Exercices corrigés : Séries statistiques à deux variables — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Chaque couple de valeurs fournit un point $(x;y)$(x ; y) du nuage.

2. 2

   Les cinq points sont $(1;22)$(1 ; 22), $(2;41)$(2 ; 41), $(3;58)$(3 ; 58), $(4;79)$(4 ; 79) et $(5;100)$(5 ; 100).

3. 3

   Pour juger l'alignement, on regarde les écarts successifs de $y$y quand $x$x augmente de $1$1 : $41-22=19$41 - 22 = 19, $58-41=17$58 - 41 = 17, $79-58=21$79 - 58 = 21, $100-79=21$100 - 79 = 21.

4. 4

   Ces écarts sont tous proches de $19$19 ou $20$20 sans être identiques : les points ne sont pas rigoureusement alignés, mais ils le sont presque.

5. 5

   Conclusion : le nuage est sensiblement aligné, un AJUSTEMENT AFFINE est donc pertinent.

   Les petits écarts sont attribuables aux incertitudes de mesure.

Rappel de cours : Un nuage est « sensiblement aligné » si les écarts de $y$y sont à peu près constants pour des écarts de $x$x constants.

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}$x̅ est la moyenne des abscisses : $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$x̅ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 15/5 = 3.

2. 2

   $\overline{y}$y̅ est la moyenne des ordonnées : la somme vaut $22+41+58+79+100=300$22 + 41 + 58 + 79 + 100 = 300.

3. 3

   Donc $\overline{y}=\frac{300}{5}=60$y̅ = 300/5 = 60.

4. 4

   Le point moyen est $G(\overline{x};\overline{y})$G(x̅ ; y̅), soit $G(3;60)$G(3 ; 60).

5. 5

   Remarque : le point moyen est le « centre de gravité » du nuage.

   Toute droite d'ajustement par les moindres carrés passe par ce point — c'est un contrôle très utile.

Rappel de cours : $G(\overline{x};\overline{y})$G(x̅ ; y̅) : on moyenne séparément les abscisses et les ordonnées.

Erreur fréquente : Moyenner les couples « en diagonale » ou oublier de diviser par l'effectif. Chaque coordonnée de $G$G est la moyenne de SA variable.

Correction détaillée

1. 1

   Une droite d'équation $y=ax+b$y = ax + b a pour coefficient directeur $a$a et pour ordonnée à l'origine $b$b.

2. 2

   Ici $a=4,55$a = 4,55 et $b=98,5$b = 98,5.

3. 3

   Interprétation de $a$a : quand la puissance augmente de $1$1 kW, le débit augmente d'environ $4,55$4,55 L/min.

4. 4

   Interprétation de $b$b : c'est la valeur prévue du débit pour $x=0$x = 0, soit $98,5$98,5 L/min.

5. 5

   Ce chiffre n'a AUCUN sens physique : une pompe à l'arrêt (puissance nulle) ne débite rien.

   L'ordonnée à l'origine est ici un simple paramètre d'ajustement, valable seulement dans la plage des mesures.

6. 6

   Moralité : on interprète $a$a presque toujours, $b$b seulement si $x=0$x = 0 appartient (ou est proche) du domaine étudié.

Rappel de cours : $a$a se lit « variation de $y$y pour $1$1 unité de $x$x » · $b$b est la valeur prédite en $x=0$x = 0, pertinente seulement si $x=0$x = 0 a un sens.

Erreur fréquente : Annoncer que « le débit augmente de $4,55\%$4,55% » : $a$a est une variation ABSOLUE en L/min, pas un pourcentage.

Correction détaillée

1. 1

   Pour estimer $y$y connaissant $x$x, on remplace $x$x dans l'équation.

2. 2

   $y=19,4\times 3,5+1,8=67,9+1,8=69,7$y = 19,4 × 3,5 + 1,8 = 67,9 + 1,8 = 69,7 kPa.

3. 3

   Pour estimer $x$x connaissant $y$y, on résout l'équation $19,4x+1,8=70$19,4x + 1,8 = 70.

4. 4

   $19,4x=68,2$19,4x = 68,2, donc $x=\frac{68,2}{19,4}\approx 3,52$x = 68,2/19,4 ≈ 3,52 V.

5. 5

   Les deux valeurs cherchées, $3,5$3,5 V et $70$70 kPa, sont à l'intérieur de la plage des mesures : il s'agit d'INTERPOLATION, la prévision est fiable.

6. 6

   Contrôle de cohérence entre les deux réponses : à $3,5$3,5 V correspondent $69,7$69,7 kPa, et à $70$70 kPa correspondent $3,52$3,52 V — les deux calculs sont bien réciproques ✔.

Rappel de cours : Prévoir $y$y : on remplace $x$x. Prévoir $x$x : on RÉSOUT l'équation. Ce sont deux opérations différentes.

Erreur fréquente : Diviser $70$70 par $19,4$19,4 en oubliant de retirer d'abord le $1,8$1,8 : on trouverait $3,61$3,61 V, une erreur d'étalonnage de $0,1$0,1 V.

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=\frac{42}{6}=7$x̅ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12)/6 = 42/6 = 7 °C.

2. 2

   Somme des consommations : $210+192+174+156+138+120=990$210 + 192 + 174 + 156 + 138 + 120 = 990.

3. 3

   $\overline{y}=\frac{990}{6}=165$y̅ = 990/6 = 165 m³.

   Le point moyen est $G(7;165)$G(7 ; 165).

4. 4

   Écarts successifs : $192-210=-18$192 - 210 = -18, puis $-18$-18, $-18$-18, $-18$-18, $-18$-18.

   Ils sont TOUS égaux, pour un pas constant de $2$2 °C en abscisse.

5. 5

   Le nuage est donc exactement aligné : les points sont sur une droite de coefficient directeur $\frac{-18}{2}=-9$(-18)/2 = -9.

6. 6

   Équation : $y=-9x+b$y = -9x + b avec le passage par $(2;210)$(2 ; 210) : $210=-18+b$210 = -18 + b, donc $b=228$b = 228 et $y=-9x+228$y = -9x + 228.

7. 7

   Contrôle : cette droite passe-t-elle par $G$G ?

   $-9\times 7+228=-63+228=165$-9 × 7 + 228 = -63 + 228 = 165 ✔.

Rappel de cours : Écarts de $y$y constants pour des écarts de $x$x constants $\Rightarrow$⇒ points parfaitement alignés (situation affine).

Erreur fréquente : Conclure « nuage aligné » sans vérifier que le PAS des abscisses est lui aussi constant : les écarts de $y$y ne se comparent qu'à pas d'abscisse égal.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient directeur : $a=\frac{100-22}{5-1}=\frac{78}{4}=19,5$a = (100 - 22)/(5 - 1) = 78/4 = 19,5.

2. 2

   On détermine $b$b avec le point $(1;22)$(1 ; 22) : $22=19,5\times 1+b$22 = 19,5 × 1 + b, donc $b=2,5$b = 2,5.

3. 3

   Équation : $y=19,5x+2,5$y = 19,5x + 2,5.

4. 4

   Contrôle avec l'autre point : $19,5\times 5+2,5=97,5+2,5=100$19,5 × 5 + 2,5 = 97,5 + 2,5 = 100 ✔.

5. 5

   Prévision en $x=3$x = 3 : $19,5\times 3+2,5=58,5+2,5=61$19,5 × 3 + 2,5 = 58,5 + 2,5 = 61 kPa, alors que la mesure vaut $58$58 kPa.

   L'écart est de $3$3 kPa.

6. 6

   Cette droite « des extrêmes » est simple à obtenir mais elle ne tient compte que de deux mesures.

   La droite d'ajustement de la calculatrice, $y=19,4x+1,8$y = 19,4x + 1,8, donne en $x=3$x = 3 la valeur $60$60 kPa : elle utilise les cinq points et colle mieux à l'ensemble.

Rappel de cours : Droite par deux points : $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), puis $b$b en réinjectant un point.

Erreur fréquente : Inverser le quotient et écrire $a=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$a = (x₂ - x₁)/(y₂ - y₁) : on obtiendrait une pente de $0,05$0,05, absurde ici.

Correction détaillée

1. 1

   $x=2,4$x = 2,4 : $y=19,4\times 2,4+1,8=46,56+1,8=48,36$y = 19,4 × 2,4 + 1,8 = 46,56 + 1,8 = 48,36 kPa.

2. 2

   $x=9$x = 9 : $y=19,4\times 9+1,8=174,6+1,8=176,4$y = 19,4 × 9 + 1,8 = 174,6 + 1,8 = 176,4 kPa.

3. 3

   $2,4$2,4 appartient à l'intervalle des mesures $[1;5]$[1 ; 5] : c'est une INTERPOLATION.

   La prévision est fiable, on reste dans le domaine où le modèle a été validé.

4. 4

   $9$9 est en dehors de $[1;5]$[1 ; 5], et même très loin : c'est une EXTRAPOLATION.

   La prévision est à prendre avec prudence.

5. 5

   Risques concrets de cette extrapolation : le capteur peut saturer au-delà d'une certaine pression, sa réponse peut cesser d'être linéaire, ou la plage $9$9 V dépasser simplement ses limites d'emploi.

6. 6

   Règle pratique : plus on s'éloigne de l'intervalle des mesures, moins la prévision vaut.

   Une extrapolation doit toujours être signalée comme telle.

Rappel de cours : Interpolation : à l'intérieur de la plage des mesures. Extrapolation : à l'extérieur — le modèle n'y a jamais été vérifié.

Erreur fréquente : Traiter les deux prévisions sur le même plan. Le calcul est identique, la CONFIANCE n'a rien à voir.

Correction détaillée

1. 1

   Valeurs prévues : $x=1\to 21,2$x=1 → 21,2 ; $x=2\to 40,6$x=2 → 40,6 ; $x=3\to 60$x=3 → 60 ; $x=4\to 79,4$x=4 → 79,4 ; $x=5\to 98,8$x=5 → 98,8.

2. 2

   Résidu en $x=1$x=1 : $22-21,2=+0,8$22 - 21,2 = +0,8 kPa.

3. 3

   Résidu en $x=2$x=2 : $41-40,6=+0,4$41 - 40,6 = +0,4 kPa.

4. 4

   Résidu en $x=3$x=3 : $58-60=-2$58 - 60 = -2 kPa.

5. 5

   Résidu en $x=4$x=4 : $79-79,4=-0,4$79 - 79,4 = -0,4 kPa.

6. 6

   Résidu en $x=5$x=5 : $100-98,8=+1,2$100 - 98,8 = +1,2 kPa.

7. 7

   Le résidu le plus grand en valeur absolue est celui de $x=3$x = 3 V : $-2$-2 kPa.

   C'est la mesure la moins bien décrite par le modèle, mais l'écart reste faible (environ $3,4\%$3,4% de $58$58).

8. 8

   Somme des résidus : $0,8+0,4-2-0,4+1,2=0$0,8 + 0,4 - 2 - 0,4 + 1,2 = 0.

9. 9

   Ce n'est pas un hasard : la droite d'ajustement des moindres carrés équilibre exactement les écarts au-dessus et en dessous.

   C'est un excellent contrôle de calcul.

Rappel de cours : Résidu $=$= mesuré $-$- prévu. Pour la droite d'ajustement, la somme des résidus est nulle.

Erreur fréquente : Calculer « prévu $-$- mesuré » : tous les signes s'inversent. L'ordre de la soustraction fait partie de la définition.

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5$x̅ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5.

2. 2

   Somme des $y$y : $28+29+39+45+47+58=246$28 + 29 + 39 + 45 + 47 + 58 = 246, donc $\overline{y}=\frac{246}{6}=41$y̅ = 246/6 = 41.

3. 3

   Point moyen : $G(3,5;41)$G(3,5 ; 41).

4. 4

   Test du passage par $G$G : on calcule l'image de $3,5$3,5 par la droite.

   $6\times 3,5+20=21+20=41$6 × 3,5 + 20 = 21 + 20 = 41.

5. 5

   On obtient exactement $\overline{y}=41$y̅ = 41 : la droite passe bien par $G$G ✔.

   C'est une propriété de toute droite d'ajustement des moindres carrés, et donc un contrôle de l'équation donnée.

6. 6

   Interprétation de $a=6$a = 6 : chaque pièce par minute de cadence supplémentaire fait monter le taux de rebut d'environ $6$6 ‰.

7. 7

   Conséquence industrielle : accélérer la cadence coûte en qualité.

   Passer de $3$3 à $5$5 pièces/min ferait passer le taux de rebut d'environ $38$38 ‰ à $50$50 ‰ selon le modèle.

Rappel de cours : La droite d'ajustement des moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen : le test $a\overline{x}+b=\overline{y}$ax̅ + b = y̅ valide l'équation.

Erreur fréquente : Tester le passage par un point du nuage au lieu du point moyen : la droite ne passe généralement par AUCUN point mesuré.

Correction détaillée

1. 1

   $y=-9\times 7,5+228=-67,5+228=160,5$y = -9 × 7,5 + 228 = -67,5 + 228 = 160,5 m³.

2. 2

   On résout $-9x+228=150$-9x + 228 = 150, soit $-9x=-78$-9x = -78, donc $x=\frac{78}{9}\approx 8,67$x = 78/9 ≈ 8,67 °C.

3. 3

   Pour la dernière question, on résout l'inéquation $-9x+228<120$-9x + 228 < 120.

4. 4

   $-9x<-108$-9x < -108, puis on divise par $-9$-9 en INVERSANT le sens : $x>12$x > 12.

5. 5

   La consommation passerait sous $120$120 m³ pour une température supérieure à $12$12 °C.

6. 6

   Attention : $12$12 °C est la borne supérieure de la plage étudiée.

   Au-delà, on quitte le domaine des mesures — et physiquement, la consommation de chauffage ne descend pas indéfiniment : elle tend vers une consommation résiduelle (eau chaude, cuisine), que ce modèle affine ne décrit pas.

Rappel de cours : Diviser une inéquation par un nombre négatif change le sens de l'inégalité : $-9x<-108⟺x>12$-9x < -108 ⇔ x > 12.

Erreur fréquente : Conserver le sens de l'inégalité et conclure $x<12$x < 12, c'est-à-dire exactement l'inverse de la réponse.

Correction détaillée

1. 1

   $y=-9\times 30+228=-270+228=-42$y = -9 × 30 + 228 = -270 + 228 = -42 m³.

2. 2

   Une consommation de $-42$-42 m³ n'a aucun sens : on ne consomme pas une quantité négative de gaz.

3. 3

   Le modèle est donc invalide à $30$30 °C.

   Ce n'est pas le calcul qui est faux, c'est l'usage du modèle hors de son domaine de validité $[2;12]$[2 ; 12].

4. 4

   Recherche du seuil : $-9x+228<0$-9x + 228 < 0 équivaut à $228<9x$228 < 9x, soit $x>\frac{228}{9}\approx 25,3$x > 228/9 ≈ 25,3 °C.

5. 5

   Au-delà d'environ $25,3$25,3 °C, le modèle affine prévoit une consommation négative — preuve qu'il ne peut pas être prolongé aussi loin.

6. 6

   Modèle plus réaliste : la consommation décroît avec la température puis se stabilise à un palier (eau chaude sanitaire, cuisson) indépendant du chauffage.

   Un ajustement affine ne peut pas décrire ce palier ; on changerait de modèle pour aller plus loin.

Rappel de cours : Un ajustement affine n'est valable que sur la plage des mesures. Toute valeur prédite doit être confrontée au sens physique.

Erreur fréquente : Recopier $-42$-42 m³ comme une prévision. Un résultat non physique doit être signalé et attribué au modèle, pas au calcul.

Correction détaillée

1. 1

   La sensibilité est le coefficient directeur : $19,4$19,4 kPa par volt.

   Elle dit de combien la pression varie pour $1$1 V de variation en sortie.

2. 2

   Écart relatif à la valeur annoncée : $\frac{|19,4-20|}{20}=\frac{0,6}{20}=0,03$(|19,4 - 20|)/20 = 0,6/20 = 0,03, soit $3\%$3%.

3. 3

   $3\%<5\%$3% < 5% : l'écart est ACCEPTABLE, le capteur est conforme à la tolérance annoncée.

4. 4

   Correction du décalage : on retranche $1,8$1,8 à chaque valeur de $y$y, donc la nouvelle relation est $y^{\prime }=19,4x+1,8-1,8=19,4x$y' = 19,4x + 1,8 - 1,8 = 19,4x.

5. 5

   Après correction, la relation devient PROPORTIONNELLE : une tension nulle donne une pression nulle, ce qui est physiquement cohérent.

6. 6

   Contrôle : à $3$3 V, on prévoyait $60$60 kPa, on prévoit maintenant $58,2$58,2 kPa — soit très exactement la mesure $58$58 kPa à $0,2$0,2 près ✔ La correction d'offset a même amélioré l'ajustement sur ce point.

Rappel de cours : Écart relatif $=\frac{|\text{mesureˊ}-\text{reˊfeˊrence}|}{\text{reˊfeˊrence}}$= (| mesuré - référence |)/référence : on divise toujours par la valeur de RÉFÉRENCE.

Erreur fréquente : Diviser par $19,4$19,4 au lieu de $20$20 : la référence est la valeur annoncée par le constructeur, pas celle mesurée.

Correction détaillée

1. 1

   Résidus de $D_1$D₁ (calculés précédemment) : $+0,8$+0,8 ; $+0,4$+0,4 ; $-2$-2 ; $-0,4$-0,4 ; $+1,2$+1,2.

2. 2

   Somme de leurs carrés : $0,64+0,16+4+0,16+1,44=6,4$0,64 + 0,16 + 4 + 0,16 + 1,44 = 6,4.

3. 3

   Valeurs prévues par $D_2$D₂ : $x=1\to 22$x=1 → 22 ; $x=2\to 41,5$x=2 → 41,5 ; $x=3\to 61$x=3 → 61 ; $x=4\to 80,5$x=4 → 80,5 ; $x=5\to 100$x=5 → 100.

4. 4

   Résidus de $D_2$D₂ : $0$0 ; $-0,5$-0,5 ; $-3$-3 ; $-1,5$-1,5 ; $0$0.

5. 5

   Somme de leurs carrés : $0+0,25+9+2,25+0=11,5$0 + 0,25 + 9 + 2,25 + 0 = 11,5.

6. 6

   $6,4<11,5$6,4 < 11,5 : la droite $D_1$D₁ ajuste MIEUX le nuage, au sens des moindres carrés.

7. 7

   C'est logique : $D_1$D₁ est précisément la droite qui MINIMISE cette somme (d'où le nom « moindres carrés »), alors que $D_2$D₂ ne s'appuie que sur deux points et ignore les trois autres.

8. 8

   Autre indice révélateur : les résidus de $D_2$D₂ sont tous négatifs ou nuls (somme $-5$-5), signe que la droite passe systématiquement AU-DESSUS du nuage.

   Ceux de $D_1$D₁ s'équilibrent (somme nulle).

Rappel de cours : « Meilleur ajustement » = plus petite somme des CARRÉS des résidus. On élève au carré pour que les écarts ne se compensent pas.

Erreur fréquente : Comparer les sommes de résidus sans les élever au carré : celle de $D_1$D₁ vaut $0$0, ce qui ne mesure pas la qualité mais seulement l'équilibre de l'ajustement.

Correction détaillée

1. 1

   Passer de L/min à L/h multiplie toutes les ordonnées par $60$60 : on pose $Y=60y$Y = 60y.

2. 2

   $Y=60(4,55x+98,5)=273x+5910$Y = 60(4,55x + 98,5) = 273x + 5 910.

   La nouvelle équation est $Y=273x+5910$Y = 273x + 5 910, en L/h.

3. 3

   Les DEUX coefficients sont multipliés par $60$60 : la pente comme l'ordonnée à l'origine, puisque tous deux s'expriment en unités de $y$y.

4. 4

   Pour l'abscisse, $1$1 kW $=1000$= 1 000 W : si $X$X est la puissance en watts, alors $x=\frac{X}{1000}$x = X/(1 000).

5. 5

   En remplaçant : $y=4,55\times \frac{X}{1000}+98,5=0,00455X+98,5$y = 4,55 × X/(1 000) + 98,5 = 0,00455 X + 98,5.

6. 6

   Ici seul le coefficient directeur change (divisé par $1000$1 000) : l'ordonnée à l'origine ne dépend pas de l'unité de $x$x, puisqu'elle s'exprime en unités de $y$y.

7. 7

   Contrôle sur un point : $x=20$x = 20 kW donne $y=91+98,5=189,5$y = 91 + 98,5 = 189,5 L/min.

   Avec $X=20000$X = 20 000 W : $0,00455\times 20000+98,5=91+98,5=189,5$0,00455 × 20 000 + 98,5 = 91 + 98,5 = 189,5 ✔ Même prévision, comme il se doit.

Rappel de cours : Changer l'unité de $y$y affecte $a$a ET $b$b · changer l'unité de $x$x n'affecte que $a$a.

Erreur fréquente : Multiplier l'ordonnée à l'origine lors d'un changement d'unité de $x$x : $b$b est une valeur de $y$y, il n'a rien à voir avec l'unité des abscisses.

Correction détaillée

1. 1

   Les abscisses progressent d'un pas constant de $20$20 km/h, ce qui permet de comparer directement les écarts de $y$y.

2. 2

   Écarts : $17-6=11$17 - 6 = 11 ; $33-17=16$33 - 17 = 16 ; $55-33=22$55 - 33 = 22 ; $82-55=27$82 - 55 = 27.

3. 3

   Ces écarts AUGMENTENT régulièrement ($11$11, $16$16, $22$22, $27$27) : le nuage n'est pas aligné, il s'incurve vers le haut.

4. 4

   Un ajustement affine n'est donc PAS pertinent : il sous-estimerait les distances aux vitesses élevées et les surestimerait au milieu.

5. 5

   Nature de la liaison : quand la vitesse est multipliée par $3$3 (de $30$30 à $90$90), la distance passe de $6$6 à $55$55 m, soit environ $9$9 fois plus — et $9=3^2$9 = 3².

6. 6

   De même de $50$50 à $110$110 (facteur $2,2$2,2) : $\frac{82}{17}\approx 4,8$82/17 ≈ 4,8, à comparer à $2,2^2=4,84$2,2² = 4,84 ✔.

7. 7

   La distance de freinage est donc à peu près PROPORTIONNELLE AU CARRÉ de la vitesse — un résultat physique classique (l'énergie cinétique est en $v^2$v²).

   C'est un ajustement de type $y=k{x}^2$y = kx², et non affine ; on l'obtiendrait par changement de variable, au programme de Terminale.

Rappel de cours : Avant tout ajustement affine, on REGARDE le nuage : des écarts croissants signalent une liaison non linéaire.

Erreur fréquente : Ajuster quand même par une droite « parce que la calculatrice en donne une ». La calculatrice fournit toujours une droite, même sur un nuage en forme de parabole.

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}=\frac{10+20+30+40+50}{5}=\frac{150}{5}=30$x̅ = (10+20+30+40+50)/5 = 150/5 = 30 °C.

2. 2

   Somme des tensions : $145+190+232+281+327=1175$145 + 190 + 232 + 281 + 327 = 1 175, donc $\overline{y}=\frac{1175}{5}=235$y̅ = (1 175)/5 = 235 mV.

   Point moyen $G(30;235)$G(30 ; 235).

3. 3

   Vérification : $4,55\times 30+98,5=136,5+98,5=235$4,55 × 30 + 98,5 = 136,5 + 98,5 = 235 ✔ La droite passe par $G$G, l'équation est cohérente.

4. 4

   Prévision à $35$35 °C : $y=4,55\times 35+98,5=159,25+98,5=257,75$y = 4,55 × 35 + 98,5 = 159,25 + 98,5 = 257,75 mV, soit environ $257,8$257,8 mV.

5. 5

   Pour $258$258 mV, on résout $4,55x+98,5=258$4,55x + 98,5 = 258 : $4,55x=159,5$4,55x = 159,5, donc $x=\frac{159,5}{4,55}\approx 35,05$x = 159,5/4,55 ≈ 35,05, soit $35,1$35,1 °C.

6. 6

   Cohérence avec la question précédente : $35$35 °C $\to 257,8$→ 257,8 mV et $258$258 mV $\to 35,05$→ 35,05 °C ✔ les deux calculs se répondent.

7. 7

   À $200$200 °C, le modèle prévoit $4,55\times 200+98,5=910+98,5=1008,5$4,55 × 200 + 98,5 = 910 + 98,5 = 1 008,5 mV.

8. 8

   Mais $200$200 °C est très loin de la plage d'étalonnage $[10;50]$[10 ; 50] : c'est une extrapolation d'un facteur $4$4.

   Rien ne garantit que la réponse du capteur reste linéaire, et il peut même être hors de ses limites d'emploi.

9. 9

   Réponse à la question : NON, on ne peut pas utiliser ce modèle à $200$200 °C.

   Il faudrait refaire un étalonnage sur une plage couvrant cette température.

Rappel de cours : Un étalonnage n'est valable que sur la plage mesurée. Le vérifier fait partie de la réponse, pas seulement le calcul.

Erreur fréquente : Répondre « $1008,5$1 008,5 mV » sans réserve à la dernière question : le calcul est juste, l'usage du modèle est faux.

Correction détaillée

1. 1

   Valeurs prévues : $x=1\to 26$x=1 → 26 ; $x=2\to 32$x=2 → 32 ; $x=3\to 38$x=3 → 38 ; $x=4\to 44$x=4 → 44 ; $x=5\to 50$x=5 → 50 ; $x=6\to 56$x=6 → 56.

2. 2

   Résidus (mesuré $-$- prévu) : $+2$+2 ; $-3$-3 ; $+1$+1 ; $+1$+1 ; $-3$-3 ; $+2$+2.

3. 3

   Contrôle : leur somme vaut $2-3+1+1-3+2=0$2 - 3 + 1 + 1 - 3 + 2 = 0 ✔, comme attendu pour un ajustement des moindres carrés.

4. 4

   Les résidus sont tous compris entre $-3$-3 et $+2$+2 dB, du même ordre de grandeur : aucune mesure ne se détache franchement.

   Il n'y a PAS de point aberrant ici — seulement la dispersion normale des mesures.

5. 5

   Pour repérer un point aberrant, on cherche un résidu bien plus grand que les autres (par exemple $3$3 fois l'écart typique).

   Ce n'est pas le cas.

6. 6

   Avec la valeur corrigée à $x=2$x = 2, la somme des $y$y devient $246-29+33=250$246 - 29 + 33 = 250, d'où $\overline{y}=\frac{250}{6}\approx 41,67$y̅ = 250/6 ≈ 41,67 dB.

7. 7

   Le point moyen passe de $G(3,5;41)$G(3,5 ; 41) à $G^{\prime }(3,5;41,67)$G'(3,5 ; 41,67) : la moyenne a monté de $0,67$0,67 dB, soit un sixième des $4$4 dB de correction ($\frac{4}{6}\approx 0,67$4/6 ≈ 0,67) ✔.

8. 8

   Conclusion : une seule mesure corrigée de $4$4 dB déplace la moyenne de moins de $1$1 dB.

   Plus l'effectif est grand, moins une mesure isolée pèse — c'est pour cela qu'on multiplie les relevés.

Rappel de cours : Une mesure est aberrante quand son résidu est très supérieur aux autres. Des résidus du même ordre traduisent la dispersion normale.

Erreur fréquente : Qualifier d'aberrante la mesure de plus grand résidu par principe. Il faut la comparer aux AUTRES résidus : ici $-3$-3 dB est banal.

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}=\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\frac{15}{6}=2,5$x̅ = (0+1+2+3+4+5)/6 = 15/6 = 2,5.

2. 2

   Somme des productions : $120+129+141+153+162+171=876$120 + 129 + 141 + 153 + 162 + 171 = 876, donc $\overline{y}=\frac{876}{6}=146$y̅ = 876/6 = 146.

3. 3

   Test : $10,4\times 2,5+119,5=26+119,5=145,5$10,4 × 2,5 + 119,5 = 26 + 119,5 = 145,5... on obtient $145,5$145,5 et non $146$146.

4. 4

   L'écart de $0,5$0,5 montre que l'équation fournie est ARRONDIE.

   La droite exacte des moindres carrés passerait par $G(2,5;146)$G(2,5 ; 146) ; avec une pente de $10,4$10,4, son ordonnée à l'origine serait $146-26=120$146 - 26 = 120.

5. 5

   On poursuit avec l'équation de l'énoncé, en gardant en tête cet arrondi. 2027 correspond à $x=7$x = 7 : $y=10,4\times 7+119,5=72,8+119,5=192,3$y = 10,4 × 7 + 119,5 = 72,8 + 119,5 = 192,3 milliers de pièces.

6. 6

   Seuil de $220$220 : on résout $10,4x+119,5>220$10,4x + 119,5 > 220, soit $10,4x>100,5$10,4x > 100,5, donc $x>\frac{100,5}{10,4}\approx 9,66$x > 100,5/10,4 ≈ 9,66.

7. 7

   Le premier entier convenant est $x=10$x = 10, soit l'année $2020+10=2030$2020 + 10 = 2030.

8. 8

   Contrôle : $x=9$x = 9 donne $213,1$213,1 (sous le seuil) et $x=10$x = 10 donne $223,5$223,5 (au-dessus) ✔.

9. 9

   Réserve à émettre : $x=10$x = 10 est le double de la dernière année observée.

   C'est une extrapolation lointaine, qui suppose que la croissance reste linéaire pendant cinq ans de plus — ce qu'aucune capacité d'atelier ne garantit (limite des machines, du personnel, du marché).

Rappel de cours : Une équation d'ajustement arrondie ne passe qu'APPROXIMATIVEMENT par le point moyen. L'écart doit être signalé, pas ignoré.

Erreur fréquente : Conclure « la droite ne passe pas par $G$G, donc l'ajustement est faux ». Un écart de $0,5$0,5 sur $146$146 ($0,3\%$0,3%) s'explique par l'arrondi des coefficients.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $0,8x+52=0,5x+62$0,8x + 52 = 0,5x + 62.

2. 2

   $0,8x-0,5x=62-52$0,8x - 0,5x = 62 - 52, soit $0,3x=10$0,3x = 10.

3. 3

   $x=\frac{10}{0,3}\approx 33,3$x = 10/0,3 ≈ 33,3 m³/h.

4. 4

   Rendement commun : $0,8\times 33,33+52\approx 26,67+52\approx 78,7\%$0,8 × 33,33 + 52 ≈ 26,67 + 52 ≈ 78,7% (contrôle avec l'autre modèle : $0,5\times 33,33+62\approx 16,67+62\approx 78,7\%$0,5 × 33,33 + 62 ≈ 16,67 + 62 ≈ 78,7% ✔).

5. 5

   Ce débit appartient à $[10;40]$[10 ; 40] (plage A) ET à $[30;60]$[30 ; 60] (plage B) : il est dans la zone de RECOUVREMENT $[30;40]$[30 ; 40], la seule où les deux modèles sont tous deux valables.

6. 6

   Sont-ils contradictoires ?

   Non, pas nécessairement.

   Sur la zone commune $[30;40]$[30 ; 40], comparons : à $x=30$x = 30, A prévoit $76\%$76% et B $77\%$77% ; à $x=40$x = 40, A prévoit $84\%$84% et B $82\%$82%.

7. 7

   Les écarts ($1$1 puis $2$2 points de rendement) restent faibles : les deux ajustements sont compatibles sur leur zone commune, ils décrivent simplement des portions différentes d'une courbe qui n'est probablement pas une droite sur $[10;60]$[10 ; 60].

8. 8

   Proposition : regrouper les mesures des deux ateliers et refaire UN ajustement sur toute la plage $[10;60]$[10 ; 60] — en vérifiant d'abord, sur le nuage complet, qu'un modèle affine y est encore pertinent.

   Si le nuage s'incurve, il faudra changer de modèle.

Rappel de cours : Deux ajustements ne sont comparables que sur l'intersection de leurs plages de validité. En dehors, chacun extrapole.

Erreur fréquente : Comparer les coefficients directeurs ($0,8$0,8 contre $0,5$0,5) pour conclure que « l'un des deux se trompe ». Deux droites différentes peuvent parfaitement décrire deux portions d'un même phénomène non linéaire.