Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles et indépendance — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Chaque pièce a la même probabilité d'être prélevée : on divise les effectifs par $400$400.

2. 2

   $P(L)=\frac{240}{400}=0,6$P(L) = 240/400 = 0,6.

3. 3

   $P(D)=\frac{28}{400}=0,07$P(D) = 28/400 = 0,07.

4. 4

   $L\cap D$L ∩ D : « ligne 1 ET défectueuse », c'est la case d'intersection, soit $12$12 pièces.

   Donc $P(L\cap D)=\frac{12}{400}=0,03$P(L ∩ D) = 12/400 = 0,03.

5. 5

   Pour la réunion, on utilise $P(L\cup D)=P(L)+P(D)-P(L\cap D)$P(L ∪ D) = P(L) + P(D) - P(L ∩ D).

6. 6

   $P(L\cup D)=0,6+0,07-0,03=0,64$P(L ∪ D) = 0,6 + 0,07 - 0,03 = 0,64.

7. 7

   Contrôle par les effectifs : les pièces de la ligne 1 OU défectueuses sont $240+16=256$240 + 16 = 256 (les $240$240 de la ligne 1, plus les $16$16 défectueuses de la ligne 2), et $\frac{256}{400}=0,64$256/400 = 0,64 ✔.

Rappel de cours : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : on retire l'intersection, sinon elle est comptée deux fois.

Erreur fréquente : Additionner $0,6+0,07=0,67$0,6 + 0,07 = 0,67 pour la réunion : les $12$12 pièces à la fois de la ligne 1 et défectueuses seraient comptées deux fois.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $P_L(D)=\frac{P(L\cap D)}{P(L)}$P_L(D) = (P(L ∩ D))/P(L).

2. 2

   $P_L(D)=\frac{0,03}{0,6}=0,05$P_L(D) = 0,03/0,6 = 0,05.

3. 3

   Interprétation : parmi les pièces de la ligne 1, $5\%$5% sont défectueuses.

   C'est le taux de défaut de cette ligne.

   Contrôle par les effectifs : $\frac{12}{240}=0,05$12/240 = 0,05 ✔.

4. 4

   De même : $P_D(L)=\frac{P(L\cap D)}{P(D)}=\frac{0,03}{0,07}\approx 0,4286$P_D(L) = (P(L ∩ D))/P(D) = 0,03/0,07 ≈ 0,4286.

5. 5

   Interprétation : parmi les pièces défectueuses, environ $42,9\%$42,9% proviennent de la ligne 1.

   Contrôle : $\frac{12}{28}\approx 0,4286$12/28 ≈ 0,4286 ✔.

6. 6

   Les deux nombres $0,05$0,05 et $0,43$0,43 partagent le même numérateur mais pas le même dénominateur : conditionner, c'est CHANGER le total de référence.

Rappel de cours : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) : on divise par la probabilité de la CONDITION.

Erreur fréquente : Confondre $P_L(D)$P_L(D) et $P_D(L)$P_D(L). Ici $0,05$0,05 et $0,43$0,43 : un facteur $8,6$8,6 entre les deux, alors que la question se pose presque avec les mêmes mots.

Correction détaillée

1. 1

   La répartition entre fournisseurs se lit sur les premières branches : $P(F_1)=0,7$P(F₁) = 0,7 et $P(F_2)=1-0,7=0,3$P(F₂) = 1 - 0,7 = 0,3.

2. 2

   Les taux de défaut sont donnés « parmi les composants d'un fournisseur » : ce sont donc des probabilités CONDITIONNELLES, portées par les secondes branches.

3. 3

   $P_{F_1}(H)=0,04$P_F₁(H) = 0,04 et $P_{F_2}(H)=0,09$P_F₂(H) = 0,09.

4. 4

   Pour l'intersection, on multiplie le long de la branche : $P(F_1\cap H)=P(F_1)\times P_{F_1}(H)$P(F₁ ∩ H) = P(F₁) × P_F₁(H).

5. 5

   $P(F_1\cap H)=0,7\times 0,04=0,028$P(F₁ ∩ H) = 0,7 × 0,04 = 0,028.

6. 6

   Interprétation : $2,8\%$2,8% de tous les composants reçus sont à la fois issus de $F_1$F₁ et hors tolérance.

Rappel de cours : Sur un arbre, on MULTIPLIE les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'intersection.

Erreur fréquente : Prendre $0,04$0,04 pour $P(F_1\cap H)$P(F₁ ∩ H) : le $4\%$4% ne concerne que les composants de $F_1$F₁, pas l'ensemble des réceptions.

Correction détaillée

1. 1

   À chaque nœud, la somme des probabilités des branches vaut $1$1.

2. 2

   $P(\overline{A})=1-0,35=0,65$P(A̅) = 1 - 0,35 = 0,65.

3. 3

   $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)=1-0,8=0,2$P_A(B̅) = 1 - P_A(B) = 1 - 0,8 = 0,2.

4. 4

   $P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-0,25=0,75$P_A̅(B̅) = 1 - 0,25 = 0,75.

5. 5

   Chemin $A$A puis $B$B : $0,35\times 0,8=0,28$0,35 × 0,8 = 0,28.

6. 6

   Chemin $A$A puis $\overline{B}$B̅ : $0,35\times 0,2=0,07$0,35 × 0,2 = 0,07.

7. 7

   Chemin $\overline{A}$A̅ puis $B$B : $0,65\times 0,25=0,1625$0,65 × 0,25 = 0,1625.

8. 8

   Chemin $\overline{A}$A̅ puis $\overline{B}$B̅ : $0,65\times 0,75=0,4875$0,65 × 0,75 = 0,4875.

9. 9

   Somme : $0,28+0,07+0,1625+0,4875=1$0,28 + 0,07 + 0,1625 + 0,4875 = 1 ✔ Les quatre chemins couvrent toutes les possibilités, leur somme DOIT valoir $1$1.

Rappel de cours : À chaque nœud, la somme des branches vaut $1$1 · la somme des probabilités de TOUS les chemins vaut $1$1.

Erreur fréquente : Écrire $P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-P_A(B)=0,2$P_A̅(B̅) = 1 - P_A(B) = 0,2 : les compléments se prennent à l'intérieur d'un même nœud, pas d'une branche à l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $A$A : « la machine est ancienne » et $P$P : « elle tombe en panne dans le mois ».

   L'énoncé donne $P(A)=0,15$P(A) = 0,15, $P_A(P)=0,2$P_A(P) = 0,2 et $P_{\overline{A}}(P)=0,05$P_A̅(P) = 0,05.

2. 2

   $P(A\cap P)=P(A)\times P_A(P)=0,15\times 0,2=0,03$P(A ∩ P) = P(A) × P_A(P) = 0,15 × 0,2 = 0,03.

3. 3

   Soit $3\%$3% des machines de l'atelier : anciennes et en panne dans le mois.

4. 4

   $P(\overline{A})=1-0,15=0,85$P(A̅) = 1 - 0,15 = 0,85, donc $P(\overline{A}\cap P)=0,85\times 0,05=0,0425$P(A̅ ∩ P) = 0,85 × 0,05 = 0,0425.

5. 5

   Soit $4,25\%$4,25% des machines : récentes et en panne.

6. 6

   Remarque intéressante : il y a PLUS de pannes de machines récentes ($4,25\%$4,25%) que de machines anciennes ($3\%$3%), alors que les anciennes tombent quatre fois plus souvent en panne.

   C'est l'effet de leur faible nombre.

Rappel de cours : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) : c'est la formule du produit, la multiplication « le long de la branche ».

Erreur fréquente : Multiplier $0,15\times 0,05$0,15 × 0,05 en mélangeant les branches : le taux de panne $0,05$0,05 est celui des machines RÉCENTES, il s'associe à $P(\overline{A})=0,85$P(A̅) = 0,85.

Correction détaillée

1. 1

   Un composant hors tolérance vient soit de $F_1$F₁, soit de $F_2$F₂ : ces deux cas forment une partition.

   On additionne donc les deux chemins qui mènent à $H$H.

2. 2

   $P(H)=P(F_1\cap H)+P(F_2\cap H)=P(F_1)P_{F_1}(H)+P(F_2)P_{F_2}(H)$P(H) = P(F₁ ∩ H) + P(F₂ ∩ H) = P(F₁)P_F₁(H) + P(F₂)P_F₂(H).

3. 3

   $P(H)=0,7\times 0,04+0,3\times 0,09=0,028+0,027=0,055$P(H) = 0,7 × 0,04 + 0,3 × 0,09 = 0,028 + 0,027 = 0,055.

4. 4

   Donc $5,5\%$5,5% des composants reçus sont hors tolérance.

5. 5

   Prévision sur $2000$2 000 composants : $0,055\times 2000=110$0,055 × 2 000 = 110 pièces hors tolérance.

6. 6

   Contrôle d'encadrement : $P(H)$P(H) doit être comprise entre les deux taux $0,04$0,04 et $0,09$0,09, puisque c'est leur moyenne pondérée.

   Or $0,04<0,055<0,09$0,04 < 0,055 < 0,09 ✔.

Rappel de cours : Probabilités totales : $P(H)=P(A)P_A(H)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(H)$P(H) = P(A)P_A(H) + P(A̅)P_A̅(H) — on additionne tous les chemins menant à $H$H.

Erreur fréquente : Additionner les taux $0,04+0,09=0,13$0,04 + 0,09 = 0,13 : il faut les PONDÉRER par la part de chaque fournisseur.

Correction détaillée

1. 1

   Deux évènements $A$A et $B$B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

2. 2

   Calcul du produit : $P(L)\times P(D)=0,6\times 0,07=0,042$P(L) × P(D) = 0,6 × 0,07 = 0,042.

3. 3

   Or $P(L\cap D)=0,03$P(L ∩ D) = 0,03.

4. 4

   $0,03\ne 0,042$0,03 ≠ 0,042 : les évènements $L$L et $D$D ne sont PAS indépendants.

5. 5

   Test équivalent, souvent plus parlant : $P_L(D)=0,05$P_L(D) = 0,05 alors que $P(D)=0,07$P(D) = 0,07.

   Savoir que la pièce vient de la ligne 1 CHANGE la probabilité qu'elle soit défectueuse — donc il y a dépendance.

6. 6

   Conclusion industrielle : la qualité dépend de la ligne de production.

   La ligne 1 fait mieux que la moyenne ($5\%$5% contre $7\%$7%), la ligne 2 moins bien : $P_{\overline{L}}(D)=\frac{16}{160}=0,10$P_L̅(D) = 16/160 = 0,10.

   C'est la ligne 2 qu'il faut régler.

Rappel de cours : $A$A et $B$B indépendants $⟺P(A\cap B)=P(A)P(B)⟺P_A(B)=P(B)$⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ P_A(B) = P(B).

Erreur fréquente : Juger l'indépendance « à l'intuition ». C'est un test NUMÉRIQUE : on compare $P(A\cap B)$P(A∩ B) et $P(A)P(B)$P(A)P(B), sans interpréter avant.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche $P_H(F_2)=\frac{P(F_2\cap H)}{P(H)}$P_H(F₂) = (P(F₂ ∩ H))/P(H).

2. 2

   Numérateur : $P(F_2\cap H)=0,3\times 0,09=0,027$P(F₂ ∩ H) = 0,3 × 0,09 = 0,027.

3. 3

   Dénominateur : $P(H)=0,055$P(H) = 0,055.

4. 4

   $P_H(F_2)=\frac{0,027}{0,055}\approx 0,491$P_H(F₂) = 0,027/0,055 ≈ 0,491, soit environ $49,1\%$49,1%.

5. 5

   Or $P(F_2)=0,3$P(F₂) = 0,3 : le fournisseur $F_2$F₂ ne livre que $30\%$30% des composants, mais il est responsable de près de la MOITIÉ des pièces hors tolérance.

6. 6

   Interprétation : savoir qu'une pièce est défectueuse rend beaucoup plus probable qu'elle vienne de $F_2$F₂.

   C'est un argument concret pour renégocier avec ce fournisseur.

7. 7

   Contrôle : $P_H(F_1)=\frac{0,028}{0,055}\approx 0,509$P_H(F₁) = 0,028/0,055 ≈ 0,509, et $0,491+0,509=1$0,491 + 0,509 = 1 ✔.

Rappel de cours : Remonter un arbre : $P_H(F)=\frac{P(F\cap H)}{P(H)}$P_H(F) = (P(F ∩ H))/P(H), avec $P(H)$P(H) obtenue par les probabilités totales.

Erreur fréquente : Réutiliser $P_{F_2}(H)=0,09$P_F₂(H) = 0,09 comme réponse : c'est la probabilité dans l'autre sens. Les deux conditionnements n'ont rien à voir.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $M_1$M₁, $M_2$M₂ l'origine et $R$R : « la pièce est un rebut ».

2. 2

   $P(R)=P(M_1)P_{M_1}(R)+P(M_2)P_{M_2}(R)=0,6\times 0,02+0,4\times 0,05$P(R) = P(M₁)P_M₁(R) + P(M₂)P_M₂(R) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05.

3. 3

   $P(R)=0,012+0,02=0,032$P(R) = 0,012 + 0,02 = 0,032, soit $3,2\%$3,2% de rebuts.

4. 4

   Pièce conforme issue de M2 : $P(M_2\cap \overline{R})=0,4\times (1-0,05)=0,4\times 0,95=0,38$P(M₂ ∩ R̅) = 0,4 × (1 - 0,05) = 0,4 × 0,95 = 0,38.

5. 5

   Dernière question : $P_R(M_1)=\frac{P(M_1\cap R)}{P(R)}=\frac{0,012}{0,032}=0,375$P_R(M₁) = (P(M₁ ∩ R))/P(R) = 0,012/0,032 = 0,375.

6. 6

   Donc $37,5\%$37,5% des rebuts viennent de M1, bien que M1 produise $60\%$60% des pièces.

7. 7

   Contrôle : $P_R(M_2)=\frac{0,02}{0,032}=0,625$P_R(M₂) = 0,02/0,032 = 0,625, et $0,375+0,625=1$0,375 + 0,625 = 1 ✔.

Rappel de cours : Un arbre bien posé répond aux trois questions : multiplier (intersection), additionner (probabilités totales), diviser (conditionnelle inverse).

Erreur fréquente : Écrire $P(M_2\cap \overline{R})=0,4\times 0,05$P(M₂ ∩ R̅) = 0,4 × 0,05 : c'est la probabilité d'un REBUT issu de M2. Le complément se prend sur la seconde branche.

Correction détaillée

1. 1

   Les probabilités conditionnelles d'un même nœud sont complémentaires : $P_I(\overline{S})=1-P_I(S)$P_I(S̅) = 1 - P_I(S).

2. 2

   $P_I(\overline{S})=1-0,96=0,04$P_I(S̅) = 1 - 0,96 = 0,04.

3. 3

   Interprétation : dans $4\%$4% des intrusions réelles, l'alarme ne sonne PAS.

   C'est un « faux négatif », le défaut le plus grave pour un système de sécurité.

4. 4

   $P_{\overline{I}}(\overline{S})=1-P_{\overline{I}}(S)=1-0,03=0,97$P_I̅(S̅) = 1 - P_I̅(S) = 1 - 0,03 = 0,97.

5. 5

   Interprétation : quand il n'y a pas d'intrusion, le système reste silencieux dans $97\%$97% des cas.

   Les $3\%$3% restants sont les « fausses alertes ».

6. 6

   Attention à la nature de ces nombres : ce sont des probabilités CONDITIONNELLES, calculées à l'intérieur de chaque situation.

   Elles ne disent rien, à ce stade, de la fréquence des fausses alertes parmi les déclenchements — c'est l'objet d'un autre calcul (probabilité inverse).

Rappel de cours : $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)$P_A(B̅) = 1 - P_A(B) : le passage au contraire se fait à condition INCHANGÉE.

Erreur fréquente : Écrire $P_{\overline{I}}(\overline{S})=1-P_I(S)=0,04$P_I̅(S̅) = 1 - P_I(S) = 0,04 : on a changé la condition ET l'évènement. Le complément ne s'applique qu'au second.

Correction détaillée

1. 1

   Probabilités totales : $P(S)=P(I)P_I(S)+P(\overline{I})P_{\overline{I}}(S)$P(S) = P(I)P_I(S) + P(I̅)P_I̅(S).

2. 2

   $P(S)=0,002\times 0,96+0,998\times 0,03=0,00192+0,02994$P(S) = 0,002 × 0,96 + 0,998 × 0,03 = 0,001 92 + 0,029 94.

3. 3

   $P(S)=0,03186$P(S) = 0,031 86, soit environ $3,2\%$3,2% des nuits.

4. 4

   Probabilité inverse : $P_S(I)=\frac{P(I\cap S)}{P(S)}=\frac{0,00192}{0,03186}$P_S(I) = (P(I ∩ S))/P(S) = (0,001 92)/(0,031 86).

5. 5

   $P_S(I)\approx 0,060$P_S(I) ≈ 0,060, soit environ $6\%$6%.

6. 6

   Commentaire : alors que le système détecte $96\%$96% des intrusions, seulement $6\%$6% de ses déclenchements correspondent à une vraie intrusion.

   Autrement dit, $94\%$94% des alarmes sont de fausses alertes.

7. 7

   Pourquoi ?

   Parce que l'intrusion est RARE.

   Les $3\%$3% de fausses alertes s'appliquent à presque toutes les nuits ($99,8\%$99,8%), ce qui produit beaucoup plus de déclenchements que les $96\%$96% appliqués à $0,2\%$0,2% des nuits.

8. 8

   Comparaison décisive : $0,998\times 0,03\approx 0,0299$0,998 × 0,03 ≈ 0,0299 contre $0,002\times 0,96\approx 0,0019$0,002 × 0,96 ≈ 0,0019 — un rapport de $15$15 pour $1$1 en faveur des fausses alertes.

9. 9

   Leçon d'ingénieur : sur un évènement rare, il ne suffit pas d'un bon taux de détection ; c'est le taux de FAUSSES ALERTES qu'il faut faire baisser.

Rappel de cours : $P_I(S)$P_I(S) et $P_S(I)$P_S(I) sont deux probabilités TRÈS différentes. Sur un évènement rare, l'écart est spectaculaire.

Erreur fréquente : Annoncer « l'alarme est fiable à $96\%$96%, donc $96\%$96% des alarmes sont justifiées ». C'est l'erreur classique d'inversion du conditionnement.

Correction détaillée

1. 1

   Les trois fournisseurs forment une partition : on additionne les trois chemins menant au défaut $D$D.

2. 2

   $P(A\cap D)=0,50\times 0,01=0,005$P(A ∩ D) = 0,50 × 0,01 = 0,005.

3. 3

   $P(B\cap D)=0,30\times 0,03=0,009$P(B ∩ D) = 0,30 × 0,03 = 0,009.

4. 4

   $P(C\cap D)=0,20\times 0,06=0,012$P(C ∩ D) = 0,20 × 0,06 = 0,012.

5. 5

   $P(D)=0,005+0,009+0,012=0,026$P(D) = 0,005 + 0,009 + 0,012 = 0,026, soit $2,6\%$2,6% de cartes défectueuses.

6. 6

   Probabilité qu'une carte défectueuse vienne de C : $P_D(C)=\frac{0,012}{0,026}\approx 0,462$P_D(C) = 0,012/0,026 ≈ 0,462.

7. 7

   Parts des trois fournisseurs dans les défauts : $P_D(A)=\frac{0,005}{0,026}\approx 0,192$P_D(A) = 0,005/0,026 ≈ 0,192 ; $P_D(B)=\frac{0,009}{0,026}\approx 0,346$P_D(B) = 0,009/0,026 ≈ 0,346 ; $P_D(C)\approx 0,462$P_D(C) ≈ 0,462.

8. 8

   Contrôle : $0,192+0,346+0,462=1$0,192 + 0,346 + 0,462 = 1 ✔.

9. 9

   C'est donc le fournisseur C qui est responsable de la plus grande part des défauts ($46,2\%$46,2%), alors qu'il ne livre que $20\%$20% des cartes.

   Le classement des volumes livrés (A > B > C) est exactement INVERSE de celui des défauts.

Rappel de cours : Avec une partition en trois cas, la formule des probabilités totales compte trois termes : un par chemin.

Erreur fréquente : Oublier un chemin dans la somme. Contrôle systématique : la somme des $P_D(\cdot )$P_D(·) doit valoir exactement $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $A=\{2;4;6\}$A = {2 ; 4 ; 6} donc $P(A)=\frac{3}{6}=0,5$P(A) = 3/6 = 0,5.

   $B=\{3;6\}$B = {3 ; 6} donc $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P(B) = 2/6 = 1/3.

   $C=\{1\}$C = {1} donc $P(C)=\frac{1}{6}$P(C) = 1/6.

2. 2

   $A\cap B=\{6\}$A ∩ B = {6}, donc $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$P(A ∩ B) = 1/6.

3. 3

   Test d'indépendance : $P(A)\times P(B)=0,5\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$P(A) × P(B) = 0,5 × 1/3 = 1/6.

   C'est égal à $P(A\cap B)$P(A ∩ B) : $A$A et $B$B sont INDÉPENDANTS.

4. 4

   Sont-ils incompatibles ?

   Non : $A\cap B=\{6\}\ne \varnothing$A ∩ B = {6} ≠ ∅, le résultat $6$6 réalise les deux à la fois.

5. 5

   $A\cap C=\varnothing$A ∩ C = ∅ (aucun nombre n'est à la fois pair et égal à $1$1), donc $P(A\cap C)=0$P(A ∩ C) = 0 : $A$A et $C$C sont INCOMPATIBLES.

6. 6

   Test d'indépendance pour $A$A et $C$C : $P(A)\times P(C)=0,5\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\ne 0$P(A) × P(C) = 0,5 × 1/6 = 1/12 ≠ 0.

   Donc $A$A et $C$C ne sont PAS indépendants.

7. 7

   Conclusion : les deux notions sont distinctes, et même presque opposées.

   Incompatible signifie « ne peuvent pas arriver ensemble » ; indépendant signifie « l'un n'informe pas sur l'autre ».

8. 8

   Vérifions ce dernier point sur $A$A et $C$C : si l'on sait que le résultat est pair, alors il ne peut pas valoir $1$1, donc $P_A(C)=0\ne P(C)$P_A(C) = 0 ≠ P(C).

   L'information change tout : il y a bien dépendance.

9. 9

   Résultat général : deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont JAMAIS indépendants.

Rappel de cours : Incompatibles : $A\cap B=\varnothing$A ∩ B = ∅ · indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$P(A ∩ B) = P(A)P(B). Deux définitions, deux tests.

Erreur fréquente : Utiliser « indépendant » pour dire « sans rapport, donc incompatible ». Dans $A$A et $B$B, le $6$6 réalise les deux — et c'est justement ce qui rend l'indépendance possible.

Correction détaillée

1. 1

   Effectif STI2D : $0,40\times 500=200$0,40 × 500 = 200 élèves.

   Autres : $500-200=300$500 - 200 = 300.

2. 2

   Parmi les $200$200 STI2D : $0,35\times 200=70$0,35 × 200 = 70 ont l'option, donc $130$130 ne l'ont pas.

3. 3

   Parmi les $300$300 autres : $0,10\times 300=30$0,10 × 300 = 30 ont l'option, donc $270$270 ne l'ont pas.

4. 4

   Tableau obtenu : STI2D $\to$→ $70$70 avec option et $130$130 sans, soit $200$200 · autres élèves $\to$→ $30$30 avec option et $270$270 sans, soit $300$300 · totaux : $100$100 avec option, $400$400 sans, $500$500 élèves.

5. 5

   Total d'élèves ayant l'option : $70+30=100$70 + 30 = 100, donc $P(\text{option})=\frac{100}{500}=0,2$P( option ) = 100/500 = 0,2.

6. 6

   Sachant que l'élève a l'option, on se restreint aux $100$100 concernés : $70$70 sont en STI2D.

7. 7

   $P_{\text{option}}(\text{STI2D})=\frac{70}{100}=0,7$P_option( STI2D ) = 70/100 = 0,7.

8. 8

   Lecture : les STI2D représentent $40\%$40% de la promotion mais $70\%$70% des élèves qui choisissent cette option — ce qui confirme qu'option et filière ne sont pas indépendantes ($0,7\ne 0,4$0,7 ≠ 0,4).

Rappel de cours : Un tableau d'effectifs est souvent le chemin le plus court : il rend toutes les probabilités conditionnelles lisibles comme de simples quotients.

Erreur fréquente : Appliquer les $35\%$35% aux $500$500 élèves : ce taux ne concerne que les $200$200 élèves de STI2D.

Correction détaillée

1. 1

   On part de la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

2. 2

   $0,7=0,4+0,5-P(A\cap B)$0,7 = 0,4 + 0,5 - P(A ∩ B), donc $P(A\cap B)=0,9-0,7=0,2$P(A ∩ B) = 0,9 - 0,7 = 0,2.

3. 3

   Test d'indépendance : $P(A)\times P(B)=0,4\times 0,5=0,2$P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.

4. 4

   C'est exactement $P(A\cap B)$P(A ∩ B) : les deux évènements sont INDÉPENDANTS.

5. 5

   $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,2}{0,4}=0,5$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) = 0,2/0,4 = 0,5.

6. 6

   On retrouve $P(B)=0,5$P(B) = 0,5 : savoir que la pièce a un défaut d'aspect ne change RIEN à la probabilité qu'elle ait aussi un défaut de cote.

   C'est une autre façon de dire l'indépendance.

7. 7

   Interprétation industrielle : les deux défauts n'ont pas de cause commune.

   Un défaut d'aspect (rayure, bavure) et un défaut de cote (dimension) proviennent d'étapes différentes du processus.

8. 8

   Contrôle de cohérence : les pièces sans aucun défaut représentent $1-P(A\cup B)=0,3$1 - P(A∪ B) = 0,3, et l'on vérifie $P(\overline{A})P(\overline{B})=0,6\times 0,5=0,3$P(A̅)P(B̅) = 0,6 × 0,5 = 0,3 ✔ — l'indépendance se transmet aux évènements contraires.

Rappel de cours : $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B) : la formule de la réunion se retourne pour obtenir l'intersection.

Erreur fréquente : Conclure à l'incompatibilité parce que les défauts semblent « de natures différentes » : ici $P(A\cap B)=0,2\ne 0$P(A∩ B) = 0,2 ≠ 0, $20\%$20% des pièces cumulent les deux défauts.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $C_1$C₁ et $C_2$C₂ les évènements « le capteur $i$i fonctionne », avec $P(C_1)=0,98$P(C₁) = 0,98 et $P(C_2)=0,95$P(C₂) = 0,95, indépendants.

2. 2

   Montage en SÉRIE : le dispositif fonctionne si $C_1$C₁ ET $C_2$C₂.

   Par indépendance, $P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\times P(C_2)$P(C₁ ∩ C₂) = P(C₁) × P(C₂).

3. 3

   $P=0,98\times 0,95=0,931$P = 0,98 × 0,95 = 0,931, soit une fiabilité de $93,1\%$93,1%.

4. 4

   À noter : cette fiabilité est INFÉRIEURE à celle du capteur le plus faible ($0,95$0,95).

   En série, les défaillances s'additionnent.

5. 5

   Montage en PARALLÈLE : il tombe en panne seulement si les DEUX capteurs tombent en panne.

   On passe par le contraire.

6. 6

   $P(\overline{C_1}\cap \overline{C_2})=0,02\times 0,05=0,001$P(C₁̅ ∩ C₂̅) = 0,02 × 0,05 = 0,001.

7. 7

   Donc la fiabilité du montage parallèle est $1-0,001=0,999$1 - 0,001 = 0,999, soit $99,9\%$99,9%.

8. 8

   Comparaison : $93,1\%$93,1% en série contre $99,9\%$99,9% en parallèle.

   La redondance divise la probabilité de panne par $69$69 ($0,069$0,069 contre $0,001$0,001).

9. 9

   Conclusion d'ingénierie : pour une fonction de sécurité, on double les capteurs en parallèle.

   C'est le principe de la redondance, utilisé en aéronautique comme en automatisme industriel.

10. 10

    Attention à l'hypothèse : ce calcul suppose l'INDÉPENDANCE des deux capteurs.

    Si une même surtension peut les détruire tous les deux, l'indépendance tombe et la fiabilité réelle est plus faible — d'où l'usage de capteurs de technologies différentes.

Rappel de cours : Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$P(A ∩ B) = P(A)P(B). Pour « au moins un », on passe par l'évènement contraire « aucun ».

Erreur fréquente : Additionner les fiabilités ou calculer $1-0,98\times 0,95$1 - 0,98 × 0,95 pour le montage parallèle. En parallèle, ce sont les PANNES qu'on multiplie.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $D$D : « la pièce est défectueuse » et $T$T : « le test la déclare défectueuse ».

   On a $P(D)=0,04$P(D) = 0,04, $P_D(T)=0,95$P_D(T) = 0,95, $P_{\overline{D}}(T)=0,02$P_D̅(T) = 0,02.

2. 2

   Chemins : $P(D\cap T)=0,04\times 0,95=0,038$P(D ∩ T) = 0,04 × 0,95 = 0,038 et $P(\overline{D}\cap T)=0,96\times 0,02=0,0192$P(D̅ ∩ T) = 0,96 × 0,02 = 0,019 2.

3. 3

   Probabilités totales : $P(T)=0,038+0,0192=0,0572$P(T) = 0,038 + 0,019 2 = 0,057 2, soit $5,72\%$5,72% des pièces déclarées défectueuses.

4. 4

   Probabilité qu'une pièce déclarée défectueuse le soit vraiment : $P_T(D)=\frac{0,038}{0,0572}\approx 0,664$P_T(D) = 0,038/(0,057 2) ≈ 0,664.

5. 5

   Donc environ $66,4\%$66,4% des alertes sont justifiées : un tiers des pièces écartées étaient en réalité bonnes.

6. 6

   Pour l'autre question, on calcule d'abord $P(\overline{T})=1-0,0572=0,9428$P(T̅) = 1 - 0,057 2 = 0,942 8.

7. 7

   $P(D\cap \overline{T})=0,04\times 0,05=0,002$P(D ∩ T̅) = 0,04 × 0,05 = 0,002 (pièces défectueuses que le test a laissé passer).

8. 8

   $P_{\overline{T}}(D)=\frac{0,002}{0,9428}\approx 0,00212$P_T̅(D) = 0,002/(0,942 8) ≈ 0,002 12, soit environ $0,21\%$0,21%.

9. 9

   Bilan : parmi les pièces acceptées, seulement $2$2 sur $1000$1 000 sont défectueuses — c'est excellent.

   En revanche, un tiers des pièces rejetées sont bonnes, ce qui représente une perte de matière.

10. 10

    Réponse nuancée : le test est satisfaisant pour la SÉCURITÉ du client (très peu de défauts passent), mais coûteux pour le producteur (beaucoup de rebuts injustifiés).

    Selon l'enjeu — pièce critique ou pièce banale — on réglera le test différemment.

11. 11

    Contrôle de cohérence : $0,038+0,0192+0,002+0,9408(=0,96\times 0,98)=1$0,038 + 0,019 2 + 0,002 + 0,940 8 (= 0,96 × 0,98) = 1 ✔ les quatre chemins couvrent tout.