Exercices corrigés : Répétition d'épreuves indépendantes — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Une épreuve de Bernoulli est une expérience à DEUX issues seulement, qu'on appelle succès et échec.

2. 2

   ① Deux issues : conforme / non conforme.

   C'est une épreuve de Bernoulli ✔

3. 3

   ② Six issues possibles ($1$1 à $6$6) : ce n'est PAS une épreuve de Bernoulli en l'état. (Elle le deviendrait si l'on notait seulement « obtenir $6$6 » ou non.)

4. 4

   ③ Deux issues : la soudure tient / ne tient pas.

   C'est une épreuve de Bernoulli ✔

5. 5

   ④ Une infinité de valeurs possibles : ce n'est pas une épreuve de Bernoulli. (Elle le deviendrait avec un critère du type « la tige est-elle dans la tolérance ? ».)

6. 6

   Pour ① : en choisissant « la pièce est conforme » comme succès, $p=1-0,03=0,97$p = 1 - 0,03 = 0,97.

7. 7

   Pour ③ : en choisissant « la soudure tient » comme succès, $p=1-0,02=0,98$p = 1 - 0,02 = 0,98.

8. 8

   Remarque : le choix du succès est libre, il suffit de l'annoncer.

   On aurait pu prendre « la pièce est défectueuse » avec $p=0,03$p = 0,03 — tous les calculs suivants s'adapteraient.

Rappel de cours : Épreuve de Bernoulli : DEUX issues, un succès de probabilité $p$p, un échec de probabilité $1-p$1 - p.

Erreur fréquente : Oublier de préciser ce qu'on appelle succès. Sans cette phrase, $p=0,97$p = 0,97 et $p=0,03$p = 0,03 sont toutes deux « justes » — et la correction devient illisible.

Correction détaillée

1. 1

   À chaque prélèvement, deux branches : $S$S (défectueuse, $0,1$0,1) ou $\overline{S}$S̅ (conforme, $0,9$0,9).

   Deux prélèvements donnent $2\times 2=4$2 × 2 = 4 issues.

2. 2

   Les quatre issues sont $SS$SS, $S\overline{S}$SS̅, $\overline{S}S$S̅S et $\overline{S}\overline{S}$S̅ S̅.

3. 3

   $P(SS)=0,1\times 0,1=0,01$P(SS) = 0,1 × 0,1 = 0,01.

4. 4

   $P(S\overline{S})=0,1\times 0,9=0,09$P(SS̅) = 0,1 × 0,9 = 0,09.

5. 5

   $P(\overline{S}S)=0,9\times 0,1=0,09$P(S̅S) = 0,9 × 0,1 = 0,09.

6. 6

   $P(\overline{S}\overline{S})=0,9\times 0,9=0,81$P(S̅ S̅) = 0,9 × 0,9 = 0,81.

7. 7

   Somme : $0,01+0,09+0,09+0,81=1$0,01 + 0,09 + 0,09 + 0,81 = 1 ✔ C'est le contrôle indispensable.

8. 8

   À noter : $S\overline{S}$SS̅ et $\overline{S}S$S̅S ont la même probabilité ($0,09$0,09) mais ce sont DEUX issues distinctes de l'arbre.

   C'est pour cela qu'« exactement une pièce défectueuse » vaut $0,18$0,18 et non $0,09$0,09.

Rappel de cours : $n$n répétitions d'une épreuve à deux issues donnent $2^n$2ⁿ chemins sur l'arbre.

Erreur fréquente : Confondre $S\overline{S}$SS̅ et $\overline{S}S$S̅S en un seul cas : l'ORDRE compte sur un arbre, ce sont deux chemins différents.

Correction détaillée

1. 1

   Les opérations sont indépendantes : la probabilité d'une succession de réussites est le PRODUIT des probabilités.

2. 2

   Deux perçages : $0,96\times 0,96=0,96^2=0,9216$0,96 × 0,96 = 0,96² = 0,921 6.

3. 3

   Trois perçages : $0,96^3=0,884736\approx 0,885$0,96³ = 0,884 736 ≈ 0,885.

4. 4

   Observation importante : chaque opération est très fiable ($96\%$96%), mais la fiabilité de la SÉRIE baisse à chaque étape : $96\%$96%, puis $92,2\%$92,2%, puis $88,5\%$88,5%.

5. 5

   Sur $10$10 opérations, il resterait $0,96^{10}\approx 0,665$0,96¹⁰ ≈ 0,665 : une chance sur trois qu'au moins une opération échoue.

   C'est le raisonnement qui impose des contrôles intermédiaires sur une ligne de production longue.

Rappel de cours : $n$n succès consécutifs d'épreuves indépendantes : $p^n$pⁿ. La fiabilité d'une série DÉCROÎT avec le nombre d'étapes.

Erreur fréquente : Calculer $0,96\times 2=1,92$0,96 × 2 = 1,92 : une probabilité ne dépasse jamais $1$1. Les répétitions se MULTIPLIENT.

Correction détaillée

1. 1

   Non-détection à un passage : $1-0,8=0,2$1 - 0,8 = 0,2.

2. 2

   Aucune détection sur deux passages : $0,2\times 0,2=0,04$0,2 × 0,2 = 0,04.

3. 3

   « Au moins une détection » est l'évènement CONTRAIRE de « aucune détection ».

4. 4

   Donc $P(\text{au moins une})=1-0,04=0,96$P( au moins une ) = 1 - 0,04 = 0,96.

5. 5

   Contrôle par la somme des chemins favorables : $P(SS)+P(S\overline{S})+P(\overline{S}S)=0,64+0,16+0,16=0,96$P(SS) + P(SS̅) + P(S̅S) = 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96 ✔.

6. 6

   Le passage par l'évènement contraire est beaucoup plus rapide : UN produit au lieu de trois, et le gain grandit avec le nombre d'essais.

Rappel de cours : « Au moins un succès » $=1-P(\text{aucun succeˋs})=1-(1-p{)}^n$= 1 - P( aucun succès ) = 1 - (1-p)ⁿ.

Erreur fréquente : Additionner $0,8+0,8=1,6$0,8 + 0,8 = 1,6 : impossible pour une probabilité. Le mot clé « au moins un » appelle l'évènement contraire.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque répétition double le nombre de chemins : $2$2, puis $4$4, puis $8$8.

   L'arbre a donc $8$8 chemins.

2. 2

   Listons-les : $SSS$SSS, $SS\overline{S}$SSS̅, $S\overline{S}S$SS̅S, $S\overline{S}\overline{S}$SS̅ S̅, $\overline{S}SS$S̅SS, $\overline{S}S\overline{S}$S̅SS̅, $\overline{S}\overline{S}S$S̅ S̅S, $\overline{S}\overline{S}\overline{S}$S̅ S̅ S̅.

3. 3

   $0$0 succès : un seul chemin, $\overline{S}\overline{S}\overline{S}$S̅ S̅ S̅.

4. 4

   $1$1 succès : trois chemins, selon la position du succès (1ʳᵉ, 2ᵉ ou 3ᵉ épreuve).

5. 5

   $2$2 succès : trois chemins, selon la position de l'unique échec.

6. 6

   $3$3 succès : un seul chemin, $SSS$SSS.

7. 7

   Contrôle : $1+3+3+1=8$1 + 3 + 3 + 1 = 8 ✔ On retrouve bien le nombre total de chemins.

8. 8

   Cette suite de comptages ($1$1-$3$3-$3$3-$1$1) est à connaître pour $n=3$n = 3, comme $1$1-$2$2-$1$1 pour $n=2$n = 2 et $1$1-$4$4-$6$6-$4$4-$1$1 pour $n=4$n = 4.

Rappel de cours : $n=2\to 1\text{-}2\text{-}1$n = 2 → 1 - 2 - 1 · $n=3\to 1\text{-}3\text{-}3\text{-}1$n = 3 → 1 - 3 - 3 - 1 · $n=4\to 1\text{-}4\text{-}6\text{-}4\text{-}1$n = 4 → 1 - 4 - 6 - 4 - 1. Total $2^n$2ⁿ.

Erreur fréquente : Croire qu'il y a un seul chemin pour « $1$1 succès ». Le succès peut arriver à trois moments différents : ce sont trois chemins.

Correction détaillée

1. 1

   Succès $S$S : « le composant est défectueux », $p=0,2$p = 0,2, donc $1-p=0,8$1 - p = 0,8.

2. 2

   Un chemin à exactement un succès, par exemple $S\overline{S}\overline{S}$SS̅ S̅, a pour probabilité $0,2\times 0,8\times 0,8=0,128$0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,128.

3. 3

   Les deux autres chemins ($\overline{S}S\overline{S}$S̅SS̅ et $\overline{S}\overline{S}S$S̅ S̅S) ont la MÊME probabilité : les mêmes facteurs, dans un autre ordre.

4. 4

   Il y a $3$3 chemins, donc $P(\text{exactement un})=3\times 0,128=0,384$P( exactement un ) = 3 × 0,128 = 0,384.

5. 5

   Pour exactement deux succès : un chemin vaut $0,2\times 0,2\times 0,8=0,032$0,2 × 0,2 × 0,8 = 0,032, et il y a également $3$3 chemins.

6. 6

   $P(\text{exactement deux})=3\times 0,032=0,096$P( exactement deux ) = 3 × 0,032 = 0,096.

7. 7

   Contrôle global : $P(0)=0,8^3=0,512$P(0) = 0,8³ = 0,512 ; $P(1)=0,384$P(1) = 0,384 ; $P(2)=0,096$P(2) = 0,096 ; $P(3)=0,2^3=0,008$P(3) = 0,2³ = 0,008.

   Somme : $0,512+0,384+0,096+0,008=1$0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1 ✔.

Rappel de cours : Tous les chemins à $k$k succès ont la même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$p^(k)(1-p)^(n-k) : on la calcule une fois, puis on multiplie par le NOMBRE de chemins.

Erreur fréquente : Oublier de multiplier par $3$3 : on obtiendrait $0,128$0,128, soit la probabilité d'un seul chemin précis (« le premier est défectueux, les deux autres non »).

Correction détaillée

1. 1

   Probabilité qu'une pièce soit conforme : $0,95$0,95.

2. 2

   Aucune non conforme sur trois : $0,95^3=0,857375\approx 0,857$0,95³ = 0,857 375 ≈ 0,857.

3. 3

   Au moins une non conforme : $1-0,857375=0,142625\approx 0,143$1 - 0,857 375 = 0,142 625 ≈ 0,143.

4. 4

   Pour la troisième question, on cherche $n$n tel que $1-0,95^n>0,25$1 - 0,95^(n) > 0,25, c'est-à-dire $0,95^n<0,75$0,95^(n) < 0,75.

5. 5

   On teste ($n\le 4$n ≤ 4 étant la limite du programme, on prolonge ici le calcul à titre de prévision) : $0,95^4\approx 0,814$0,95⁴ ≈ 0,814 ; $0,95^5\approx 0,774$0,95⁵ ≈ 0,774 ; $0,95^6\approx 0,735$0,95⁶ ≈ 0,735.

6. 6

   $0,735<0,75$0,735 < 0,75 : il faut prélever $6$6 pièces.

7. 7

   Contrôle : avec $6$6 pièces, $P(\text{au moins une non conforme})\approx 1-0,735=0,265>0,25$P( au moins une non conforme ) ≈ 1 - 0,735 = 0,265 > 0,25 ✔, alors qu'avec $5$5 pièces on n'aurait que $0,226$0,226.

Rappel de cours : $P(\text{au moins un})=1-(1-p{)}^n$P( au moins un ) = 1 - (1-p)ⁿ : cette probabilité CROÎT avec $n$n, puisque $(1-p{)}^n$(1-p)ⁿ décroît.

Erreur fréquente : Calculer $3\times 0,05=0,15$3 × 0,05 = 0,15 : l'approximation est proche de $0,143$0,143 par hasard, mais la méthode est fausse — elle donnerait $1,5$1,5 pour $30$30 prélèvements.

Correction détaillée

1. 1

   Quatre répétitions : $2^4=16$2⁴ = 16 chemins.

2. 2

   Comptage par nombre de succès : $0$0 succès $\to 1$→ 1 chemin ; $4$4 succès $\to 1$→ 1 chemin.

3. 3

   $1$1 succès $\to 4$→ 4 chemins (le succès peut être en position 1, 2, 3 ou 4).

   Même chose pour $3$3 succès ($4$4 positions pour l'unique échec).

4. 4

   $2$2 succès $\to$→ il reste $16-1-4-4-1=6$16 - 1 - 4 - 4 - 1 = 6 chemins.

   On peut les lister : $SS\overline{S}\overline{S}$SSS̅ S̅, $S\overline{S}S\overline{S}$SS̅SS̅, $S\overline{S}\overline{S}S$SS̅ S̅S, $\overline{S}SS\overline{S}$S̅SSS̅, $\overline{S}S\overline{S}S$S̅SS̅S, $\overline{S}\overline{S}SS$S̅ S̅SS — six paires de positions.

5. 5

   Répartition : $1$1-$4$4-$6$6-$4$4-$1$1, de somme $16$16 ✔.

6. 6

   Comme $p=0,5$p = 0,5, chaque chemin a la même probabilité $0,5^4=\frac{1}{16}=0,0625$0,5⁴ = 1/16 = 0,0625.

7. 7

   $P(\text{exactement deux piles})=6\times 0,0625=0,375$P( exactement deux piles ) = 6 × 0,0625 = 0,375.

8. 8

   Remarque : c'est le résultat le plus probable, mais il n'arrive que dans $37,5\%$37,5% des cas — « deux piles sur quatre » est loin d'être la règle.

Rappel de cours : Pour $p=0,5$p = 0,5, tous les chemins sont équiprobables : la probabilité se réduit à $\frac{\text{nombre de chemins favorables}}{2^n}$(nombre de chemins favorables)/2ⁿ.

Erreur fréquente : Annoncer $0,5$0,5 pour « deux piles sur quatre » en raisonnant « une chance sur deux ». Le calcul donne $0,375$0,375.

Correction détaillée

1. 1

   Sur deux épreuves, le nombre de réussites peut valoir $0$0, $1$1 ou $2$2.

2. 2

   $P(X=0)$P(X = 0) : aucune réussite, un seul chemin $\overline{S}\overline{S}$S̅ S̅, soit $0,1\times 0,1=0,01$0,1 × 0,1 = 0,01.

3. 3

   $P(X=1)$P(X = 1) : deux chemins ($S\overline{S}$SS̅ et $\overline{S}S$S̅S), chacun de probabilité $0,9\times 0,1=0,09$0,9 × 0,1 = 0,09, donc $2\times 0,09=0,18$2 × 0,09 = 0,18.

4. 4

   $P(X=2)$P(X = 2) : un seul chemin $SS$SS, soit $0,9\times 0,9=0,81$0,9 × 0,9 = 0,81.

5. 5

   Tableau de la loi : $P(X=0)=0,01$P(X = 0) = 0,01 · $P(X=1)=0,18$P(X = 1) = 0,18 · $P(X=2)=0,81$P(X = 2) = 0,81

6. 6

   Contrôle : $0,01+0,18+0,81=1$0,01 + 0,18 + 0,81 = 1 ✔ Une loi de probabilité a toujours une somme égale à $1$1.

7. 7

   Lecture : dans $81\%$81% des cas les deux tests réussissent ; dans $18\%$18% un seul ; le double échec est rare ($1\%$1%) mais pas impossible.

Rappel de cours : Donner une loi de probabilité = donner TOUTES les valeurs possibles et leurs probabilités, dont la somme vaut $1$1.

Erreur fréquente : Oublier le facteur $2$2 sur $P(X=1)$P(X = 1) : la somme ne ferait plus $1$1 ($0,91$0,91), ce qui signale immédiatement l'erreur.

Correction détaillée

1. 1

   ① Avec remise, la composition du lot est identique à chaque tirage : les épreuves sont identiques et indépendantes ✔ $p=\frac{5}{50}=0,1$p = 5/50 = 0,1 à chaque fois.

2. 2

   ② Sans remise, la composition change : après un premier tirage défectueux, il reste $4$4 défectueuses sur $49$49.

   Les épreuves ne sont NI identiques NI indépendantes ✘

3. 3

   ③ Sans remise également, donc en toute rigueur pas indépendantes.

   Mais retirer $3$3 pièces d'un lot de $100000$100 000 change les proportions de façon négligeable : on ASSIMILE la situation à un schéma de Bernoulli avec $p=0,1$p = 0,1.

   C'est l'approximation usuelle quand le lot est très grand devant l'échantillon.

4. 4

   Calcul exact pour ② : $P=\frac{5}{50}\times \frac{4}{49}\times \frac{3}{48}$P = 5/50 × 4/49 × 3/48.

5. 5

   $=0,1\times 0,08163\times 0,0625\approx 0,00051$= 0,1 × 0,081 63 × 0,0625 ≈ 0,000 51.

6. 6

   Calcul (erroné ici) avec remise : $0,1^3=0,001$0,1³ = 0,001.

7. 7

   L'écart est d'un facteur $2$2 environ : l'hypothèse d'indépendance n'est pas neutre sur un petit lot.

   Elle le devient quand le lot est grand, comme en ③.

Rappel de cours : Schéma de Bernoulli $\Rightarrow$⇒ épreuves IDENTIQUES et INDÉPENDANTES. Avec remise : toujours vrai. Sans remise : acceptable seulement si l'échantillon est petit devant le lot.

Erreur fréquente : Appliquer $p^3$p³ à un tirage sans remise dans un petit lot. Ici, cela double la probabilité annoncée.

Correction détaillée

1. 1

   Les trois fonctionnent : $0,9^3=0,729$0,9³ = 0,729.

2. 2

   Aucun ne fonctionne : $0,1^3=0,001$0,1³ = 0,001.

3. 3

   Au moins un fonctionne : $1-0,001=0,999$1 - 0,001 = 0,999, soit $99,9\%$99,9% de fiabilité.

4. 4

   Pour « au moins deux », on additionne les cas « exactement deux » et « exactement trois ».

5. 5

   Exactement deux : un chemin vaut $0,9\times 0,9\times 0,1=0,081$0,9 × 0,9 × 0,1 = 0,081, et il y a $3$3 chemins (position du détecteur en panne), soit $3\times 0,081=0,243$3 × 0,081 = 0,243.

6. 6

   Exactement trois : $0,729$0,729.

7. 7

   Au moins deux : $0,243+0,729=0,972$0,243 + 0,729 = 0,972, soit $97,2\%$97,2%.

8. 8

   Contrôle par la loi complète : $P(0)=0,001$P(0) = 0,001 ; $P(1)=3\times 0,9\times 0,1^2=0,027$P(1) = 3 × 0,9 × 0,1² = 0,027 ; $P(2)=0,243$P(2) = 0,243 ; $P(3)=0,729$P(3) = 0,729.

   Somme : $0,001+0,027+0,243+0,729=1$0,001+0,027+0,243+0,729 = 1 ✔.

9. 9

   Comparaison instructive : un seul détecteur donne $90\%$90%, « au moins deux sur trois » donne $97,2\%$97,2%, « au moins un sur trois » donne $99,9\%$99,9%.

   Plus l'exigence de vote est élevée, plus la fiabilité baisse — mais plus les fausses alarmes diminuent.

   C'est le compromis à régler en sûreté de fonctionnement.

Rappel de cours : « Au moins un » passe par le contraire · « au moins deux » se décompose en « exactement deux » + « exactement trois ».

Erreur fréquente : Calculer « au moins deux » comme $1-P(2)$1 - P(2) : le contraire de « au moins deux » est « au plus un », c'est-à-dire $P(0)+P(1)$P(0) + P(1).

Correction détaillée

1. 1

   $p=0,25$p = 0,25 et $1-p=0,75$1 - p = 0,75.

2. 2

   $P(X=0)=0,75^3=0,421875$P(X = 0) = 0,75³ = 0,421 875.

3. 3

   $P(X=1)=3\times 0,25\times 0,75^2=3\times 0,25\times 0,5625=0,421875$P(X = 1) = 3 × 0,25 × 0,75² = 3 × 0,25 × 0,562 5 = 0,421 875.

4. 4

   $P(X=2)=3\times 0,25^2\times 0,75=3\times 0,0625\times 0,75=0,140625$P(X = 2) = 3 × 0,25² × 0,75 = 3 × 0,0625 × 0,75 = 0,140 625.

5. 5

   $P(X=3)=0,25^3=0,015625$P(X = 3) = 0,25³ = 0,015 625.

6. 6

   Contrôle : $0,421875+0,421875+0,140625+0,015625=1$0,421 875 + 0,421 875 + 0,140 625 + 0,015 625 = 1 ✔.

7. 7

   Curiosité à connaître : $P(X=0)=P(X=1)$P(X=0) = P(X=1) exactement.

   Ce n'est pas une erreur — cela arrive quand $3p=1-p$3p = 1 - p, c'est-à-dire $p=0,25$p = 0,25.

8. 8

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,421875=0,578125$P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,421 875 = 0,578 125.

9. 9

   $P(X\le 2)=1-P(X=3)=1-0,015625=0,984375$P(X ≤ 2) = 1 - P(X = 3) = 1 - 0,015 625 = 0,984 375.

10. 10

    Les deux passent par l'évènement contraire : c'est toujours le chemin le plus court quand une seule valeur est exclue.

Rappel de cours : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) et $P(X\le 2)=1-P(X=3)$P(X ≤ 2) = 1 - P(X = 3) : on retire la seule valeur exclue.

Erreur fréquente : Calculer $P(X\le 2)$P(X ≤ 2) en additionnant trois termes quand un seul suffit. Plus de calculs, plus de risques d'erreur.

Correction détaillée

1. 1

   $P(0)=0,9^4=0,6561$P(0) = 0,9⁴ = 0,656 1.

2. 2

   Pour exactement une : un chemin vaut $0,1\times 0,9^3=0,1\times 0,729=0,0729$0,1 × 0,9³ = 0,1 × 0,729 = 0,072 9, et il y a $4$4 chemins (positions possibles de la pièce non conforme).

3. 3

   $P(1)=4\times 0,0729=0,2916$P(1) = 4 × 0,072 9 = 0,291 6.

4. 4

   L'arrêt correspond à $X\ge 2$X ≥ 2.

   Son contraire est $X\le 1$X ≤ 1, c'est-à-dire $0$0 ou $1$1 pièce non conforme.

5. 5

   $P(X\le 1)=0,6561+0,2916=0,9477$P(X ≤ 1) = 0,656 1 + 0,291 6 = 0,947 7.

6. 6

   $P(\text{arreˆt})=1-0,9477=0,0523$P( arrêt ) = 1 - 0,947 7 = 0,052 3, soit environ $5,2\%$5,2%.

7. 7

   Contrôle par le calcul direct : $P(2)=6\times 0,1^2\times 0,9^2=6\times 0,0081=0,0486$P(2) = 6 × 0,1² × 0,9² = 6 × 0,0081 = 0,048 6 ; $P(3)=4\times 0,001\times 0,9=0,0036$P(3) = 4 × 0,001 × 0,9 = 0,003 6 ; $P(4)=0,0001$P(4) = 0,0001.

   Somme : $0,0486+0,0036+0,0001=0,0523$0,048 6 + 0,003 6 + 0,0001 = 0,052 3 ✔.

8. 8

   Lecture industrielle : avec $10\%$10% de pièces non conformes, ce contrôle ne déclenche l'arrêt que dans $5\%$5% des prélèvements.

   Il laisse donc passer beaucoup de lots pourtant médiocres — le critère est peu sévère.

Rappel de cours : Le contraire de « au moins $2$2 » est « au plus $1$1 », soit $P(0)+P(1)$P(0) + P(1). C'est la voie la plus économique pour $n=4$n = 4.

Erreur fréquente : Prendre « au moins $2$2 » pour le contraire de « au plus $2$2 ». Les deux évènements contiennent la valeur $2$2, ils ne sont pas contraires.

Correction détaillée

1. 1

   « Réussir au moins une fois » a pour contraire « échouer trois fois », de probabilité $q^3$q³.

2. 2

   La condition s'écrit $1-q^3\ge 0,99$1 - q³ ≥ 0,99, soit $q^3\le 0,01$q³ ≤ 0,01.

3. 3

   On cherche le plus grand $q$q vérifiant cela, en testant des valeurs : $0,2^3=0,008\le 0,01$0,2³ = 0,008 ≤ 0,01 ✔ ; $0,22^3=0,010648>0,01$0,22³ = 0,010 648 > 0,01 ✘.

4. 4

   En affinant : $0,215^3\approx 0,00994\le 0,01$0,215³ ≈ 0,009 94 ≤ 0,01 ✔ et $0,216^3\approx 0,01008>0,01$0,216³ ≈ 0,010 08 > 0,01 ✘.

5. 5

   Donc $q\le 0,215$q ≤ 0,215 environ, c'est-à-dire un taux d'échec d'au plus $21,5\%$21,5% par tentative.

6. 6

   Taux de réussite minimal : $p=1-q\ge 1-0,215=0,785$p = 1 - q ≥ 1 - 0,215 = 0,785, soit environ $78,5\%$78,5%.

7. 7

   Résultat frappant : avec trois tentatives, un robot qui ne réussit que $4$4 fois sur $5$5 atteint déjà $99\%$99% de réussite globale.

   C'est l'intérêt de la reprise automatique après échec.

8. 8

   Contrôle : avec $p=0,785$p = 0,785, $1-0,215^3\approx 1-0,00994=0,99006\ge 0,99$1 - 0,215³ ≈ 1 - 0,009 94 = 0,990 06 ≥ 0,99 ✔.

Rappel de cours : Une contrainte sur « au moins un succès » se transforme toujours en contrainte sur $(1-p{)}^n$(1-p)ⁿ, donc sur l'ÉCHEC répété.

Erreur fréquente : Diviser $0,99$0,99 par $3$3 ou prendre $p\ge 0,33$p ≥ 0,33 : les probabilités de répétitions ne se répartissent pas par division.

Correction détaillée

1. 1

   Les quatre opérations sont indépendantes et doivent TOUTES réussir : on multiplie les probabilités.

2. 2

   $P(\text{conforme})=0,97^4$P( conforme ) = 0,97⁴.

3. 3

   $0,97^2=0,9409$0,97² = 0,9409, puis $0,97^4=0,9409^2\approx 0,8853$0,97⁴ = 0,9409² ≈ 0,885 3.

4. 4

   Donc environ $88,5\%$88,5% des pièces sont conformes.

5. 5

   « Au moins une opération échoue » est l'évènement contraire : $1-0,8853=0,1147$1 - 0,885 3 = 0,114 7, soit environ $11,5\%$11,5%.

6. 6

   Prévision sur $5000$5 000 pièces : $0,1147\times 5000\approx 574$0,114 7 × 5 000 ≈ 574 pièces non conformes.

7. 7

   Observation essentielle : chaque poste est fiable à $97\%$97%, mais la ligne entière ne l'est qu'à $88,5\%$88,5%.

   Les défaillances se cumulent le long de la chaîne.

8. 8

   Conséquence industrielle : pour atteindre $95\%$95% de conformité sur la ligne, il faudrait que chaque poste atteigne environ $98,7\%$98,7% (car $0,987^4\approx 0,949$0,987⁴ ≈ 0,949).

   Sur une ligne longue, l'exigence par poste devient très forte — c'est l'argument en faveur de contrôles intermédiaires.

Rappel de cours : Pour « tout réussir » sur $n$n étapes indépendantes : $p^n$pⁿ. Cette probabilité DÉCROÎT vite avec $n$n.

Erreur fréquente : Annoncer $4\times 3\%=12\%$4 × 3% = 12% de non-conformité : l'approximation est proche ($11,5\%$11,5%) mais la méthode est fausse, et l'écart grandit avec le nombre de postes.

Correction détaillée

1. 1

   $p=0,15$p = 0,15 et $q=0,85$q = 0,85.

   Répartition des chemins pour $n=4$n = 4 : $1$1-$4$4-$6$6-$4$4-$1$1.

2. 2

   $P(X=0)=0,85^4=0,522006\dots \approx 0,5220$P(X = 0) = 0,85⁴ = 0,522 006… ≈ 0,5220.

3. 3

   $P(X=1)=4\times 0,15\times 0,85^3=4\times 0,15\times 0,614125\approx 0,3685$P(X = 1) = 4 × 0,15 × 0,85³ = 4 × 0,15 × 0,614 125 ≈ 0,368 5.

4. 4

   $P(X=2)=6\times 0,15^2\times 0,85^2=6\times 0,0225\times 0,7225\approx 0,0975$P(X = 2) = 6 × 0,15² × 0,85² = 6 × 0,0225 × 0,7225 ≈ 0,097 5.

5. 5

   $P(X=3)=4\times 0,15^3\times 0,85=4\times 0,003375\times 0,85\approx 0,0115$P(X = 3) = 4 × 0,15³ × 0,85 = 4 × 0,003 375 × 0,85 ≈ 0,011 5.

6. 6

   $P(X=4)=0,15^4=0,000506\dots \approx 0,0005$P(X = 4) = 0,15⁴ = 0,000 506… ≈ 0,0005.

7. 7

   Contrôle : $0,5220+0,3685+0,0975+0,0115+0,0005=1,0000$0,5220 + 0,3685 + 0,0975 + 0,0115 + 0,0005 = 1,0000 ✔.

8. 8

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)\approx 1-0,5220=0,4780$P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) ≈ 1 - 0,5220 = 0,4780.

9. 9

   $P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\approx 1-(0,5220+0,3685)=1-0,8905=0,1095$P(X ≥ 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) ≈ 1 - (0,5220 + 0,3685) = 1 - 0,8905 = 0,1095.

10. 10

    Commentaire : la soudure casse au moins une fois dans près d'un test sur deux ($47,8\%$47,8%), mais au moins deux fois dans seulement $11\%$11% des tests.

    Autrement dit, le cas le plus fréquent après « aucune rupture » est « une seule rupture » — les ruptures multiples sont rares.

11. 11

    Précision sur les arrondis : on calcule chaque probabilité à partir des valeurs EXACTES, puis on arrondit.

    En arrondissant en cours de route, la somme s'écarterait de $1$1.

Rappel de cours : Pour $n=4$n = 4, les nombres de chemins sont $1$1, $4$4, $6$6, $4$4, $1$1 : à connaître, ils s'obtiennent par comptage sur l'arbre.

Erreur fréquente : Utiliser $4$4 chemins pour $X=2$X = 2 : il y en a $6$6 (le nombre de PAIRES de positions parmi quatre), ce qui change la probabilité de $50\%$50%.

Correction détaillée

1. 1

   Sans redondance, une seule transmission : la probabilité d'être correct est $1-0,1=0,9$1 - 0,1 = 0,9.

2. 2

   Avec trois transmissions, la valeur majoritaire est correcte si AU MOINS DEUX transmissions sont correctes.

3. 3

   Succès $S$S : « la transmission est correcte », $p=0,9$p = 0,9.

4. 4

   Exactement $3$3 correctes : $0,9^3=0,729$0,9³ = 0,729.

5. 5

   Exactement $2$2 correctes : $3\times 0,9^2\times 0,1=3\times 0,81\times 0,1=0,243$3 × 0,9² × 0,1 = 3 × 0,81 × 0,1 = 0,243.

6. 6

   Probabilité que le vote majoritaire donne le bon bit : $0,729+0,243=0,972$0,729 + 0,243 = 0,972.

7. 7

   Probabilité d'erreur sans redondance : $0,1$0,1.

   Avec redondance : $1-0,972=0,028$1 - 0,972 = 0,028.

8. 8

   Facteur de réduction : $\frac{0,1}{0,028}\approx 3,57$0,1/0,028 ≈ 3,57.

   La probabilité d'erreur est divisée par environ $3,6$3,6.

9. 9

   Vérification du calcul d'erreur par l'autre voie : le vote se trompe si au moins DEUX transmissions sont erronées, soit $3\times 0,1^2\times 0,9+0,1^3=0,027+0,001=0,028$3 × 0,1² × 0,9 + 0,1³ = 0,027 + 0,001 = 0,028 ✔.

10. 10

    Prolongement : le gain se paie en débit (trois fois plus de données transmises pour la même information).

    C'est le compromis permanent des codes correcteurs d'erreurs.

Rappel de cours : Un vote majoritaire sur $3$3 essais se trompe seulement si au moins $2$2 essais se trompent : c'est ce qui divise la probabilité d'erreur.

Erreur fréquente : Croire que trois transmissions divisent l'erreur par trois. L'erreur passe de $10\%$10% à $2,8\%$2,8%, pas à $3,3\%$3,3% — le mécanisme est le vote, pas la moyenne.

Correction détaillée

1. 1

   Protocole A : non-détection à une mesure $=0,3$= 0,3, donc aucune détection sur deux mesures $=0,3^2=0,09$= 0,3² = 0,09.

2. 2

   Probabilité de détection : $1-0,09=0,91$1 - 0,09 = 0,91.

3. 3

   Protocole B : non-détection à une mesure $=0,6$= 0,6, donc aucune détection sur quatre mesures $=0,6^4=0,1296$= 0,6⁴ = 0,1296.

4. 4

   Probabilité de détection : $1-0,1296=0,8704$1 - 0,1296 = 0,8704.

5. 5

   Comparaison : $0,91>0,8704$0,91 > 0,8704, le protocole A est le plus performant — avec deux fois moins de mesures.

6. 6

   Pour la troisième question, on cherche $n$n tel que $1-0,6^n\ge 0,91$1 - 0,6^(n) ≥ 0,91, soit $0,6^n\le 0,09$0,6^(n) ≤ 0,09.

7. 7

   Balayage : $0,6^4=0,1296$0,6⁴ = 0,1296 ✘ ; $0,6^5=0,07776\le 0,09$0,6⁵ = 0,077 76 ≤ 0,09 ✔.

8. 8

   Il faudrait donc $5$5 mesures au protocole B pour faire au moins aussi bien que $2$2 mesures du protocole A.

9. 9

   Conclusion pratique : le protocole A gagne sur les deux tableaux, performance et coût (deux mesures contre cinq).

   La qualité de chaque mesure pèse plus lourd que leur nombre.

10. 10

    Nuance à signaler : ce raisonnement ne compare que la DÉTECTION.

    Un protocole plus sensible produit aussi plus de fausses alertes quand la machine est bien réglée — ce que ces données ne permettent pas d'évaluer.

Rappel de cours : Deux protocoles de détection se comparent par $1-q^n$1 - qⁿ, où $q$q est la probabilité de manquer une mesure.

Erreur fréquente : Comparer $2\times 0,7=1,4$2 × 0,7 = 1,4 et $4\times 0,4=1,6$4 × 0,4 = 1,6 pour conclure que B est meilleur. Ces produits ne sont pas des probabilités (l'un dépasse $1$1).

Correction détaillée

1. 1

   $p=0,8$p = 0,8, $q=0,2$q = 0,2, chemins $1$1-$3$3-$3$3-$1$1.

2. 2

   $P(X=0)=0,2^3=0,008$P(X = 0) = 0,2³ = 0,008.

3. 3

   $P(X=1)=3\times 0,8\times 0,2^2=3\times 0,8\times 0,04=0,096$P(X = 1) = 3 × 0,8 × 0,2² = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096.

4. 4

   $P(X=2)=3\times 0,8^2\times 0,2=3\times 0,64\times 0,2=0,384$P(X = 2) = 3 × 0,8² × 0,2 = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384.

5. 5

   $P(X=3)=0,8^3=0,512$P(X = 3) = 0,8³ = 0,512.

   Contrôle : $0,008+0,096+0,384+0,512=1$0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1 ✔.

6. 6

   Deuxième question : « au moins un a échoué » signifie $X\le 2$X ≤ 2, de probabilité $1-P(X=3)=1-0,512=0,488$1 - P(X=3) = 1 - 0,512 = 0,488.

7. 7

   « Exactement un a échoué » signifie $X=2$X = 2, de probabilité $0,384$0,384.

   Cet évènement est inclus dans le précédent.

8. 8

   Probabilité conditionnelle : $\frac{0,384}{0,488}\approx 0,787$0,384/0,488 ≈ 0,787.

9. 9

   Interprétation : quand il y a des échecs, il s'agit d'un seul échec dans près de $79\%$79% des cas.

10. 10

    Troisième question : « deux au moins ont réussi » signifie $X\ge 2$X ≥ 2, de probabilité $0,384+0,512=0,896$0,384 + 0,512 = 0,896.

11. 11

    « Les trois ont réussi » est $X=3$X = 3, inclus dans le précédent : $\frac{0,512}{0,896}\approx 0,571$0,512/0,896 ≈ 0,571.

12. 12

    Interprétation : sachant que le lot est globalement bon ($X\ge 2$X ≥ 2), il y a encore $43\%$43% de chances qu'un équipement ait échoué.

    Une information partielle ne suffit pas à garantir le sans-faute.