Exercices corrigés : Suites numériques — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   La suite est donnée par une formule EXPLICITE : chaque terme se calcule directement à partir de son rang, sans connaître le précédent.

   Il suffit de remplacer $n$n.

2. 2

   $u_0=3\times 0^2+20=0+20=20$u₀ = 3 × 0² + 20 = 0 + 20 = 20.

3. 3

   $u_1=3\times 1^2+20=3+20=23$u₁ = 3 × 1² + 20 = 3 + 20 = 23.

4. 4

   $u_4=3\times 4^2+20=3\times 16+20=48+20=68$u₄ = 3 × 4² + 20 = 3 × 16 + 20 = 48 + 20 = 68.

5. 5

   $u_{10}=3\times 10^2+20=3\times 100+20=320$u₁₀ = 3 × 10² + 20 = 3 × 100 + 20 = 320.

6. 6

   Avantage d'une formule explicite : on obtient $u_{10}$u₁₀ — et même $u_{1000}$u₁₀₀₀ — sans calculer tous les termes intermédiaires.

Rappel de cours : Formule explicite : $u_n=f(n)$uₙ = f(n). Le terme de rang $n$n se calcule en remplaçant $n$n, directement.

Erreur fréquente : Calculer $3n^2$3n² comme $(3n{)}^2$(3n)² : pour $n=4$n = 4, $3\times 16=48$3 × 16 = 48 et non $12^2=144$12² = 144. L'exposant ne porte que sur $n$n.

Correction détaillée

1. 1

   La suite est définie par RÉCURRENCE : chaque terme se déduit du précédent.

   On applique la relation pas à pas, en partant de $v_0=80$v₀ = 80.

2. 2

   $v_1=0,75\times 80+5=60+5=65$v₁ = 0,75 × 80 + 5 = 60 + 5 = 65.

3. 3

   $v_2=0,75\times 65+5=48,75+5=53,75$v₂ = 0,75 × 65 + 5 = 48,75 + 5 = 53,75, soit $53,8$53,8 au dixième.

4. 4

   $v_3=0,75\times 53,75+5=40,3125+5=45,3125$v₃ = 0,75 × 53,75 + 5 = 40,3125 + 5 = 45,3125, soit $45,3$45,3 au dixième.

5. 5

   Pour $v_{20}$v₂₀, la relation exige de connaître $v_{19}$v₁₉, qui exige $v_{18}$v₁₈, etc. : il faudrait enchaîner $20$20 calculs.

   C'est là qu'un tableur ou un programme Python devient indispensable.

6. 6

   Pour l'information : la suite se stabilise autour de $20$20 pannes par mois, car $0,75\times 20+5=20$0,75 × 20 + 5 = 20 — une valeur qui se reproduit elle-même.

Rappel de cours : Suite par récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁ = f(uₙ) et un premier terme. On ne peut pas « sauter » de rangs.

Erreur fréquente : Utiliser les valeurs arrondies pour la suite du calcul. On garde $53,75$53,75 (et non $53,8$53,8) pour calculer $v_3$v₃, sinon l'erreur s'accumule.

Correction détaillée

1. 1

   Test d'une suite arithmétique : les DIFFÉRENCES entre termes consécutifs sont-elles constantes ?

2. 2

   Relevé A : $46-40=6$46 - 40 = 6, $52-46=6$52 - 46 = 6, $58-52=6$58 - 52 = 6, $64-58=6$64 - 58 = 6.

   Différence constante : A est ARITHMÉTIQUE de raison $r=6$r = 6.

3. 3

   Test d'une suite géométrique : les QUOTIENTS entre termes consécutifs sont-ils constants ?

4. 4

   Relevé B : $\frac{720}{800}=0,9$720/800 = 0,9, $\frac{648}{720}=0,9$648/720 = 0,9, $\frac{583,2}{648}=0,9$583,2/648 = 0,9, $\frac{524,88}{583,2}=0,9$524,88/583,2 = 0,9.

   B est GÉOMÉTRIQUE de raison $q=0,9$q = 0,9 (baisse de $10\%$10% par période).

5. 5

   Relevé C : différences $5$5, $10$10, $15$15, $20$20 — non constantes, donc pas arithmétique.

   Quotients $2$2, $2$2, $1,75$1,75 — non constants, donc pas géométrique.

   C n'est NI l'une NI l'autre.

6. 6

   Remarque sur C : ce sont les différences qui augmentent régulièrement de $5$5.

   C'est une suite « à accroissement arithmétique », qu'on rencontre en cumul.

Rappel de cours : Arithmétique $\Rightarrow$⇒ on AJOUTE toujours $r$r · géométrique $\Rightarrow$⇒ on MULTIPLIE toujours par $q$q.

Erreur fréquente : Se contenter de tester les deux premiers termes. Il faut vérifier sur TOUS les couples consécutifs disponibles : la suite C passe le test des quotients au début, puis le rate.

Correction détaillée

1. 1

   D'une heure à la suivante, on ajoute toujours la même quantité : $u_{n+1}=u_n+24$uₙ₊₁ = uₙ + 24.

   C'est exactement la définition d'une suite arithmétique, de raison $r=24$r = 24.

2. 2

   Le premier terme est $u_0=150$u₀ = 150 (volume à l'instant initial).

3. 3

   Formule du terme général : $u_n=u_0+nr$uₙ = u₀ + n r, donc $u_n=150+24n$uₙ = 150 + 24n.

4. 4

   Au bout de $12$12 heures : $u_{12}=150+24\times 12=150+288=438$u₁₂ = 150 + 24 × 12 = 150 + 288 = 438 litres.

5. 5

   Contrôle : en $12$12 heures on a ajouté $288$288 L aux $150$150 L présents au départ ✔.

6. 6

   Remarque : $u_n=150+24n$uₙ = 150 + 24n est une expression AFFINE de $n$n.

   Les points de la suite sont alignés — c'est la signature graphique d'une suite arithmétique.

Rappel de cours : Suite arithmétique : $u_n=u_0+nr$uₙ = u₀ + n r (ou $u_n=u_p+(n-p)r$uₙ = uₚ + (n-p)r si le premier terme est de rang $p$p).

Erreur fréquente : Écrire $u_n=150+24(n-1)$uₙ = 150 + 24(n-1) alors que le premier terme est $u_0$u₀. Le $(n-1)$(n-1) ne sert que si la suite commence à $u_1$u₁.

Correction détaillée

1. 1

   Perdre $15\%$15% revient à multiplier par le coefficient $1-0,15=0,85$1 - 0,15 = 0,85, et ce chaque année : $w_{n+1}=0,85w_n$wₙ₊₁ = 0,85 wₙ.

2. 2

   C'est la définition d'une suite géométrique, de raison $q=0,85$q = 0,85, avec $w_0=24000$w₀ = 24 000.

3. 3

   Formule du terme général : $w_n=w_0\times q^n$wₙ = w₀ × qⁿ, donc $w_n=24000\times 0,85^n$wₙ = 24 000 × 0,85^(n).

4. 4

   Après $5$5 ans : $w_5=24000\times 0,85^5$w₅ = 24 000 × 0,85⁵.

5. 5

   $0,85^5\approx 0,443705$0,85⁵ ≈ 0,443705, donc $w_5\approx 24000\times 0,443705\approx 10648,9$w₅ ≈ 24 000 × 0,443705 ≈ 10 648,9.

6. 6

   La machine vaut environ $10649$10 649 € après $5$5 ans : elle a perdu plus de la moitié de sa valeur.

Rappel de cours : Suite géométrique : $u_n=u_0\times q^n$uₙ = u₀ × qⁿ. Une baisse de $t\%$t% par période donne $q=1-\frac{t}{100}$q = 1 - t/100.

Erreur fréquente : Confondre $24000\times 0,85^5$24 000 × 0,85⁵ et $(24000\times 0,85{)}^5$(24 000 × 0,85)⁵ : l'exposant ne porte que sur la raison.

Correction détaillée

1. 1

   $a_n=12-3n$aₙ = 12 - 3n est de la forme $u_0+nr$u₀ + nr avec $u_0=12$u₀ = 12 et $r=-3$r = -3 : arithmétique.

   Comme $r<0$r < 0, la suite est DÉCROISSANTE.

2. 2

   $b_n=4+0,5n$bₙ = 4 + 0,5n : arithmétique de raison $r=0,5>0$r = 0,5 > 0, donc CROISSANTE.

3. 3

   $c_n=200\times 1,04^n$cₙ = 200 × 1,04^(n) : géométrique de raison $q=1,04$q = 1,04.

   Le premier terme $200$200 est positif et $q>1$q > 1 : la suite est CROISSANTE (elle gagne $4\%$4% par rang).

4. 4

   $d_n=500\times 0,92^n$dₙ = 500 × 0,92^(n) : géométrique de raison $q=0,92$q = 0,92.

   Premier terme positif et $0<q<1$0 < q < 1 : la suite est DÉCROISSANTE (elle perd $8\%$8% par rang).

5. 5

   Vérification numérique sur $d$d : $d_0=500$d₀ = 500, $d_1=460$d₁ = 460, $d_2=423,2$d₂ = 423,2 — bien décroissante ✔.

Rappel de cours : Arithmétique : le SIGNE de $r$r donne le sens. Géométrique à premier terme positif : $q>1$q > 1 croissante, $0<q<1$0 < q < 1 décroissante.

Erreur fréquente : Dire qu'une suite géométrique de raison $0,92$0,92 est croissante « parce que $0,92>0$0,92 > 0 ». Pour une géométrique, la comparaison utile est avec $1$1, pas avec $0$0.

Correction détaillée

1. 1

   Entre les rangs $3$3 et $11$11, il y a $11-3=8$11 - 3 = 8 pas de raison $r$r : $u_{11}=u_3+8r$u₁₁ = u₃ + 8r.

2. 2

   Donc $69=29+8r$69 = 29 + 8r, soit $8r=40$8r = 40 et $r=5$r = 5.

3. 3

   Pour $u_0$u₀, on redescend de $3$3 pas depuis $u_3$u₃ : $u_0=u_3-3r=29-15=14$u₀ = u₃ - 3r = 29 - 15 = 14.

4. 4

   Terme général : $u_n=14+5n$uₙ = 14 + 5n.

5. 5

   Contrôle : $u_3=14+15=29$u₃ = 14 + 15 = 29 ✔ et $u_{11}=14+55=69$u₁₁ = 14 + 55 = 69 ✔.

6. 6

   $u_{25}=14+5\times 25=14+125=139$u₂₅ = 14 + 5 × 25 = 14 + 125 = 139.

Rappel de cours : $u_n=u_p+(n-p)r$uₙ = uₚ + (n - p) r : on compte le nombre de PAS entre les deux rangs, soit $n-p$n - p.

Erreur fréquente : Diviser par $11$11 au lieu de $8$8 : entre $u_3$u₃ et $u_{11}$u₁₁ il n'y a pas $11$11 pas mais $8$8.

Correction détaillée

1. 1

   Augmenter de $6\%$6% chaque année, c'est multiplier chaque année par $1+0,06=1,06$1 + 0,06 = 1,06 : la suite est géométrique de raison $q=1,06$q = 1,06.

2. 2

   Terme général : $d_n=250\times 1,06^n$dₙ = 250 × 1,06^(n).

3. 3

   2032 correspond à $n=2032-2026=6$n = 2032 - 2026 = 6.

4. 4

   $d_6=250\times 1,06^6$d₆ = 250 × 1,06⁶.

   Or $1,06^6\approx 1,418519$1,06⁶ ≈ 1,418519, donc $d_6\approx 354,6$d₆ ≈ 354,6 Mo/s.

5. 5

   Taux global entre 2026 et 2032 : le coefficient global est $1,06^6\approx 1,4185$1,06⁶ ≈ 1,4185, donc $t\approx (1,4185-1)\times 100\approx +41,9\%$t ≈ (1,4185 - 1)× 100 ≈ +41,9%.

6. 6

   À retenir : $6\%$6% par an pendant $6$6 ans ne donne PAS $36\%$36% mais environ $41,9\%$41,9%.

   L'écart est l'effet cumulé (les intérêts portent sur les intérêts).

Rappel de cours : Hausse de $t\%$t% par période $\Rightarrow q=1+\frac{t}{100}$⇒ q = 1 + t/100 · sur $n$n périodes, le coefficient global est $q^n$qⁿ.

Erreur fréquente : Multiplier le taux par le nombre d'années. Les évolutions en pourcentage se composent par multiplication des coefficients, jamais par addition des taux.

Correction détaillée

1. 1

   La relation $t_{n+1}=1,5t_n-2$tₙ₊₁ = 1,5 tₙ - 2 se traduit en tableur en désignant la cellule juste au-dessus : en B3, on saisit $\text{=1,5*B2-2}$=1,5*B2-2, puis on recopie vers le bas.

2. 2

   $t_1=1,5\times 12-2=18-2=16$t₁ = 1,5 × 12 - 2 = 18 - 2 = 16.

3. 3

   $t_2=1,5\times 16-2=24-2=22$t₂ = 1,5 × 16 - 2 = 24 - 2 = 22.

4. 4

   $t_3=1,5\times 22-2=33-2=31$t₃ = 1,5 × 22 - 2 = 33 - 2 = 31.

5. 5

   $t_4=1,5\times 31-2=46,5-2=44,5$t₄ = 1,5 × 31 - 2 = 46,5 - 2 = 44,5.

6. 6

   Les termes augmentent : $12<16<22<31<44,5$12 < 16 < 22 < 31 < 44,5.

   La suite semble croissante, et de plus en plus vite — les écarts valent $4$4, $6$6, $9$9, $13,5$13,5, eux-mêmes multipliés par $1,5$1,5.

7. 7

   Attention : cette suite n'est NI arithmétique (écarts non constants) NI géométrique ($\frac{16}{12}\ne \frac{22}{16}$16/12 ≠ 22/16).

   On ne peut donc pas utiliser de formule de terme général au programme : le tableur ou un programme est la bonne méthode.

Rappel de cours : En tableur, une relation de récurrence se recopie : la formule référence toujours la cellule du rang précédent (référence relative).

Erreur fréquente : Figer la référence ($\text{=1,5*\$B\$2-2}$=1,5*$B$2-2) : toutes les lignes reprendraient $t_0$t₀ et donneraient la même valeur.

Correction détaillée

1. 1

   $u_0=10$u₀ = 10, $u_1=1-6+10=5$u₁ = 1 - 6 + 10 = 5, $u_2=4-12+10=2$u₂ = 4 - 12 + 10 = 2, $u_3=9-18+10=1$u₃ = 9 - 18 + 10 = 1.

2. 2

   $u_4=16-24+10=2$u₄ = 16 - 24 + 10 = 2, $u_5=25-30+10=5$u₅ = 25 - 30 + 10 = 5, $u_6=36-36+10=10$u₆ = 36 - 36 + 10 = 10.

3. 3

   On calcule $u_{n+1}=(n+1{)}^2-6(n+1)+10=n^2+2n+1-6n-6+10=n^2-4n+5$uₙ₊₁ = (n+1)² - 6(n+1) + 10 = n² + 2n + 1 - 6n - 6 + 10 = n² - 4n + 5.

4. 4

   D'où $u_{n+1}-u_n=(n^2-4n+5)-(n^2-6n+10)=2n-5$uₙ₊₁ - uₙ = (n² - 4n + 5) - (n² - 6n + 10) = 2n - 5.

5. 5

   Signe de $2n-5$2n - 5 : il est négatif pour $n\le 2$n ≤ 2 (car $2n-5<0⟺n<2,5$2n - 5 < 0 ⇔ n < 2,5) et positif pour $n\ge 3$n ≥ 3.

6. 6

   Conclusion : la suite est DÉCROISSANTE de $u_0$u₀ à $u_3$u₃, puis CROISSANTE à partir de $u_3$u₃.

   Son minimum est $u_3=1$u₃ = 1.

7. 7

   Contrôle avec les valeurs calculées : $10>5>2>1$10 > 5 > 2 > 1 puis $1<2<5<10$1 < 2 < 5 < 10 ✔.

   La suite n'est donc pas monotone.

Rappel de cours : Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁ - uₙ : positif $\Rightarrow$⇒ croissante, négatif $\Rightarrow$⇒ décroissante. C'est la méthode générale, valable pour toute suite.

Erreur fréquente : Développer $(n+1{)}^2$(n+1)² en $n^2+1$n² + 1. Le double produit $2n$2n est indispensable, sinon la différence est fausse.

Correction détaillée

1. 1

   Modèle A : on retire toujours la même somme, c'est une suite arithmétique de raison $-5000$-5 000 : $a_n=40000-5000n$aₙ = 40 000 - 5 000n.

2. 2

   Modèle B : on multiplie par $1-0,18=0,82$1 - 0,18 = 0,82 chaque année, c'est une suite géométrique : $b_n=40000\times 0,82^n$bₙ = 40 000 × 0,82^(n).

3. 3

   Après $3$3 ans : $a_3=40000-15000=25000$a₃ = 40 000 - 15 000 = 25 000 € ; $b_3=40000\times 0,82^3=40000\times 0,551368\approx 22054,7$b₃ = 40 000 × 0,82³ = 40 000 × 0,551368 ≈ 22 054,7 €.

4. 4

   À $3$3 ans, le modèle dégressif donne une valeur PLUS BASSE (il fait perdre de la valeur plus vite au début).

5. 5

   Après $6$6 ans : $a_6=40000-30000=10000$a₆ = 40 000 - 30 000 = 10 000 € ; $b_6=40000\times 0,82^6\approx 40000\times 0,304007\approx 12160,3$b₆ = 40 000 × 0,82⁶ ≈ 40 000 × 0,304007 ≈ 12 160,3 €.

6. 6

   Le classement s'est INVERSÉ : à $6$6 ans, le dégressif laisse une valeur plus élevée.

   C'est logique : le linéaire retire $5000$5 000 € quelle que soit la valeur restante, alors que le dégressif retire $18\%$18% d'une valeur qui diminue, donc de moins en moins d'euros.

7. 7

   À $7$7 ans : $a_7=40000-35000=5000$a₇ = 40 000 - 35 000 = 5 000 € et $b_7\approx 40000\times 0,249286\approx 9971,4$b₇ ≈ 40 000 × 0,249286 ≈ 9 971,4 €.

8. 8

   Pour une revente, l'entreprise a intérêt à avoir amorti au maximum, donc à afficher la valeur comptable la plus basse : le modèle A (linéaire) est plus avantageux à $7$7 ans, avec $5000$5 000 € contre près de $10000$10 000 €.

9. 9

   Limite du modèle A : $a_8=0$a₈ = 0 et $a_9=-5000$a₉ = -5 000 €, ce qui n'a aucun sens.

   Le modèle linéaire n'est valable que pour $n\le 8$n ≤ 8 ; le modèle géométrique, lui, reste positif indéfiniment.

Rappel de cours : Baisse d'un MONTANT fixe $\Rightarrow$⇒ arithmétique · baisse d'un POURCENTAGE fixe $\Rightarrow$⇒ géométrique. Les deux courbes se croisent.

Erreur fréquente : Croire qu'un modèle domine l'autre sur toute la durée. Ici l'ordre s'inverse entre la 3ᵉ et la 6ᵉ année : il faut comparer aux rangs demandés.

Correction détaillée

1. 1

   $c_9=1200\times 0,93^9$c₉ = 1 200 × 0,93⁹.

   Or $0,93^9\approx 0,520411$0,93⁹ ≈ 0,520411, donc $c_9\approx 624,5$c₉ ≈ 624,5 Wh.

2. 2

   $624,5>600$624,5 > 600 : la charge est encore suffisante au bout de $9$9 jours ✔.

3. 3

   On cherche le plus petit $n$n tel que $1200\times 0,93^n<600$1 200 × 0,93^(n) < 600, c'est-à-dire $0,93^n<0,5$0,93^(n) < 0,5.

4. 4

   La suite étant décroissante, il suffit de balayer les rangs suivants : $0,93^{10}\approx 0,483982$0,93¹⁰ ≈ 0,483 982, donc $c_{10}\approx 580,8$c₁₀ ≈ 580,8 Wh.

5. 5

   $580,8<600$580,8 < 600 : le seuil est franchi au rang $10$10.

6. 6

   Comme $c_9\approx 624,5>600$c₉ ≈ 624,5 > 600 et $c_{10}\approx 580,8<600$c₁₀ ≈ 580,8 < 600, le premier jour où la charge est insuffisante est le JOUR 10.

7. 7

   Remarque : la charge a perdu la moitié de sa valeur en $10$10 jours, alors qu'elle ne perd que $7\%$7% par jour.

   Les baisses successives se cumulent plus vite qu'on ne l'imagine.

Rappel de cours : Pour un seuil sur une suite MONOTONE, il suffit d'encadrer : le premier rang qui franchit le seuil est celui où le test change de résultat.

Erreur fréquente : Résoudre $0,93^n<0,5$0,93^(n) < 0,5 « en divisant par $0,93$0,93 » : la puissance ne s'élimine pas ainsi. On balaye (ou on utilisera le logarithme en Terminale).

Correction détaillée

1. 1

   $r_1=0,8\times 300+90=240+90=330$r₁ = 0,8 × 300 + 90 = 240 + 90 = 330 L.

2. 2

   $r_2=0,8\times 330+90=264+90=354$r₂ = 0,8 × 330 + 90 = 264 + 90 = 354 L.

3. 3

   $r_3=0,8\times 354+90=283,2+90=373,2$r₃ = 0,8 × 354 + 90 = 283,2 + 90 = 373,2 L.

4. 4

   On teste $450$450 : $0,8\times 450+90=360+90=450$0,8 × 450 + 90 = 360 + 90 = 450.

   Le volume se reproduit à l'identique : $450$450 L est un ÉQUILIBRE du modèle.

5. 5

   Interprétation physique : à $450$450 L, la perte journalière vaut $20\%$20% de $450$450, soit exactement $90$90 L — précisément ce qu'on ajoute.

   Les deux effets se compensent.

6. 6

   Comme on part de $300<450$300 < 450 et que la suite est croissante (les termes calculés augmentent : $300<330<354<373,2$300 < 330 < 354 < 373,2), le volume monte vers $450$450 L sans jamais le dépasser.

7. 7

   Quelques termes plus loin : $r_{10}\approx 433,9$r₁₀ ≈ 433,9 L, $r_{20}\approx 448,3$r₂₀ ≈ 448,3 L.

   Le réservoir se stabilise autour de $450$450 L.

8. 8

   Cette suite n'est ni arithmétique (écarts $30$30, $24$24, $19,2$19,2 : non constants) ni géométrique (quotients non constants) : c'est un modèle mixte, qu'on étudie par le calcul pas à pas.

Rappel de cours : Un volume d'équilibre $\ell$ℓ vérifie $\ell =0,8\ell +90$ℓ = 0,8ℓ + 90 : ce qu'on ajoute compense exactement ce qui est perdu.

Erreur fréquente : Penser que le réservoir se remplit sans limite parce qu'on ajoute $90$90 L par jour : la perte grandit avec le contenu, ce qui borne le volume.

Correction détaillée

1. 1

   La production augmente d'une quantité fixe : suite arithmétique de raison $15$15, de premier terme $p_1=120$p₁ = 120.

2. 2

   Comme le premier terme est de rang $1$1 : $p_n=p_1+(n-1)\times 15=120+15(n-1)$pₙ = p₁ + (n - 1) × 15 = 120 + 15(n-1), soit $p_n=105+15n$pₙ = 105 + 15n.

3. 3

   Contrôle : $p_1=105+15=120$p₁ = 105 + 15 = 120 ✔ et $p_2=135$p₂ = 135 (soit $120+15$120 + 15) ✔.

4. 4

   Les six premiers mois : $120$120, $135$135, $150$150, $165$165, $180$180, $195$195.

5. 5

   Total en les additionnant : $120+135=255$120 + 135 = 255 ; $255+150=405$255 + 150 = 405 ; $405+165=570$405 + 165 = 570 ; $570+180=750$570 + 180 = 750 ; $750+195=945$750 + 195 = 945.

6. 6

   La production totale des $6$6 premiers mois est de $945$945 pièces.

7. 7

   Programme d'accumulation : on part d'un total nul et on ajoute les termes un par un.$$\text{def total(N):}$$def total(N):$$\text{S = 0}$$S = 0$$\text{for n in range(1, N+1):}$$for n in range(1, N+1):$$\text{S = S + 105 + 15*n}$$S = S + 105 + 15*n$$\text{return S}$$return S

8. 8

   Avec $\text{total(6)}$total(6), le programme renvoie bien $945$945.

   Le $\text{range(1, N+1)}$range(1, N+1) est important : il fait bien parcourir les rangs $1$1 à $N$N inclus.

Rappel de cours : Un cumul se programme avec un accumulateur : une variable initialisée à $0$0 à laquelle on ajoute chaque terme dans une boucle.

Erreur fréquente : Écrire $p_n=120+15n$pₙ = 120 + 15n : on obtiendrait $p_1=135$p₁ = 135, un mois d'avance. Quand la suite commence à $n=1$n = 1, le terme général utilise $(n-1)$(n - 1).

Correction détaillée

1. 1

   On retire toujours la même quantité : suite arithmétique de raison $-45$-45, de premier terme $s_0=800$s₀ = 800.

2. 2

   $s_n=800-45n$sₙ = 800 - 45n.

3. 3

   Seuil de commande : on résout $800-45n<200$800 - 45n < 200, soit $-45n<-600$-45n < -600.

4. 4

   En divisant par $-45$-45 (ce qui INVERSE l'inégalité) : $n>\frac{600}{45}\approx 13,33$n > 600/45 ≈ 13,33.

5. 5

   Le premier entier convenant est $n=14$n = 14 : la commande doit être passée à la 14ᵉ semaine ($s_{14}=800-630=170<200$s₁₄ = 800 - 630 = 170 < 200, alors que $s_{13}=215$s₁₃ = 215).

6. 6

   Pour la rupture, on cherche quand le stock s'épuise : $800-45n\le 0$800 - 45n ≤ 0 donne $n\ge \frac{800}{45}\approx 17,78$n ≥ 800/45 ≈ 17,78, soit la 18ᵉ semaine.

7. 7

   Avec un délai de trois semaines, il faut donc commander au plus tard à la semaine $18-3=15$18 - 3 = 15.

8. 8

   Contrôle : une commande passée en semaine $15$15 arrive en semaine $18$18, et $s_{17}=800-765=35$s₁₇ = 800 - 765 = 35 joints restants ✔ — juste assez pour tenir.

9. 9

   Remarque de gestion : le seuil de $200$200 joints (semaine 14) est plus prudent que le calcul limite (semaine 15).

   C'est le rôle du stock de sécurité : absorber un retard de livraison ou une consommation plus forte que prévu.

Rappel de cours : Suite arithmétique décroissante : le seuil s'obtient en résolvant une inéquation, et l'on n'oublie pas d'inverser le sens en divisant par un négatif.

Erreur fréquente : Conclure $n=13$n = 13 : $s_{13}=215$s₁₃ = 215 joints, encore au-dessus du seuil. Il faut le premier entier STRICTEMENT supérieur à $13,33$13,33.

Correction détaillée

1. 1

   Contrat A : suite arithmétique de premier terme $a_1=4000$a₁ = 4 000 et de raison $300$300, donc $a_n=4000+300(n-1)=3700+300n$aₙ = 4 000 + 300(n-1) = 3 700 + 300n.

2. 2

   Contrat B : suite géométrique de premier terme $b_1=3200$b₁ = 3 200 et de raison $1,08$1,08, donc $b_n=3200\times 1,08^{n-1}$bₙ = 3 200 × 1,08^(n-1).

3. 3

   5ᵉ année : $a_5=3700+1500=5200$a₅ = 3 700 + 1 500 = 5 200 € et $b_5=3200\times 1,08^4\approx 3200\times 1,360489\approx 4353,6$b₅ = 3 200 × 1,08⁴ ≈ 3 200 × 1,360489 ≈ 4 353,6 €.

   Le contrat B est moins cher.

4. 4

   10ᵉ année : $a_{10}=3700+3000=6700$a₁₀ = 3 700 + 3 000 = 6 700 € et $b_{10}=3200\times 1,08^9\approx 3200\times 1,999005\approx 6396,8$b₁₀ = 3 200 × 1,08⁹ ≈ 3 200 × 1,999005 ≈ 6 396,8 €.

   B reste moins cher, mais l'écart s'est réduit de $846$846 € à $303$303 €.

5. 5

   On poursuit : $b_{11}\approx 3200\times 2,158925\approx 6908,6$b₁₁ ≈ 3 200 × 2,158925 ≈ 6 908,6 € contre $a_{11}=7000$a₁₁ = 7 000 € : A est encore plus cher.

6. 6

   $b_{12}\approx 3200\times 2,331639\approx 7461,2$b₁₂ ≈ 3 200 × 2,331639 ≈ 7 461,2 € contre $a_{12}=7300$a₁₂ = 7 300 € : cette fois B DÉPASSE A.

7. 7

   Le contrat B devient donc plus coûteux à partir de la 12ᵉ année.

8. 8

   Explication : le contrat A croît d'un montant fixe, le contrat B d'un pourcentage — et une croissance en pourcentage finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même partie de plus bas.

   Le choix dépend donc de la DURÉE d'engagement : B sur un contrat court, A sur un engagement long.

Rappel de cours : Une suite géométrique de raison $>1$> 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique croissante, quels que soient les premiers termes.

Erreur fréquente : Utiliser l'exposant $n$n au lieu de $n-1$n - 1 pour le contrat B : $b_1$b₁ vaudrait $3456$3 456 € et tout le raisonnement glisserait d'un an.

Correction détaillée

1. 1

   Pour une suite géométrique, $v_2=v_0\times q^2$v₂ = v₀ × q², donc $1620=2000q^2$1 620 = 2 000 q².

2. 2

   $q^2=\frac{1620}{2000}=0,81$q² = (1 620)/(2 000) = 0,81.

3. 3

   $q^2=0,81$q² = 0,81 admet deux solutions, $q=0,9$q = 0,9 et $q=-0,9$q = -0,9.

   La raison étant positive, $q=0,9$q = 0,9.

4. 4

   Un coefficient $0,9$0,9 correspond à $t=(0,9-1)\times 100=-10$t = (0,9 - 1) × 100 = -10 : l'amplitude baisse de $10\%$10% par seconde.

5. 5

   Contrôle : $2000\to 1800\to 1620$2 000 → 1 800 → 1 620 ✔ en deux baisses de $10\%$10%.

6. 6

   $v_5=2000\times 0,9^5$v₅ = 2 000 × 0,9⁵.

   Or $0,9^5=0,59049$0,9⁵ = 0,59049, donc $v_5=1180,98\approx 1181$v₅ = 1 180,98 ≈ 1 181 µm.

7. 7

   Remarque : $q=\sqrt{0,81}=0,9$q = √(0,81) = 0,9 — c'est la moyenne GÉOMÉTRIQUE des deux coefficients de passage, pas leur moyenne arithmétique.

   Une baisse « moyenne » de $19\%$19% sur deux secondes ne se divise pas en deux baisses de $9,5\%$9,5%.

Rappel de cours : $v_{n+k}=v_n\times q^k$vₙ₊ₖ = vₙ × q^(k) : pour remonter à $q$q quand on connaît deux termes distants de $k$k rangs, on extrait la racine $k$k-ième du quotient.

Erreur fréquente : Calculer $\frac{1620}{2000}=0,81$(1 620)/(2 000) = 0,81 et annoncer une baisse de $19\%$19% par seconde. $0,81$0,81 est le coefficient sur DEUX secondes ; par seconde, c'est $\sqrt{0,81}=0,9$√(0,81) = 0,9.