 960) ≈ -13,6%, qui est faux. Le dénominateur est la valeur de référence, donc celle de départ.

Correction détaillée

1. 1

   Hausse de $25\%$25% : $C{M}_1=1,25$CM₁ = 1,25.

   Prix fin 2025 : $48\times 1,25=60$48 × 1,25 = 60 €.

2. 2

   Baisse de $20\%$20% : $C{M}_2=0,80$CM₂ = 0,80.

   Prix fin 2026 : $60\times 0,80=48$60 × 0,80 = 48 €.

3. 3

   Pour le taux global, les coefficients multiplicateurs se MULTIPLIENT : $C{M}_{\text{global}}=1,25\times 0,80=1$CM_global = 1,25 × 0,80 = 1.

4. 4

   Un coefficient global égal à $1$1 signifie $t_{\text{global}}=(1-1)\times 100=0\%$t_global = (1 - 1) × 100 = 0% : le prix est revenu exactement à sa valeur de départ.

5. 5

   Vérification directe : $48$48 € au début, $48$48 € à la fin ✔.

6. 6

   Remarque importante : ce n'est PAS parce que $+25$+25 et $-20$-20 « se compensent » ; c'est parce que $1,25\times 0,80=1$1,25 × 0,80 = 1 exactement.

   Une hausse de $20\%$20% suivie d'une baisse de $20\%$20% donnerait $1,2\times 0,8=0,96$1,2 × 0,8 = 0,96, donc une baisse globale de $4\%$4%.

Rappel de cours : Évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients, on n'additionne jamais les taux.

Erreur fréquente : Conclure « $+25\%-20\%=+5\%$+25% - 20% = +5% ». Faux : les deux pourcentages ne portent pas sur la même valeur de référence.

Correction détaillée

1. 1

   Une remise de $15\%$15% correspond à $CM=0,85$CM = 0,85.

   En notant $p$p le prix initial : $0,85\times p=59,50$0,85 × p = 59,50.

2. 2

   On isole $p$p en DIVISANT par le coefficient : $p=\frac{59,50}{0,85}=70$p = 59,50/0,85 = 70 €.

3. 3

   Contrôle : $70\times 0,85=59,50$70 × 0,85 = 59,50 ✔.

4. 4

   Pour la TVA, le passage du HT au TTC se fait avec $CM=1,20$CM = 1,20.

   En notant $h$h le prix HT : $1,20\times h=72$1,20 × h = 72.

5. 5

   $h=\frac{72}{1,20}=60$h = 72/1,20 = 60 €.

6. 6

   Contrôle : la TVA vaut $72-60=12$72 - 60 = 12 €, et $12$12 est bien $20\%$20% de $60$60 ✔.

Rappel de cours : Pour REMONTER à la valeur initiale, on divise par le coefficient multiplicateur (c'est-à-dire qu'on multiplie par $\frac{1}{CM}$1/CM).

Erreur fréquente : Reprendre $15\%$15% du prix remisé : $59,50\times 1,15=68,43$59,50 × 1,15 = 68,43 € ≠ $70$70 €. Les $15\%$15% portaient sur le prix initial, pas sur le prix remisé.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche un facteur commun aux deux termes.

   Le premier est $(x-3)(2x+1)$(x-3)(2x+1), le second $(x-3{)}^2=(x-3)(x-3)$(x-3)² = (x-3)(x-3) : le facteur commun est $(x-3)$(x - 3).

2. 2

   $E(x)=(x-3)[(2x+1)-(x-3)]$E(x) = (x-3)[(2x + 1) - (x - 3)].

3. 3

   On réduit le crochet, attention au signe devant la parenthèse : $(2x+1)-(x-3)=2x+1-x+3=x+4$(2x + 1) - (x - 3) = 2x + 1 - x + 3 = x + 4.

4. 4

   Donc $E(x)=(x-3)(x+4)$E(x) = (x - 3)(x + 4).

5. 5

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-3=0$x - 3 = 0 ou $x+4=0$x + 4 = 0.

6. 6

   D'où $x=3$x = 3 ou $x=-4$x = -4.

7. 7

   Contrôle en $x=-4$x = -4 : $E(-4)=(-7)\times (-7)-(-7{)}^2=49-49=0$E(-4) = (-7)×(-7) - (-7)² = 49 - 49 = 0 ✔.

Rappel de cours : Équation produit : $A\times B=0⟺A=0$A × B = 0 ⇔ A = 0 ou $B=0$B = 0. Il faut donc FACTORISER avant de résoudre.

Erreur fréquente : Oublier de changer les signes en développant $-(x-3)$-(x - 3) : on obtient $-x+3$-x + 3, pas $-x-3$-x - 3.

Correction détaillée

1. 1

   Le débit est le coefficient de proportionnalité entre le temps et le volume : $d=\frac{45}{6}=7,5$d = 45/6 = 7,5 L/min.

2. 2

   En $20$20 minutes : $V=7,5\times 20=150$V = 7,5 × 20 = 150 L.

3. 3

   Pour la cuve, on convertit d'abord : $1$1 m³ $=1000$= 1 000 L, donc $1,2$1,2 m³ $=1200$= 1 200 L.

4. 4

   Le temps s'obtient en divisant le volume par le débit : $t=\frac{1200}{7,5}=160$t = (1 200)/7,5 = 160 min.

5. 5

   $160$160 min $=2$= 2 h $40$40 min (car $160=2\times 60+40$160 = 2× 60 + 40).

6. 6

   Contrôle d'ordre de grandeur : $1200$1 200 L c'est environ $27$27 fois $45$45 L, donc environ $27\times 6=162$27 × 6 = 162 min ✔.

Rappel de cours : $1$1 m³ $=1000$= 1 000 L $=1000$= 1 000 dm³. Débit $=\frac{\text{volume}}{\text{temps}}$= volume/temps.

Erreur fréquente : Oublier la conversion et travailler avec $1,2$1,2 L : on trouverait $0,16$0,16 min, absurde pour une cuve.

Correction détaillée

1. 1

   La recette est le prix unitaire multiplié par la quantité : $R(q)=30q$R(q) = 30q.

2. 2

   Le bénéfice est la recette moins le coût : $B(q)=30q-(12q+900)=30q-12q-900=18q-900$B(q) = 30q - (12q + 900) = 30q - 12q - 900 = 18q - 900.

3. 3

   Bénéfice nul : $18q-900=0$18q - 900 = 0, donc $18q=900$18q = 900 et $q=\frac{900}{18}=50$q = 900/18 = 50.

4. 4

   Le seuil de rentabilité est de $50$50 supports : en dessous l'atelier perd de l'argent, au-dessus il en gagne.

5. 5

   Bénéfice d'au moins $1800$1 800 € : on résout $18q-900\ge 1800$18q - 900 ≥ 1 800, soit $18q\ge 2700$18q ≥ 2 700, donc $q\ge \frac{2700}{18}=150$q ≥ (2 700)/18 = 150.

6. 6

   Contrôle : $B(150)=18\times 150-900=2700-900=1800$B(150) = 18 × 150 - 900 = 2 700 - 900 = 1 800 ✔.

7. 7

   Lecture concrète du $18$18 : chaque support vendu rapporte $30$30 € mais coûte $12$12 € de matière et d'usinage, donc contribue $18$18 € au remboursement des $900$900 € de charges fixes.

Rappel de cours : Bénéfice $=$= recette $-$- coût. Le seuil de rentabilité est la quantité qui annule le bénéfice.

Erreur fréquente : Oublier la parenthèse : $30q-12q+900$30q - 12q + 900 donnerait $18q+900$18q + 900, un bénéfice toujours positif — et un atelier qui gagne de l'argent sans rien produire.

Correction détaillée

1. 1

   $|\ell -120|\le 0,4$|ℓ - 120| ≤ 0,4 signifie que l'écart entre $\ell$ℓ et $120$120 est au plus $0,4$0,4, dans un sens comme dans l'autre.

2. 2

   Cela équivaut à $-0,4\le \ell -120\le 0,4$-0,4 ≤ ℓ - 120 ≤ 0,4, puis en ajoutant $120$120 partout : $119,6\le \ell \le 120,4$119,6 ≤ ℓ ≤ 120,4.

3. 3

   La pièce de $120,45$120,45 mm : $120,45>120,4$120,45 > 120,4, elle sort de l'intervalle, elle n'est PAS conforme (dépassement de $0,05$0,05 mm).

4. 4

   Inéquation : $3\ell -100\le 262,2\Rightarrow 3\ell \le 362,2\Rightarrow \ell \le \frac{362,2}{3}$3ℓ - 100 ≤ 262,2 ⇒ 3ℓ ≤ 362,2 ⇒ ℓ ≤ 362,2/3.

5. 5

   $\frac{362,2}{3}\approx 120,733$362,2/3 ≈ 120,733, donc l'inéquation équivaut à $\ell \le 120,73$ℓ ≤ 120,73 (à $0,01$0,01 près).

6. 6

   Toute pièce conforme vérifie $\ell \le 120,4$ℓ ≤ 120,4, et $120,4\le 120,73$120,4 ≤ 120,73 : donc oui, toute pièce conforme vérifie l'inéquation.

   L'inverse est faux — c'est une condition moins exigeante que la tolérance.

Rappel de cours : $|x-a|\le r⟺a-r\le x\le a+r$|x - a| ≤ r ⇔ a - r ≤ x ≤ a + r : « distance à $a$a au plus $r$r », l'écriture mathématique d'une tolérance.

Erreur fréquente : Diviser par un nombre négatif sans changer le sens de l'inégalité. Ici on divise par $3>0$3 > 0, le sens est conservé.

Correction détaillée

1. 1

   Dans une situation d'équiprobabilité, $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}$P(A) = (nombre de cas favorables)/(nombre de cas total).

2. 2

   Pièce conforme : $P(C)=\frac{150}{200}=0,75$P(C) = 150/200 = 0,75.

3. 3

   Pièce défectueuse : c'est l'évènement contraire de « conforme », donc $P(\overline{C})=1-0,75=0,25$P(C̅) = 1 - 0,75 = 0,25.

4. 4

   Contrôle direct : $35+15=50$35 + 15 = 50 pièces défectueuses, et $\frac{50}{200}=0,25$50/200 = 0,25 ✔.

5. 5

   Pour la dernière question, on se restreint aux $50$50 pièces défectueuses : parmi elles, $15$15 ont un défaut de cote.

6. 6

   La probabilité demandée vaut $\frac{15}{50}=0,3$15/50 = 0,3, soit $30\%$30%.

7. 7

   Attention à ne pas confondre : $\frac{15}{200}=0,075$15/200 = 0,075 est la probabilité d'avoir un défaut de cote sur une pièce QUELCONQUE ; $0,3$0,3 est cette probabilité une fois qu'on sait que la pièce est défectueuse.

Rappel de cours : $P(\overline{A})=1-P(A)$P(A̅) = 1 - P(A). Conditionner, c'est changer le total : on divise par l'effectif de la condition.

Erreur fréquente : Répondre $0,075$0,075 à la dernière question : le « sachant que » impose de ne garder que les $50$50 pièces défectueuses comme univers.

Correction détaillée

1. 1

   « $30\%$30% parmi les $40\%$40% » : les proportions se composent en se multipliant.

2. 2

   $0,40\times 0,30=0,12$0,40 × 0,30 = 0,12, soit $12\%$12% de l'ensemble des élèves.

3. 3

   Effectif : $0,12\times 1250=150$0,12 × 1 250 = 150 élèves en STI2D.

4. 4

   Contrôle par étapes : $0,40\times 1250=500$0,40 × 1 250 = 500 élèves en technologique, puis $0,30\times 500=150$0,30 × 500 = 150 ✔.

5. 5

   Élèves non technologiques : $1250-500=750$1 250 - 500 = 750.

6. 6

   Proportion demandée : $\frac{150}{750}=0,2$150/750 = 0,2, soit $20\%$20%.

7. 7

   Moralité : le même effectif de $150$150 élèves représente $12\%$12%, $30\%$30% ou $20\%$20% selon le total auquel on le compare.

   Un pourcentage n'a de sens qu'avec sa référence.

Rappel de cours : Proportion d'une proportion : on multiplie les deux ($0,4\times 0,3=0,12$0,4 × 0,3 = 0,12), on n'additionne pas.

Erreur fréquente : Annoncer $70\%$70% ou $10\%$10% en additionnant ou soustrayant les taux. Les deux pourcentages ne portent pas sur le même ensemble.

Correction détaillée

1. 1

   Lecture à $t=10$t = 10 : on monte depuis $10$10 sur l'axe des temps jusqu'à la courbe, on lit $T=50$T = 50 °C.

2. 2

   Pour la deuxième question, on cherche où la courbe passe au-dessus de la droite $T=50$T = 50.

   Elle atteint $50$50 °C en $t=10$t = 10 et continue de croître : la température dépasse $50$50 °C pour $t>10$t > 10 min.

3. 3

   La vitesse moyenne de montée est le taux de variation de $T$T entre $0$0 et $10$10 : $\frac{T(10)-T(0)}{10-0}$(T(10) - T(0))/(10 - 0).

4. 4

   On lit $T(0)=20$T(0) = 20 °C, donc le taux vaut $\frac{50-20}{10}=\frac{30}{10}=3$(50 - 20)/10 = 30/10 = 3 °C par minute.

5. 5

   Remarque : entre $10$10 et $20$20 minutes, on lit $T(20)=62$T(20) = 62 °C, soit un taux de $\frac{62-50}{10}=1,2$(62 - 50)/10 = 1,2 °C/min.

   La montée ralentit — le radiateur se rapproche de sa température de régime.

Rappel de cours : Taux de variation moyen entre $a$a et $b$b : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(f(b) - f(a))/(b - a). C'est une vitesse moyenne, pas une vitesse instantanée.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $p$p le prix d'origine.

   Après la baisse de $20\%$20%, le prix vaut $0,80p$0,80 p.

2. 2

   On cherche le coefficient $k$k tel que $0,80p\times k=p$0,80 p × k = p.

3. 3

   Comme $p\ne 0$p ≠ 0, on peut diviser par $p$p : $0,80k=1$0,80 k = 1, donc $k=\frac{1}{0,80}=1,25$k = 1/0,80 = 1,25.

4. 4

   Un coefficient de $1,25$1,25 correspond à un taux de $(1,25-1)\times 100=+25\%$(1,25 - 1)× 100 = +25%.

5. 5

   Le prix doit donc AUGMENTER de $25\%$25%, et non de $20\%$20%.

6. 6

   Vérification sur un exemple : $p=50$p = 50 € $\to$→ $50\times 0,8=40$50 × 0,8 = 40 € $\to$→ $40\times 1,25=50$40 × 1,25 = 50 € ✔.

7. 7

   Le prix $p$p s'est simplifié dans le calcul : le taux de $25\%$25% ne dépend PAS du prix d'origine.

   C'est une propriété générale — le taux réciproque d'une baisse de $20\%$20% est toujours $+25\%$+25%.

8. 8

   Explication de l'asymétrie : les $20\%$20% sont pris sur $p$p, les $25\%$25% sur $0,8p$0,8p, qui est plus petit.

   Il faut un pourcentage plus grand d'une base plus petite pour retrouver le même écart.

Rappel de cours : Le coefficient de l'évolution réciproque est $\frac{1}{CM}$1/CM : ici $\frac{1}{0,8}=1,25$1/0,8 = 1,25.

Erreur fréquente : Répondre $+20\%$+20%. $0,8\times 1,2=0,96$0,8 × 1,2 = 0,96 : on resterait $4\%$4% en dessous du prix d'origine.

Correction détaillée

1. 1

   Offre A : le prix ne dépend pas de $x$x, donc $a(x)=180$a(x) = 180.

2. 2

   Offre B : une part fixe et une part proportionnelle, donc $b(x)=60+0,04x$b(x) = 60 + 0,04x.

3. 3

   Égalité des offres : $60+0,04x=180$60 + 0,04x = 180.

4. 4

   $0,04x=120$0,04x = 120, donc $x=\frac{120}{0,04}=3000$x = 120/0,04 = 3 000 m³.

5. 5

   Les deux offres coûtent $180$180 € pour $3000$3 000 m³ par mois.

6. 6

   Pour $x=2500$x = 2 500 : $b(2500)=60+0,04\times 2500=60+100=160$b(2 500) = 60 + 0,04 × 2 500 = 60 + 100 = 160 €, contre $180$180 € pour l'offre A.

7. 7

   L'offre B est donc moins chère de $20$20 € par mois, soit $240$240 € par an.

8. 8

   Conclusion générale : pour $x<3000$x < 3 000 m³, l'offre B est la plus avantageuse ; au-delà de $3000$3 000 m³, c'est l'offre A (le forfait devient rentable).

   À $2500$2 500 m³, on choisit B.

Rappel de cours : Comparer deux tarifs affines : on résout l'égalité pour trouver le point de bascule, puis on teste une valeur de chaque côté.

Erreur fréquente : Diviser par $0,04$0,04 en oubliant que $\frac{1}{0,04}=25$1/0,04 = 25 : $120\times 25=3000$120 × 25 = 3 000. Une division par un nombre plus petit que $1$1 AUGMENTE le résultat.

Correction détaillée

1. 1

   Effectifs : ligne 1 $\to$→ $9$9 défectueuses et $300-9=291$300 - 9 = 291 bonnes ; ligne 2 $\to$→ $11$11 défectueuses et $200-11=189$200 - 11 = 189 bonnes.

2. 2

   Total défectueuses : $9+11=20$9 + 11 = 20.

   Total bonnes : $291+189=480$291 + 189 = 480.

   Contrôle : $20+480=500$20 + 480 = 500 ✔.

3. 3

   Probabilité qu'une carte prélevée au hasard soit défectueuse : $\frac{20}{500}=0,04$20/500 = 0,04, soit $4\%$4%.

4. 4

   Taux de défaut de la ligne 1 : $\frac{9}{300}=0,03$9/300 = 0,03, soit $3\%$3%.

5. 5

   Taux de défaut de la ligne 2 : $\frac{11}{200}=0,055$11/200 = 0,055, soit $5,5\%$5,5%.

6. 6

   La ligne 2 est donc presque deux fois plus défaillante, alors qu'elle produit moins de cartes.

   C'est elle qu'il faut régler.

7. 7

   Dernière question : on se place parmi les $20$20 cartes défectueuses ; $11$11 viennent de la ligne 2, donc la probabilité vaut $\frac{11}{20}=0,55$11/20 = 0,55.

8. 8

   À retenir : $55\%$55% des défauts viennent de la ligne 2 (question 3), mais la ligne 2 ne produit que $5,5\%$5,5% de pièces défectueuses (question 2).

   Ce sont deux quotients différents — même numérateur $11$11, dénominateurs $20$20 et $200$200.

Rappel de cours : Un tableau croisé se lit dans les deux sens : en ligne pour le taux de défaut d'une ligne, en colonne pour la répartition des défauts.

Erreur fréquente : Comparer les effectifs bruts ($9$9 contre $11$11) au lieu des taux : les deux lignes ne produisent pas le même nombre de cartes.

Correction détaillée

1. 1

   Aire de la plaque : $x^2$x².

   Aire du carré percé : $3^2=9$3² = 9.

   Aire de la bande : $3(x-3)=3x-9$3(x - 3) = 3x - 9.

2. 2

   Aire restante : $\mathcal{A}(x)=x^2-9-(3x-9)=x^2-9-3x+9=x^2-3x$A (x) = x² - 9 - (3x - 9) = x² - 9 - 3x + 9 = x² - 3x.

3. 3

   Les deux $9$9 se compensent : $\mathcal{A}(x)=x^2-3x$A (x) = x² - 3x.

4. 4

   Factorisation par $x$x : $\mathcal{A}(x)=x(x-3)$A (x) = x(x - 3).

5. 5

   On résout $x(x-3)=144$x(x - 3) = 144.

   On ne peut PAS appliquer la règle du produit nul ici, car le second membre n'est pas $0$0 : on développe et on cherche par une autre méthode.

6. 6

   $x^2-3x-144=0$x² - 3x - 144 = 0.

   On cherche deux nombres dont le produit est $-144$-144 et la somme $-3$-3...

   On peut aussi tester les valeurs entières : $\mathcal{A}(12)=12\times 9=108$A (12) = 12 × 9 = 108 (trop petit), $\mathcal{A}(13)=13\times 10=130$A (13) = 13 × 10 = 130, $\mathcal{A}(14)=14\times 11=154$A (14) = 14 × 11 = 154 (trop grand).

7. 7

   La solution est donc entre $13$13 et $14$14.

   En affinant : $\mathcal{A}(13,5)=13,5\times 10,5=141,75$A (13,5) = 13,5 × 10,5 = 141,75 et $\mathcal{A}(13,6)=13,6\times 10,6=144,16$A (13,6) = 13,6 × 10,6 = 144,16.

8. 8

   Donc $x\approx 13,6$x ≈ 13,6 cm (à $0,1$0,1 cm près).

   Le chapitre sur le second degré donnera la valeur exacte $x=\frac{3+\sqrt{585}}{2}$x = (3 + √(585))/2.

9. 9

   Contrôle de cohérence : $x\approx 13,6>3$x ≈ 13,6 > 3, la condition de l'énoncé est respectée ✔.

Rappel de cours : La règle du produit nul ne s'applique QUE si le produit vaut $0$0. Sinon, on développe et on résout autrement (balayage, ou discriminant au chapitre suivant).

Erreur fréquente : Écrire « $x=144$x = 144 ou $x-3=144$x - 3 = 144 » : c'est la faute classique. $x(x-3)=144$x(x-3) = 144 n'impose rien sur chaque facteur pris séparément.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficients multiplicateurs : $0,88$0,88 pour $-12\%$-12%, $0,95$0,95 pour $-5\%$-5%, $1,10$1,10 pour $+10\%$+10%.

2. 2

   Coefficient global : $CM=0,88\times 0,95\times 1,10$CM = 0,88 × 0,95 × 1,10.

3. 3

   $0,88\times 0,95=0,836$0,88 × 0,95 = 0,836, puis $0,836\times 1,10=0,9196$0,836 × 1,10 = 0,9196.

4. 4

   Nombre de pannes fin 2026 : $250\times 0,9196=229,9$250 × 0,9196 = 229,9, soit environ $230$230 pannes.

5. 5

   Taux global : $t=(0,9196-1)\times 100=-8,04$t = (0,9196 - 1) × 100 = -8,04, soit une BAISSE d'environ $8,0\%$8,0% sur trois ans.

6. 6

   Contrôle année par année : $250\to 220$250 → 220 ($-12\%$-12%) $\to 209$→ 209 ($-5\%$-5%) $\to 229,9$→ 229,9 ($+10\%$+10%) ✔.

7. 7

   L'objectif de moins de $220$220 pannes n'est PAS atteint : on en compte environ $230$230.

   Il l'avait pourtant été fin 2024 ($220$220) et fin 2025 ($209$209) — c'est la hausse de 2026 qui fait repasser au-dessus.

8. 8

   Remarque : la somme des taux donnerait $-12-5+10=-7\%$-12 - 5 + 10 = -7%, à comparer aux $-8,0\%$-8,0% réels.

   L'écart, faible ici, vient de ce que les taux ne portent pas sur la même base ; il grandit avec l'amplitude des évolutions.

Rappel de cours : Évolutions en chaîne : $C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2\times C{M}_3$CM_global = CM₁ × CM₂ × CM₃, puis $t_{\text{global}}=(C{M}_{\text{global}}-1)\times 100$t_global = (CM_global - 1) × 100.

Erreur fréquente : Arrondir à chaque étape : en gardant $220$220 puis $209$209 puis $229,9$229,9 on reste juste ici, mais sur une chaîne longue les arrondis intermédiaires font dériver le résultat. On calcule le coefficient global d'un seul coup.