Les automatismes ne forment pas un chapitre à part : ce sont les réflexes entretenus toute l'année en Première STI2D — appliquer un taux d'évolution, factoriser une expression, lire un graphique, calculer une probabilité sur un tableau croisé.

Au programme : appliquer un taux d'évolution avec le coefficient multiplicateur $C M = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1+t/100 pour obtenir une valeur finale ou initiale, calculer le taux équivalent à plusieurs évolutions successives (on multiplie les coefficients) et le taux réciproque (on multiplie par $\frac{1}{C M}$ 1/CM) ; résoudre une équation produit nul, déterminer le signe d'une expression du premier degré ou d'un produit ; tracer une droite, lire son équation réduite et son coefficient directeur $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (y_B-y_A)/(x_B-x_A).

Côté données : lire un histogramme ou un diagramme en boîte, calculer et interpréter moyenne, médiane et quartiles, distinguer $P (A \cap B)$ P(A∩ B), $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{B} (A)$ P_B(A). Piège classique : additionner deux taux successifs — une hausse de $10%$ 10% suivie d'une hausse de $10%$ 10% donne $+ 21%$ +21%, car $1, 1 \times 1, 1 = 1, 21$ 1,1× 1,1 = 1,21.

Automatismes en Première STI2D : cours complet

Évolutions et variations

Propriété — Coefficient multiplicateur. Une évolution de $t %$ t % correspond à la multiplication par $C M = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100 (avec $t < 0$ t < 0 pour une baisse). Taux d'une évolution de $V_{1}$ V₁ à $V_{2}$ V₂ : $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$ t = (V₂ - V₁)/V₁. $V_{2} = C M \times V_{1} V_{1} = \frac{V _{2}}{C M} V₂ = CM \times V₁ V₁ = V₂/CM$

Exemple.

Une consommation de $250$ 250 kWh augmente de $8 %$ 8 % : $250 \times 1, 08 = 270$ 250 × 1,08 = 270 kWh.
Après une baisse de $20 %$ 20 %, un composant coûte $36$ 36 € : avant, il coûtait $\frac{36}{0 , 8} = 45$ 36/0,8 = 45 €.
Une puissance passe de $1, 5$ 1,5 kW à $1, 8$ 1,8 kW : $C M = 1, 2$ CM = 1,2, hausse de $20 %$ 20 %.

Propriété — Évolutions successives et réciproque. Évolutions successives : on multiplie les coefficients. Évolution réciproque : coefficient $\frac{1}{C M}$ 1/CM.

Exemple. $+ 10 %$ +10 % puis $+ 10 %$ +10 % : $1, 1^{2} = 1, 21$ 1,1² = 1,21, soit $+ 21 %$ +21 %. Après une baisse de $20 %$ 20 %, il faut une hausse de $\frac{1}{0 , 8} - 1 = 25 %$ 1/0,8 - 1 = 25 % pour revenir au départ.

Calcul algébrique

Propriété — Produit nul et signe.

$A \times B = 0 ⟺ A = 0$ A × B = 0 ⇔ A = 0 ou $B = 0$ B = 0.
$a x + b$ ax + b ( $a \neq = 0$ a ≠ 0) s'annule en $- \frac{b}{a}$ -b/a et a le signe de $a$ a à droite de cette valeur.
Le signe d'un produit se lit dans un tableau de signes : une ligne par facteur.

Exemple. $(2 x - 6) (x + 1) = 0 ⟺ x = 3$ (2x - 6)(x + 1) = 0 ⇔ x = 3 ou $x = - 1$ x = -1. Le produit est positif à l'extérieur de $[- 1; 3]$ [-1 ;3], négatif entre $- 1$ -1 et $3$ 3.

Méthode — Développer, factoriser. Distributivité $k (a + b) = k a + k b$ k(a + b) = ka + kb ; identités $(a \pm b)^{2}$ (a ± b)², $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (a + b)(a - b) = a² - b² ; factoriser par un facteur commun : $3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)$ 3x² - 12x = 3x(x - 4).

Fonctions, droites et lectures graphiques

Méthode — Résoudre graphiquement. Les solutions de $f (x) = k$ f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ k ; celles de $f (x) < k$ f(x) < k, les abscisses des points situés sous la droite horizontale $y = k$ y = k. Le signe de $f$ f se lit par la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

Propriété — Droites. Une droite non verticale a une équation réduite $y = m x + p$ y = mx + p : $p$ p est l'ordonnée à l'origine, $m$ m le coefficient directeur, $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) pour deux points $A$ A et $B$ B.

Exemple. La droite passant par $A (1; 3)$ A(1 ;3) et $B (4; 9)$ B(4 ;9) a pour coefficient directeur $m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ m = (9 - 3)/(4 - 1) = 2 ; $p = 3 - 2 \times 1 = 1$ p = 3 - 2 × 1 = 1 : $y = 2 x + 1$ y = 2x + 1. Pour la tracer, on place $(0; 1)$ (0 ;1) puis on avance de $1$ 1 et l'on monte de $2$ 2.

Statistiques

Méthode — Lire et calculer. Repérer l'origine et les unités des axes, l'échelle d'un diagramme. Moyenne $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{N}$ bar x = (Σ nᵢ xᵢ)/N ; médiane et quartiles sur les valeurs rangées ; diagramme en boîte : minimum, $Q_{1}$ Q₁, médiane, $Q_{3}$ Q₃, maximum.

Exemple. Intensités mesurées (en mA) : $12$ 12, $15$ 15, $15$ 15, $18$ 18, $20$ 20. Moyenne $\frac{80}{5} = 16$ 80/5 = 16 mA ; médiane $15$ 15 mA ; étendue $8$ 8 mA.

Probabilités conditionnelles

Propriété — Trois probabilités à distinguer. $P (A \cap B)$ P(A ∩ B) : $A$ A et $B$ B à la fois, rapporté à tout l'univers. $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) : $B$ B parmi les issues de $A$ A. $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B) : $A$ A parmi les issues de $B$ B.

Exemple — Contrôle de pièces. Sur $200$ 200 pièces, $120$ 120 viennent de la machine $M_{1}$ M₁, dont $6$ 6 défectueuses ; $80$ 80 de $M_{2}$ M₂, dont $8$ 8 défectueuses. On tire une pièce au hasard : $P (M_{1} \cap D) = \frac{6}{200} = 0, 03$ P(M₁ ∩ D) = 6/200 = 0,03 ; $P_{M_{1}} (D) = \frac{6}{120} = 0, 05$ P_M₁(D) = 6/120 = 0,05 ; $P_{D} (M_{1}) = \frac{6}{14} \approx 0, 43$ P_D(M₁) = 6/14 ≈ 0,43.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Additionner des taux successifs ; retirer un pourcentage au lieu de diviser par $C M$ CM.
Oublier un facteur dans un tableau de signes.
Inverser $Δ y$ Δ y et $Δ x$ Δ x dans le coefficient directeur.
Confondre $P (A \cap B)$ P(A ∩ B), $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{B} (A)$ P_B(A).

Fiche de synthèse

Évolution	$C M = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100 ; $V_{1} = \frac{V _{2}}{C M}$ V₁ = V₂/CM ; successives : produit ; réciproque : $\frac{1}{C M}$ 1/CM
Produit nul	$A B = 0 ⟺ A = 0$ AB = 0 ⇔ A = 0 ou $B = 0$ B = 0
Signe	$a x + b$ ax + b : signe de $a$ a à droite de $- \frac{b}{a}$ -b/a ; tableau de signes
Droite	$y = m x + p$ y = mx + p ; $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)
Probabilités	$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A)

Exercices d'application

Exercice 1 – Évolutions

Un abonnement de $40$ 40 € augmente de $5 %$ 5 % puis de $10 %$ 10 %. Calculer le nouveau prix et le taux global.

Exercice 2 – Signe

Étudier le signe de $(x - 2) (5 - x)$ (x - 2)(5 - x).

Exercice 3 – Droite

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A (- 1; 4)$ A(-1 ;4) et $B (3; - 4)$ B(3 ;-4).

Exercice 4 – Probabilités

Avec les données de la section 5, calculer $P_{M_{2}} (D)$ P_M₂(D) et $P_{D} (M_{2})$ P_D(M₂).

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $40 \times 1, 05 \times 1, 1 = 46, 20$ 40 × 1,05 × 1,1 = 46,20 € ; $1, 05 \times 1, 1 = 1, 155$ 1,05 × 1,1 = 1,155, soit $+ 15, 5 %$ +15,5 %.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $x - 2$ x - 2 s'annule en $2$ 2 (positif après), $5 - x$ 5 - x en $5$ 5 (positif avant). Le produit est négatif sur $] - \infty; 2 [$ ]-∞ ;2[, positif sur $] 2; 5 [$ ]2 ;5[, négatif sur $] 5; + \infty [$ ]5 ;+∞[, nul en $2$ 2 et $5$ 5.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $m = \frac{- 4 - 4}{3 - ( - 1 )} = - 2$ m = (-4 - 4)/(3 - (-1)) = -2 ; $p = 4 - (- 2) (- 1) = 2$ p = 4 - (-2)(-1) = 2 : $y = - 2 x + 2$ y = -2x + 2. Contrôle avec $B$ B : $- 6 + 2 = - 4$ -6 + 2 = -4.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $P_{M_{2}} (D) = \frac{8}{80} = 0, 1$ P_M₂(D) = 8/80 = 0,1 ; $P_{D} (M_{2}) = \frac{8}{14} \approx 0, 57$ P_D(M₂) = 8/14 ≈ 0,57.

Automatismes en Première STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Pourcentages, proportions et lectures rapides

Plaquette 2 – Puissances, unités et ordres de grandeur

Plaquette 3 – Proportionnalité, échelles et mélanges

Plaquette 4 – Calcul littéral et équations

Plaquette 5 – Graphiques, tableaux et probabilités

Leçon complète