Exercices corrigés : Fonctions et polynômes du second degré — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Calculer une image, c'est remplacer $x$x par la valeur donnée.

2. 2

   $f(0)=0^2-4\times 0+1=1$f(0) = 0² - 4 × 0 + 1 = 1.

3. 3

   $f(2)=2^2-4\times 2+1=4-8+1=-3$f(2) = 2² - 4 × 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.

4. 4

   $f(-1)=(-1{)}^2-4\times (-1)+1=1+4+1=6$f(-1) = (-1)² - 4 × (-1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6.

5. 5

   Pour l'antécédent, on calcule $f(1)=1-4+1=-2$f(1) = 1 - 4 + 1 = -2.

6. 6

   On obtient bien $-2$-2 : $1$1 est donc un antécédent de $-2$-2 par $f$f ✔.

7. 7

   Vocabulaire : $f(2)=-3$f(2) = -3 se lit « l'image de $2$2 est $-3$-3 », et aussi « $2$2 est un antécédent de $-3$-3 ».

Rappel de cours : Image : on part de $x$x, on calcule $f(x)$f(x). Antécédent : on part de $y$y, on résout $f(x)=y$f(x) = y.

Erreur fréquente : Calculer $(-1{)}^2=-1$(-1)² = -1. Le carré d'un nombre négatif est POSITIF : $(-1{)}^2=1$(-1)² = 1. Et $-4\times (-1)=+4$-4 × (-1) = +4.

Correction détaillée

1. 1

   Le taux de variation moyen de $P$P entre $a$a et $b$b vaut $\frac{P(b)-P(a)}{b-a}$(P(b) - P(a))/(b - a).

2. 2

   $P(1)=5$P(1) = 5 W et $P(3)=5\times 9=45$P(3) = 5 × 9 = 45 W.

3. 3

   Taux entre $1$1 et $3$3 : $\frac{45-5}{3-1}=\frac{40}{2}=20$(45 - 5)/(3 - 1) = 40/2 = 20 W par ampère.

4. 4

   $P(5)=5\times 25=125$P(5) = 5 × 25 = 125 W, d'où le taux entre $3$3 et $5$5 : $\frac{125-45}{5-3}=\frac{80}{2}=40$(125 - 45)/(5 - 3) = 80/2 = 40 W par ampère.

5. 5

   Le taux a DOUBLÉ : la puissance augmente de plus en plus vite quand l'intensité croît.

   C'est la signature d'une fonction carré, pas d'une fonction affine.

6. 6

   Conséquence pratique : doubler l'intensité ne double pas la puissance dissipée, elle la QUADRUPLE ($P(2i)=5(2i{)}^2=4\times 5i^2$P(2i) = 5(2i)² = 4 × 5i²).

   D'où l'échauffement très rapide des conducteurs en surintensité.

Rappel de cours : Taux de variation moyen $=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$= (f(b) - f(a))/(b - a). Constant pour une fonction affine, variable sinon.

Erreur fréquente : Écrire $P(2i)=2P(i)$P(2i) = 2P(i) : la fonction carré n'est pas affine, les images ne se proportionnalisent pas.

Correction détaillée

1. 1

   Une forme canonique $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x - α)² + β se lit directement : le sommet est le point $S(\alpha ;\beta )$S(α ; β).

2. 2

   $f(x)=(x-3{)}^2+2$f(x) = (x-3)² + 2 : $\alpha =3$α = 3, $\beta =2$β = 2, sommet $S(3;2)$S(3 ; 2).

   Comme $a=1>0$a = 1 > 0, la parabole est « ouverte vers le haut » : $\beta =2$β = 2 est un MINIMUM, atteint en $x=3$x = 3.

3. 3

   $g(x)=-2(x+1{)}^2+8$g(x) = -2(x+1)² + 8 : attention, $(x+1)=(x-(-1))$(x + 1) = (x - (-1)), donc $\alpha =-1$α = -1 et $\beta =8$β = 8, sommet $S(-1;8)$S(-1 ; 8).

   Comme $a=-2<0$a = -2 < 0, c'est un MAXIMUM égal à $8$8, atteint en $x=-1$x = -1.

4. 4

   $h(x)=4(x-5{)}^2$h(x) = 4(x-5)² s'écrit $4(x-5{)}^2+0$4(x-5)² + 0 : sommet $S(5;0)$S(5 ; 0), et $a=4>0$a = 4 > 0 donc minimum $0$0 en $x=5$x = 5.

5. 5

   Justification du raisonnement : un carré est toujours $\ge 0$≥ 0.

   Donc $(x-3{)}^2+2\ge 2$(x-3)² + 2 ≥ 2, avec égalité seulement si $x=3$x = 3 — c'est exactement la définition d'un minimum.

Rappel de cours : $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$f(x) = a(x-α)² + β : sommet $(\alpha ;\beta )$(α ; β) · $a>0$a > 0 $\Rightarrow$⇒ minimum · $a<0$a < 0 $\Rightarrow$⇒ maximum.

Erreur fréquente : Lire $\alpha =1$α = 1 dans $(x+1{)}^2$(x + 1)². Il faut écrire $(x-(-1){)}^2$(x - (-1))² : l'abscisse du sommet est l'OPPOSÉ du nombre qui apparaît dans la parenthèse.

Correction détaillée

1. 1

   Le point le plus haut de la courbe est atteint en $x=3$x = 3, à la hauteur $8$8 : le sommet est $S(3;8)$S(3 ; 8).

2. 2

   L'axe de symétrie d'une parabole est la droite verticale passant par le sommet, d'équation $x=3$x = 3.

3. 3

   Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses : on lit $x=1$x = 1 et $x=5$x = 5.

4. 4

   Contrôle de cohérence : les racines sont symétriques par rapport à l'axe, et en effet $\frac{1+5}{2}=3$(1 + 5)/2 = 3 ✔.

5. 5

   Signe : la courbe est SOUS l'axe avant $1$1 et après $5$5, AU-DESSUS entre $1$1 et $5$5.

6. 6

   Donc $f(x)<0$f(x) < 0 sur $[0;1[$[0 ; 1[ et sur $]5;6]$]5 ; 6], $f(x)>0$f(x) > 0 sur $]1;5[$]1 ; 5[, et $f(x)=0$f(x) = 0 en $x=1$x = 1 et $x=5$x = 5.

7. 7

   Pour information, cette parabole a pour expression $f(x)=-2(x-3{)}^2+8$f(x) = -2(x-3)² + 8 : on retrouve $f(1)=-2\times 4+8=0$f(1) = -2 × 4 + 8 = 0 ✔ et $f(0)=-18+8=-10$f(0) = -18 + 8 = -10, la valeur lue à gauche.

Rappel de cours : L'axe de symétrie passe par le sommet. Quand il y a deux racines, l'abscisse du sommet est leur MOYENNE.

Correction détaillée

1. 1

   Développement de $f$f : $(x-1)(x-5)=x^2-5x-x+5=x^2-6x+5$(x-1)(x-5) = x² - 5x - x + 5 = x² - 6x + 5.

2. 2

   On multiplie par $2$2 : $f(x)=2x^2-12x+10$f(x) = 2x² - 12x + 10.

3. 3

   Développement de $g$g : $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$(x-3)² = x² - 6x + 9, donc $2(x-3{)}^2=2x^2-12x+18$2(x-3)² = 2x² - 12x + 18.

4. 4

   Puis $g(x)=2x^2-12x+18-8=2x^2-12x+10$g(x) = 2x² - 12x + 18 - 8 = 2x² - 12x + 10.

5. 5

   Les deux développements sont identiques : $f$f et $g$g sont la MÊME fonction, écrite sous deux formes différentes.

6. 6

   À quoi sert chaque forme ?

   La forme factorisée $2(x-1)(x-5)$2(x-1)(x-5) donne les racines d'un coup d'œil ($1$1 et $5$5) ; la forme canonique $2(x-3{)}^2-8$2(x-3)² - 8 donne le sommet ($S(3;-8)$S(3 ; -8)) ; la forme développée $2x^2-12x+10$2x² - 12x + 10 donne l'ordonnée à l'origine ($10$10).

Rappel de cours : Chaque forme répond à une question : factorisée $\to$→ racines · canonique $\to$→ sommet · développée $\to$→ ordonnée à l'origine.

Erreur fréquente : Développer $2(x-3{)}^2$2(x-3)² en $(2x-6{)}^2$(2x - 6)² : le coefficient $2$2 est devant le carré, il ne rentre pas dedans.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=0$f(x) = 0 équivaut à $-3(x+2)(x-4)=0$-3(x+2)(x-4) = 0.

   Comme $-3\ne 0$-3 ≠ 0, un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x+2=0$x + 2 = 0 ou $x-4=0$x - 4 = 0.

2. 2

   Les racines sont donc $x=-2$x = -2 et $x=4$x = 4.

3. 3

   Signe de chaque facteur : $x+2$x + 2 est négatif avant $-2$-2, positif après ; $x-4$x - 4 est négatif avant $4$4, positif après.

4. 4

   Sur $]-\infty ;-2[$]-∞ ; -2[ : $(-)\times (-)=(+)$(-) × (-) = (+), puis multiplié par $-3$-3 donne $(-)$(-).

   Donc $f(x)<0$f(x) < 0.

5. 5

   Sur $]-2;4[$]-2 ; 4[ : $(+)\times (-)=(-)$(+) × (-) = (-), multiplié par $-3$-3 donne $(+)$(+).

   Donc $f(x)>0$f(x) > 0.

6. 6

   Sur $]4;+\infty [$]4 ; +∞[ : $(+)\times (+)=(+)$(+) × (+) = (+), multiplié par $-3$-3 donne $(-)$(-).

   Donc $f(x)<0$f(x) < 0.

7. 7

   Conclusion pour l'inéquation : $f(x)\ge 0$f(x) ≥ 0 sur l'intervalle $[-2;4]$[-2 ; 4], bornes incluses puisque $f(-2)=f(4)=0$f(-2) = f(4) = 0.

8. 8

   Contrôle rapide : $f(0)=-3\times 2\times (-4)=24>0$f(0) = -3 × 2 × (-4) = 24 > 0, et $0$0 est bien dans $[-2;4]$[-2 ; 4] ✔.

Rappel de cours : Un polynôme de degré 2 est du signe de $a$a à l'EXTÉRIEUR de ses racines, du signe contraire ENTRE elles.

Erreur fréquente : Oublier le coefficient $-3$-3, qui INVERSE tous les signes. Un test numérique en une valeur simple ($x=0$x = 0) permet de le repérer.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux racines sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie $x=4$x = 4.

   La racine $1$1 est à distance $4-1=3$4 - 1 = 3 à gauche de l'axe.

2. 2

   L'autre racine est donc à distance $3$3 à DROITE : $x=4+3=7$x = 4 + 3 = 7.

3. 3

   Pour $a$a, on utilise $f(1)=0$f(1) = 0 : $a(1-4{)}^2-9=0$a(1-4)² - 9 = 0, soit $9a-9=0$9a - 9 = 0.

4. 4

   Donc $9a=9$9a = 9 et $a=1$a = 1.

5. 5

   Forme factorisée : les racines sont $1$1 et $7$7, le coefficient dominant est $a=1$a = 1, d'où $f(x)=(x-1)(x-7)$f(x) = (x - 1)(x - 7).

6. 6

   Contrôle : on développe $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$(x-1)(x-7) = x² - 8x + 7, et on développe la forme canonique $(x-4{)}^2-9=x^2-8x+16-9=x^2-8x+7$(x-4)² - 9 = x² - 8x + 16 - 9 = x² - 8x + 7 ✔ Les deux coïncident.

Rappel de cours : Abscisse du sommet $=\frac{x_1+x_2}{2}$= (x₁ + x₂)/2 : le sommet est toujours au MILIEU des racines.

Erreur fréquente : Prendre $7$7 comme « symétrique de $1$1 par rapport à $0$0 » : la symétrie se fait par rapport à l'AXE $x=4$x = 4, pas par rapport à l'origine.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-5{)}^2=16$(x - 5)² = 16 : un carré vaut $16$16 si la quantité élevée au carré vaut $4$4 ou $-4$-4.

2. 2

   Donc $x-5=4$x - 5 = 4 ou $x-5=-4$x - 5 = -4, soit $x=9$x = 9 ou $x=1$x = 1.

3. 3

   $2(x+3{)}^2=50$2(x + 3)² = 50 : on isole d'abord le carré en divisant par $2$2, ce qui donne $(x+3{)}^2=25$(x+3)² = 25.

4. 4

   Puis $x+3=5$x + 3 = 5 ou $x+3=-5$x + 3 = -5, soit $x=2$x = 2 ou $x=-8$x = -8.

5. 5

   $(x-1{)}^2=-4$(x - 1)² = -4 : un carré est toujours POSITIF ou nul, il ne peut jamais valoir $-4$-4.

   L'équation n'a AUCUNE solution.

6. 6

   Contrôle : $(9-5{)}^2=16$(9-5)² = 16 ✔ ; $2(2+3{)}^2=2\times 25=50$2(2+3)² = 2 × 25 = 50 ✔ ; $2(-8+3{)}^2=2\times 25=50$2(-8+3)² = 2 × 25 = 50 ✔.

7. 7

   Lecture graphique de la troisième : la parabole $y=(x-1{)}^2$y = (x-1)² a pour minimum $0$0, elle ne descend jamais jusqu'à $-4$-4.

Rappel de cours : $X^2=k$X² = k : deux solutions $\pm \sqrt{k}$±√(k) si $k>0$k > 0, une seule ($X=0$X = 0) si $k=0$k = 0, aucune si $k<0$k < 0.

Erreur fréquente : N'écrire qu'une solution : $(x-5{)}^2=16$(x-5)² = 16 donne AUSSI $x-5=-4$x - 5 = -4. Un carré efface le signe, il faut donc envisager les deux cas.

Correction détaillée

1. 1

   $A(x)=x^2-49=x^2-7^2$A(x) = x² - 49 = x² - 7² : c'est une différence de deux carrés, donc $A(x)=(x-7)(x+7)$A(x) = (x - 7)(x + 7).

2. 2

   $A(x)=0$A(x) = 0 donne $x=7$x = 7 ou $x=-7$x = -7.

3. 3

   $B(x)=4x^2-12x$B(x) = 4x² - 12x : les deux termes contiennent $4x$4x, donc $B(x)=4x(x-3)$B(x) = 4x(x - 3).

4. 4

   $B(x)=0$B(x) = 0 donne $4x=0$4x = 0 ou $x-3=0$x - 3 = 0, soit $x=0$x = 0 ou $x=3$x = 3.

5. 5

   $C(x)=x^2+10x+25$C(x) = x² + 10x + 25 : on reconnaît $a^2+2ab+b^2$a² + 2ab + b² avec $a=x$a = x et $b=5$b = 5 (car $2\times x\times 5=10x$2 × x × 5 = 10x et $5^2=25$5² = 25).

   Donc $C(x)=(x+5{)}^2$C(x) = (x + 5)².

6. 6

   $C(x)=0$C(x) = 0 donne $(x+5{)}^2=0$(x+5)² = 0, donc $x+5=0$x + 5 = 0 et $x=-5$x = -5 : une SEULE racine, dite double.

7. 7

   Graphiquement, la parabole de $C$C est tangente à l'axe des abscisses en $-5$-5 : elle le touche sans le traverser.

   D'où le signe de $C$C, positif partout sauf en $-5$-5 où il s'annule.

Rappel de cours : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a² - b² = (a-b)(a+b) · $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$a² + 2ab + b² = (a+b)² · et toujours chercher le facteur commun d'abord.

Erreur fréquente : Oublier la racine $x=0$x = 0 dans $B$B en « simplifiant par $x$x ». Diviser par $x$x revient à supposer $x\ne 0$x ≠ 0, donc à perdre une solution.

Correction détaillée

1. 1

   Vérification : $-(x-3{)}^2+4=-(x^2-6x+9)+4=-x^2+6x-9+4=-x^2+6x-5$-(x-3)² + 4 = -(x² - 6x + 9) + 4 = -x² + 6x - 9 + 4 = -x² + 6x - 5 ✔ Les deux formes coïncident.

2. 2

   Le coefficient dominant est $a=-1<0$a = -1 < 0 : la parabole est ouverte vers le BAS.

   Elle croît jusqu'au sommet, puis décroît.

3. 3

   Le sommet est $S(3;4)$S(3 ; 4), lu sur la forme canonique.

4. 4

   Tableau de variations : $f$f est croissante sur $]-\infty ;3]$]-∞ ; 3], de $-\infty$-∞ jusqu'à $4$4, puis décroissante sur $[3;+\infty [$[3 ; +∞[, de $4$4 vers $-\infty$-∞.

5. 5

   L'extremum est donc un MAXIMUM, égal à $4$4, atteint en $x=3$x = 3.

6. 6

   Justification sans tableau : $(x-3{)}^2\ge 0$(x-3)² ≥ 0 donc $-(x-3{)}^2\le 0$-(x-3)² ≤ 0, d'où $f(x)\le 4$f(x) ≤ 4 pour tout $x$x, avec égalité seulement en $x=3$x = 3.

Rappel de cours : $a<0$a < 0 : croissante puis décroissante, MAXIMUM au sommet. $a>0$a > 0 : l'inverse.

Erreur fréquente : Développer $-(x-3{)}^2$-(x-3)² en $-x^2-6x-9$-x² - 6x - 9 : le signe « moins » porte sur TOUT le développement de $(x-3{)}^2$(x-3)², soit $-x^2+6x-9$-x² + 6x - 9.

Correction détaillée

1. 1

   Le grillage couvre les DEUX largeurs et UNE seule longueur (le mur remplace l'autre).

   En notant $L$L la longueur : $2x+L=60$2x + L = 60, donc $L=60-2x$L = 60 - 2x.

2. 2

   Aire : $\mathcal{A}(x)=x\times L=x(60-2x)=60x-2x^2$A (x) = x × L = x(60 - 2x) = 60x - 2x².

3. 3

   Vérification de la forme canonique : $-2(x-15{)}^2+450=-2(x^2-30x+225)+450=-2x^2+60x-450+450=-2x^2+60x$-2(x-15)² + 450 = -2(x² - 30x + 225) + 450 = -2x² + 60x - 450 + 450 = -2x² + 60x ✔.

4. 4

   Comme $a=-2<0$a = -2 < 0, la fonction admet un MAXIMUM au sommet, atteint en $x=15$x = 15, et ce maximum vaut $450$450.

5. 5

   Dimensions optimales : largeur $x=15$x = 15 m et longueur $L=60-30=30$L = 60 - 30 = 30 m.

6. 6

   Aire maximale : $450$450 m².

   Contrôle : $15\times 30=450$15 × 30 = 450 ✔.

7. 7

   Domaine de validité : il faut $x>0$x > 0 et $L>0$L > 0, donc $0<x<30$0 < x < 30.

   La valeur $x=15$x = 15 est bien dans cet intervalle ✔.

8. 8

   Remarque : l'enclos optimal n'est pas un carré !

   Avec un mur qui remplace un côté, la longueur vaut le DOUBLE de la largeur.

   Sans mur (périmètre $60$60 m), l'optimum serait le carré $15\times 15$15 × 15.

Rappel de cours : Optimiser une aire du second degré : on passe par la forme canonique, le sommet donne l'optimum.

Erreur fréquente : Écrire le périmètre $2x+2L=60$2x + 2L = 60 : un côté n'est pas grillagé, il n'entre pas dans les $60$60 m disponibles.

Correction détaillée

1. 1

   Le jet est au sol quand $h(x)=0$h(x) = 0 : $-0,25x^2+2x=0$-0,25x² + 2x = 0.

2. 2

   On factorise par $x$x : $x(-0,25x+2)=0$x(-0,25x + 2) = 0, donc $x=0$x = 0 (la buse) ou $-0,25x+2=0$-0,25x + 2 = 0.

3. 3

   $-0,25x=-2$-0,25x = -2 donne $x=\frac{-2}{-0,25}=8$x = (-2)/(-0,25) = 8.

   Le jet retombe à $8$8 m.

4. 4

   La hauteur maximale est atteinte au sommet, c'est-à-dire au MILIEU des deux racines : $x=\frac{0+8}{2}=4$x = (0 + 8)/2 = 4 m.

5. 5

   $h(4)=-0,25\times 16+8=-4+8=4$h(4) = -0,25 × 16 + 8 = -4 + 8 = 4 m.

   Hauteur maximale : $4$4 m à $4$4 m de la buse.

6. 6

   À $x=6$x = 6 : $h(6)=-0,25\times 36+12=-9+12=3$h(6) = -0,25 × 36 + 12 = -9 + 12 = 3 m.

7. 7

   Or l'obstacle mesure $3,5$3,5 m et $3<3,5$3 < 3,5 : le jet NE passe PAS au-dessus, il heurte l'obstacle.

8. 8

   Pour information, la hauteur $3,5$3,5 m est franchie tant que $-0,25x^2+2x\ge 3,5$-0,25x² + 2x ≥ 3,5 ; en testant, $h(5)=-6,25+10=3,75>3,5$h(5) = -6,25 + 10 = 3,75 > 3,5 et $h(6)=3<3,5$h(6) = 3 < 3,5 : l'obstacle aurait dû être placé à $5$5 m au plus.

Rappel de cours : Pour une trajectoire parabolique, le sommet est au milieu des deux points d'impact au sol : $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$x_S = (x₁ + x₂)/2.

Erreur fréquente : Croire que la hauteur maximale est atteinte à mi-portée seulement « par intuition ». C'est en réalité une conséquence de la symétrie de la parabole — et c'est faux dès que le départ et l'arrivée ne sont pas à la même hauteur.

Correction détaillée

1. 1

   On développe la forme proposée : $(q-8)(q-42)=q^2-42q-8q+336=q^2-50q+336$(q - 8)(q - 42) = q² - 42q - 8q + 336 = q² - 50q + 336.

2. 2

   En changeant le signe : $-(q-8)(q-42)=-q^2+50q-336$-(q-8)(q-42) = -q² + 50q - 336 ✔ C'est bien $B(q)$B(q).

3. 3

   L'atelier est bénéficiaire lorsque $B(q)>0$B(q) > 0.

   Les racines sont $8$8 et $42$42.

4. 4

   Comme le coefficient dominant est $-1<0$-1 < 0, le polynôme est POSITIF entre les racines : $B(q)>0$B(q) > 0 pour $8<q<42$8 < q < 42.

5. 5

   Il faut produire entre $9$9 et $41$41 capteurs (les quantités sont entières) pour être bénéficiaire ; à $8$8 ou $42$42 capteurs, le bénéfice est nul (seuils de rentabilité).

6. 6

   Le maximum est atteint au sommet, au milieu des racines : $q=\frac{8+42}{2}=25$q = (8 + 42)/2 = 25.

7. 7

   $B(25)=-625+1250-336=289$B(25) = -625 + 1 250 - 336 = 289 €.

8. 8

   Contrôle par la forme factorisée : $B(25)=-(25-8)(25-42)=-(17)\times (-17)=289$B(25) = -(25-8)(25-42) = -(17)×(-17) = 289 ✔ (et l'on voit apparaître $17^2$17², ce qui n'est pas un hasard : au sommet, les deux distances aux racines sont égales).

9. 9

   Cohérence avec le domaine : $q=25$q = 25 appartient bien à $[0;60]$[0 ; 60] ✔.

Rappel de cours : Signe d'un trinôme : du signe de $a$a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles.

Erreur fréquente : Conclure « bénéfice positif à l'extérieur de $[8;42]$[8 ; 42] » en oubliant que $a=-1$a = -1 est négatif, ce qui inverse le schéma habituel.

Correction détaillée

1. 1

   La forme est canonique : $a=-0,005<0$a = -0,005 < 0, sommet $S(70;92)$S(70 ; 92).

   Le rendement maximal est de $92\%$92%, atteint pour $p=70\%$p = 70% de la puissance nominale.

2. 2

   $r(100)=-0,005\times (100-70{)}^2+92=-0,005\times 900+92=-4,5+92=87,5\%$r(100) = -0,005 × (100-70)² + 92 = -0,005 × 900 + 92 = -4,5 + 92 = 87,5%.

3. 3

   $r(20)=-0,005\times (20-70{)}^2+92=-0,005\times 2500+92=-12,5+92=79,5\%$r(20) = -0,005 × (20-70)² + 92 = -0,005 × 2 500 + 92 = -12,5 + 92 = 79,5%.

4. 4

   Le rendement chute donc bien plus à faible charge ($79,5\%$79,5%) qu'à pleine charge ($87,5\%$87,5%) : c'est le comportement réel d'un convertisseur, dont les pertes fixes pèsent lourd quand la puissance utile est faible.

5. 5

   Condition $r(p)\ge 90$r(p) ≥ 90 : $-0,005(p-70{)}^2+92\ge 90$-0,005(p - 70)² + 92 ≥ 90, soit $-0,005(p-70{)}^2\ge -2$-0,005(p-70)² ≥ -2.

6. 6

   On divise par $-0,005$-0,005, ce qui INVERSE l'inégalité : $(p-70{)}^2\le 400$(p - 70)² ≤ 400.

7. 7

   Donc $|p-70|\le 20$|p - 70| ≤ 20, c'est-à-dire $50\le p\le 90$50 ≤ p ≤ 90.

8. 8

   Contrôle aux bornes : $r(50)=-0,005\times 400+92=-2+92=90$r(50) = -0,005 × 400 + 92 = -2 + 92 = 90 ✔, de même $r(90)=90$r(90) = 90 ✔.

9. 9

   Conclusion utile à l'exploitant : il faut dimensionner l'installation pour que le convertisseur travaille entre $50\%$50% et $90\%$90% de sa puissance nominale.

   Un convertisseur surdimensionné, donc peu chargé, sort de cette plage et perd plusieurs points de rendement.

Rappel de cours : Une contrainte « $f(x)\ge s$f(x) ≥ s » sur une forme canonique se ramène toujours à $(x-\alpha {)}^2\le k$(x - α)² ≤ k, donc à l'encadrement $\alpha -\sqrt{k}\le x\le \alpha +\sqrt{k}$α - √(k) ≤ x ≤ α + √(k).

Erreur fréquente : Garder le sens de l'inégalité en divisant par $-0,005$-0,005 : on obtiendrait $(p-70{)}^2\ge 400$(p-70)² ≥ 400, c'est-à-dire exactement les puissances à ÉVITER.

Correction détaillée

1. 1

   Les courbes se coupent là où $f(x)=g(x)$f(x) = g(x) : $x^2-2x+3=4x-5$x² - 2x + 3 = 4x - 5.

2. 2

   On ramène tout d'un côté : $x^2-2x+3-4x+5=0$x² - 2x + 3 - 4x + 5 = 0, soit $x^2-6x+8=0$x² - 6x + 8 = 0.

3. 3

   On factorise sans discriminant en complétant le carré : $x^2-6x+8=(x-3{)}^2-9+8=(x-3{)}^2-1$x² - 6x + 8 = (x - 3)² - 9 + 8 = (x-3)² - 1.

4. 4

   L'équation devient $(x-3{)}^2=1$(x-3)² = 1, donc $x-3=1$x - 3 = 1 ou $x-3=-1$x - 3 = -1, soit $x=4$x = 4 ou $x=2$x = 2.

5. 5

   Ordonnées correspondantes : $g(2)=3$g(2) = 3 et $g(4)=11$g(4) = 11.

   Les points d'intersection sont $(2;3)$(2 ; 3) et $(4;11)$(4 ; 11).

6. 6

   Position relative : on étudie le signe de $f(x)-g(x)=(x-3{)}^2-1=(x-3-1)(x-3+1)=(x-4)(x-2)$f(x) - g(x) = (x-3)² - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).

7. 7

   Ce produit est positif à l'extérieur de $[2;4]$[2 ; 4] et négatif à l'intérieur.

8. 8

   Conclusion : la parabole de $f$f est AU-DESSUS de la droite de $g$g sur $]-\infty ;2[$]-∞ ; 2[ et $]4;+\infty [$]4 ; +∞[, et EN DESSOUS sur $]2;4[$]2 ; 4[.

   Elles se coupent en $x=2$x = 2 et $x=4$x = 4.

9. 9

   Contrôle en $x=3$x = 3 : $f(3)=9-6+3=6$f(3) = 9 - 6 + 3 = 6 et $g(3)=7$g(3) = 7.

   On a bien $f(3)<g(3)$f(3) < g(3) ✔.

Rappel de cours : Position relative de deux courbes : on étudie le SIGNE de la différence $f(x)-g(x)$f(x) - g(x), pas les fonctions séparément.

Erreur fréquente : Comparer les expressions terme à terme. Seul le signe de la différence permet de conclure, et il change d'un intervalle à l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   Recette : $R(q)=50q$R(q) = 50q.

2. 2

   Bénéfice : $B(q)=50q-(q^2+10q+200)=50q-q^2-10q-200=-q^2+40q-200$B(q) = 50q - (q² + 10q + 200) = 50q - q² - 10q - 200 = -q² + 40q - 200.

3. 3

   Forme canonique : on factorise le $-1$-1 sur les termes en $q$q : $B(q)=-(q^2-40q)-200$B(q) = -(q² - 40q) - 200.

4. 4

   On complète le carré : $q^2-40q=(q-20{)}^2-400$q² - 40q = (q - 20)² - 400, d'où $B(q)=-[(q-20{)}^2-400]-200=-(q-20{)}^2+400-200$B(q) = -[(q-20)² - 400] - 200 = -(q-20)² + 400 - 200.

5. 5

   Donc $B(q)=-(q-20{)}^2+200$B(q) = -(q - 20)² + 200.

6. 6

   Comme $a=-1<0$a = -1 < 0, le maximum est atteint au sommet : production optimale $q=20$q = 20 modules, pour un bénéfice de $200$200 € par jour.

7. 7

   Productions rentables : $B(q)>0$B(q) > 0 équivaut à $-(q-20{)}^2+200>0$-(q-20)² + 200 > 0, soit $(q-20{)}^2<200$(q - 20)² < 200.

8. 8

   Donc $|q-20|<\sqrt{200}$|q - 20| < √(200).

   Or $\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14,14$√(200) = 10√(2) ≈ 14,14.

9. 9

   D'où $20-14,14<q<20+14,14$20 - 14,14 < q < 20 + 14,14, soit $5,86<q<34,14$5,86 < q < 34,14.

10. 10

    Les productions étant entières, l'atelier est bénéficiaire de $6$6 à $34$34 modules par jour.

11. 11

    Contrôle aux bornes : $B(6)=-196+200=4>0$B(6) = -196 + 200 = 4 > 0 ✔ et $B(5)=-225+200=-25<0$B(5) = -225 + 200 = -25 < 0 ✔ ; $B(34)=-196+200=4>0$B(34) = -196 + 200 = 4 > 0 ✔ et $B(35)=-225+200=-25<0$B(35) = -225 + 200 = -25 < 0 ✔.

12. 12

    Remarque : les deux seuils sont symétriques autour de $20$20, comme toujours pour une parabole.