Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Convexité
Une fonction est convexe quand sa courbe « tourne vers le haut » (en forme de cuvette) et concave quand elle « tourne vers le bas ». L'outil central est la dérivée seconde f'' : f est convexe là où f''≥ 0, concave là où f''≤ 0, et un point d'inflexion est un point où f'' change de signe. Ces exercices corrigés couvrent dérivée seconde, convexité, points d'inflexion, position courbe/tangente et lectures graphiques type bac. Difficulté croissante, correction d'un clic.
Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.
Soit f(x)=x³-2x²+5.
Calculer f'(x) puis f''(x).
Correction détaillée
f'(x)=3x²-4x (dérivée terme à terme).
f''(x) est la dérivée de f' : f''(x)=6x-4.
Rappel de cours : La dérivée seconde f'' est la dérivée de la dérivée f' : on dérive deux fois de suite.
La fonction f(x)=x² est-elle convexe ou concave sur ℝ ?
Correction détaillée
f'(x)=2x puis f''(x)=2.
f''(x)=2>0 pour tout x : la fonction est convexe sur ℝ.
Rappel de cours : f''≥ 0 sur un intervalle ⇒ f convexe ; f''≤ 0 ⇒ f concave.
Étudier la convexité de f(x)=e^(x) et de g(x)=ln(x) (sur ]0;+∞[).
Correction détaillée
f''(x)=e^(x)>0 : exp est convexe sur ℝ.
Pour g, g'(x)=1/x puis g''(x)=-1/x²<0 : ln est concave sur ]0;+∞[.
Rappel de cours : À retenir : l'exponentielle est convexe, le logarithme est concave. x↦ x² est convexe.
Soit f(x)=x³.
Déterminer sur quels intervalles f est convexe ou concave.
Correction détaillée
f'(x)=3x² puis f''(x)=6x.
f''(x)=6x>0 ⇔ x>0 et f''(x)<0 ⇔ x<0.
Donc f est concave sur ]-∞;0] et convexe sur [0;+∞[.
Rappel de cours : On étudie le signe de f'' : il indique les zones de convexité (signe +) et de concavité (signe -).
Soit f(x)=x³-3x.
Montrer que la courbe admet un point d'inflexion en x=0.
Correction détaillée
f'(x)=3x²-3 puis f''(x)=6x.
f'' s'annule en 0 et change de signe (négatif avant, positif après).
La convexité change donc en 0 : la courbe présente un point d'inflexion d'abscisse 0.
Son ordonnée est f(0)=0, point (0 ;0).
Rappel de cours : Point d'inflexion : f'' s'annule ET change de signe. C'est là que la courbe passe de convexe à concave (ou inversement).
Erreur fréquente : f''(a)=0 ne suffit pas : il faut un changement de signe. Sinon il n'y a pas d'inflexion.
Étudier la convexité de f(x)=-2x²+3x-1.
Correction détaillée
f'(x)=-4x+3 puis f''(x)=-4.
f''(x)=-4<0 pour tout x : f est concave sur ℝ.
Rappel de cours : Une parabole ax²+bx+c est convexe si a>0, concave si a<0 : on retrouve le signe de f''=2a.
Soit f(x)=x⁴-6x².
Étudier le signe de f''(x) et en déduire les intervalles de convexité.
Correction détaillée
f'(x)=4x³-12x puis f''(x)=12x²-12=12(x²-1)=12(x-1)(x+1).
f'' est un trinôme de coefficient 12>0 : positif à l'extérieur des racines -1 et 1, négatif entre.
f est convexe sur ]-∞;-1] et [1;+∞[, concave sur [-1;1].
Inflexions en x=-1 et x=1.
Rappel de cours : On factorise f'' pour lire son signe, exactement comme pour étudier le signe de f' dans les variations.
Soit f(x)=x², convexe sur ℝ.
Que peut-on dire de la position de la courbe par rapport à ses tangentes ?
Correction détaillée
Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Vérifions avec la tangente en 0 : f'(0)=0 et f(0)=0, tangente y=0.
On a bien x²≥ 0 : la courbe est au-dessus.
Conclusion : la courbe de f est au-dessus de toutes ses tangentes (propriété générale des fonctions convexes).
Rappel de cours : Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes. Concave : courbe en dessous. Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Soit f(x)=e^(-x²).
Calculer f''(x) et déterminer les abscisses des points d'inflexion.
Correction détaillée
f'(x)=-2x e^(-x²) (dérivée de e^(u) avec u=-x²).
f''(x)=[(-2)+(-2x)(-2x)]e^(-x²)=(-2+4x²)e^(-x²)=2(2x²-1)e^(-x²).
e^(-x²)>0, donc f'' a le signe de 2x²-1, qui s'annule en x=±1/( √2 ) en changeant de signe.
Points d'inflexion aux abscisses x=-1/( √2 ) et x=1/( √2 ).
Rappel de cours : Pour dériver f'=u· e^(w) (produit), f''=(u'+u w')e^(w). Ici l'exponentielle >0 sort du signe.
On lit sur un graphique que f''(x)>0 sur ]-∞;2[ et f''(x)<0 sur ]2;+∞[.
Que peut-on dire de la courbe en x=2 et de sa convexité ?
Correction détaillée
f''>0 avant 2 : la fonction est convexe sur ]-∞;2[.
f''<0 après 2 : la fonction est concave sur ]2;+∞[.
f'' change de signe en 2 : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse 2.
Rappel de cours : On peut lire la convexité directement sur le signe de f'', ou sur l'allure de la courbe (cuvette = convexe, dôme = concave).
Sachant que exp est convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0.
En déduire que pour tout réel x, e^(x)≥ x+1.
Correction détaillée
La tangente à exp en 0 a pour équation y=f'(0)(x-0)+f(0)=e⁰ x+e⁰=x+1.
exp étant convexe, sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier celle en 0.
Donc pour tout réel x, e^(x)≥ x+1.
Rappel de cours : La convexité fournit des inégalités « gratuites » : courbe convexe ≥ tangente. C'est une rédaction alternative à l'étude de g(x)=e^(x)-x-1.
Soit f(x)=x e^(x). 1) Calculer f''(x). 2) Étudier la convexité et préciser le point d'inflexion.
Correction détaillée
f'(x)=(1+x)e^(x) (produit).
Puis f''(x)=[1+(1+x)]e^(x)=(2+x)e^(x).
e^(x)>0, donc f''(x) a le signe de 2+x : négatif si x<-2, positif si x>-2.
f est concave sur ]-∞;-2], convexe sur [-2;+∞[.
Inflexion en x=-2, d'ordonnée f(-2)=-2e⁻².
Rappel de cours : Pour dériver f'=(1+x)e^(x) (produit), on applique à nouveau (uv)'=u'v+uv', d'où f''=(2+x)e^(x).
Une quantité est modélisée par f(t)=t³-9t²+24t pour t≥ 0.
La « vitesse » est f', l'« accélération » f''. 1) À partir de quand l'accélération devient-elle positive ? 2) Interpréter ce changement.
Correction détaillée
f'(t)=3t²-18t+24 puis f''(t)=6t-18.
f''(t)>0 ⇔ 6t-18>0 ⇔ t>3 : l'accélération devient positive à partir de t=3.
Avant t=3, f''<0 : f est concave (la croissance ralentit).
Après t=3, f''>0 : f est convexe (la croissance s'accélère).
t=3 est un point d'inflexion.
Rappel de cours : Interprétation : f''>0 (convexe) = croissance qui s'accélère ; f''<0 (concave) = croissance qui ralentit.
Soit f(x)=x³-6x²+5.
Déterminer les coordonnées de son point d'inflexion.
Correction détaillée
f'(x)=3x²-12x puis f''(x)=6x-12.
f''(x)=0⇔ x=2, et f'' change de signe en 2 (négatif avant, positif après).
Point d'inflexion d'abscisse 2 : f(2)=8-24+5=-11, soit (2 ;-11).
Rappel de cours : Inflexion : f'' s'annule EN CHANGEANT de signe.
La fonction ln est concave et sa tangente en 1 est y=x-1.
En déduire que ln(x)≤ x-1 pour tout x>0.
Correction détaillée
Une fonction concave a sa courbe située EN DESSOUS de chacune de ses tangentes.
En particulier sous la tangente en 1, d'équation y=x-1.
Donc pour tout x>0, ln(x)≤ x-1 (égalité seulement en x=1).
Rappel de cours : Convexe : courbe au-dessus des tangentes ; concave : en dessous. ln est concave.
Soit f définie sur ℝ par f(x)=x³-3x², de courbe C.
Correction détaillée
f'(x)=3x²-6x=3x(x-2) : positif sur ]-∞;0[, négatif sur ]0;2[, positif sur ]2;+∞[.
f admet un maximum local f(0)=0 et un minimum local f(2)=8-12=-4.
f''(x)=6x-6=6(x-1) : négatif pour x<1, positif pour x>1.
Donc f est concave sur ]-∞;1] et convexe sur [1;+∞[.
f'' s'annule en changeant de signe en x=1 : C admet un point d'inflexion I(1 ;f(1))=I(1 ;-2).
f'(1)=3-6=-3 et f(1)=-2, donc T: y=-3(x-1)-2=-3x+1.
f(x)-(-3x+1)=x³-3x²+3x-1=(x-1)³.
Ce terme est négatif pour x<1 (C sous T, zone concave) et positif pour x>1 (C au-dessus de T, zone convexe) : la courbe traverse sa tangente en I, ce qui caractérise le point d'inflexion.
Rappel de cours : En un point d'inflexion, f'' change de signe et la courbe traverse sa tangente : le signe de f(x)-( tangente ) change.
Dérivée d'une composée, dérivée seconde, convexité et points d'inflexion.
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