Exercices corrigés : Limites de fonctions — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   À l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : ici $x^2$x².

2. 2

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$lim_x→ +∞ x²=+∞, donc la limite cherchée vaut $+\infty$+∞.

Rappel de cours : En $\pm \infty$±∞, un polynôme se comporte comme son terme dominant (degré le plus élevé).

Erreur fréquente : On n'écrit pas « $+\infty -\infty$+∞-∞ ». Le terme dominant tranche directement : pas de forme indéterminée ici.

Correction détaillée

1. 1

   Terme dominant : $-2x^3$-2x³.

2. 2

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$lim_x→ -∞ x³=-∞, donc $-2x^3\to -2\times (-\infty )=+\infty$-2x³→ -2×(-∞)=+∞.

Rappel de cours : $x^3\to -\infty$x³→-∞ en $-\infty$-∞ (puissance impaire). Le facteur $-2$-2 change ensuite le signe.

Correction détaillée

1. 1

   En $+\infty$+∞, $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0, donc $3+\frac{1}{x}\to 3+0=3$3+1/x→ 3+0=3.

2. 2

   En $0^{+}$0⁺ ($x>0$x>0 tend vers $0$0), $\frac{1}{x}\to +\infty$1/x→ +∞.

Rappel de cours : Limites de référence : $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0 en $\pm \infty$±∞ ; $\frac{1}{x}\to +\infty$1/x→ +∞ en $0^{+}$0⁺ et $\to -\infty$→ -∞ en $0^{-}$0⁻.

Correction détaillée

1. 1

   On simplifie : $f(x)=\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{x}$f(x)=2x/x+1/x=2+1/x.

2. 2

   En $+\infty$+∞, $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0, donc $f(x)\to 2$f(x)→ 2.

3. 3

   La droite d'équation $y=2$y=2 est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Si ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\ell$lim_x→+∞ f(x)=ℓ (réel), la droite $y=\ell$y=ℓ est asymptote horizontale en $+\infty$+∞.

Correction détaillée

1. 1

   Quand $x\to 2^{+}$x→ 2⁺, $x-2\to 0^{+}$x-2→ 0⁺ (positif), donc $\frac{1}{x-2}\to +\infty$1/(x-2)→ +∞.

2. 2

   Quand $x\to 2^{-}$x→ 2⁻, $x-2\to 0^{-}$x-2→ 0⁻ (négatif), donc $\frac{1}{x-2}\to -\infty$1/(x-2)→ -∞.

3. 3

   La droite $x=2$x=2 est asymptote verticale.

Rappel de cours : Une limite infinie en une valeur $a$a signale une asymptote verticale $x=a$x=a. Étudier le signe du dénominateur de part et d'autre.

Erreur fréquente : Bien distinguer $2^{+}$2⁺ et $2^{-}$2⁻ : le signe de $x-2$x-2 change, donc la limite aussi ($+\infty$+∞ d'un côté, $-\infty$-∞ de l'autre).

Correction détaillée

1. 1

   On a une forme indéterminée « $+\infty -\infty$+∞-∞ ».

   On factorise par le terme dominant $x^2$x².

2. 2

   $x^2-x=x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)$x²-x = x² (1-1/x).

3. 3

   En $+\infty$+∞, $x^2\to +\infty$x²→+∞ et $1-\frac{1}{x}\to 1$1-1/x→ 1, donc le produit tend vers $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Face à $\infty -\infty$∞-∞, on factorise par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Correction détaillée

1. 1

   Forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞.

   On factorise haut et bas par le terme dominant $x^2$x².

2. 2

   $\frac{3x^2+1}{x^2-4}=\frac{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}=\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$(3x²+1)/(x²-4) = (x² (3+1/x²))/(x² (1-4/x²)) = (3+1/x²)/(1-4/x²).

3. 3

   En $+\infty$+∞, $\frac{1}{x^2}\to 0$1/x²→ 0 et $\frac{4}{x^2}\to 0$4/x²→ 0, donc la limite vaut $\frac{3}{1}=3$3/1=3.

Rappel de cours : Pour un quotient de polynômes en $\pm \infty$±∞, la limite est celle du quotient des termes dominants (ici $\frac{3x^2}{x^2}=3$3x²/x²=3).

Correction détaillée

1. 1

   Premier quotient : termes dominants $\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}\to 0$x/x²=1/x→ 0.

   Donc la limite vaut $0$0.

2. 2

   Second quotient : termes dominants $\frac{2x^3}{x^2}=2x\to +\infty$2x³/x²=2x→ +∞.

   Donc la limite vaut $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Quotient des termes dominants : si le degré du bas l'emporte, la limite est $0$0 ; si c'est le haut, elle est infinie.

Correction détaillée

1. 1

   En $x=3$x=3, numérateur et dénominateur s'annulent : forme indéterminée $\frac{0}{0}$0/0.

2. 2

   On factorise le numérateur : $x^2-9=(x-3)(x+3)$x²-9=(x-3)(x+3).

3. 3

   Donc $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$(x²-9)/(x-3)=((x-3)(x+3))/(x-3)=x+3 (pour $x\ne 3$x≠ 3).

4. 4

   Quand $x\to 3$x→ 3, $x+3\to 6$x+3→ 6.

Rappel de cours : Pour une forme $\frac{0}{0}$0/0, on factorise pour simplifier le facteur qui s'annule (ici $x-3$x-3).

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{e^x}{x^2}$e^(x)/x² : forme $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞.

   Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}=+\infty$lim_x→+inftye^(x)/x²=+∞.

2. 2

   $\frac{\ln (x)}{x}$ln(x)/x : par croissance comparée, $x$x l'emporte sur $\ln (x)$ln(x) : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0$lim_x→+∞ln(x)/x=0.

Rappel de cours : Croissances comparées : $\frac{e^x}{x^n}\to +\infty$e^(x)/xⁿ→+∞ et $\frac{\ln (x)}{x}\to 0$ln(x)/x→ 0 en $+\infty$+∞. « L'exponentielle l'emporte, le logarithme se fait dominer. »

Correction détaillée

1. 1

   Pour tout $x$x, $-1\le \cos x\le 1$-1≤ cos x≤ 1.

   En divisant par $x>0$x>0 : $-\frac{1}{x}\le \frac{\cos x}{x}\le \frac{1}{x}$-1/x≤ (cos x)/x≤ 1/x.

2. 2

   Or $-\frac{1}{x}\to 0$-1/x→ 0 et $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0 en $+\infty$+∞.

3. 3

   D'après le théorème des gendarmes (encadrement), $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\cos x}{x}=0$lim_x→ +∞(cos x)/x=0.

Rappel de cours : Théorème des gendarmes : si $u\le f\le v$u≤ f≤ v avec $u$u et $v$v de même limite $\ell$ℓ, alors $f\to \ell$f→ℓ. Utile dès qu'apparaît $\cos$cos ou $\sin$sin.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}$f(x)=(x²+1)/x=x²/x+1/x=x+1/x.

2. 2

   On étudie $f(x)-x=\frac{1}{x}$f(x)-x=1/x.

   En $+\infty$+∞, $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0.

3. 3

   Comme $f(x)-x\to 0$f(x)-x→ 0, la droite $y=x$y=x est asymptote oblique à la courbe en $+\infty$+∞.

Rappel de cours : La droite $y=ax+b$y=ax+b est asymptote oblique en $+\infty$+∞ si $f(x)-(ax+b)\to 0$f(x)-(ax+b)→ 0.

Correction détaillée

1. 1

   $e^x-x$e^(x)-x : forme $\infty -\infty$∞-∞.

   On factorise par $e^x$e^(x) : $e^x-x=e^x\left(1-\frac{x}{e^x}\right)$e^(x)-x = e^(x) (1-x/e^(x)).

2. 2

   Or $\frac{x}{e^x}\to 0$x/e^(x)→ 0 (croissance comparée), donc $1-\frac{x}{e^x}\to 1$1-x/e^(x)→ 1 et $e^x\to +\infty$e^(x)→+∞ : le produit tend vers $+\infty$+∞.

3. 3

   $\frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}$(e^(x)-1)/x=e^(x)/x-1/x.

   En $+\infty$+∞, $\frac{e^x}{x}\to +\infty$e^(x)/x→+∞ et $\frac{1}{x}\to 0$1/x→ 0, donc la limite vaut $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Face à une indétermination avec $e^x$e^(x), factoriser par $e^x$e^(x) et utiliser $\frac{x}{e^x}\to 0$x/e^(x)→ 0.

Correction détaillée

1. 1

   Forme indéterminée $\infty -\infty$∞-∞.

   On multiplie et divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+1}+x$√(x²+1)+x.

2. 2

   $\sqrt{x^2+1}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$√(x²+1)-x = ((√(x²+1)-x)(√(x²+1)+x))/(√(x²+1)+x) = ((x²+1)-x²)/(√(x²+1)+x) = 1/(√(x²+1)+x).

3. 3

   En $+\infty$+∞, le dénominateur tend vers $+\infty$+∞, donc le quotient tend vers $0$0.

Rappel de cours : Astuce de la quantité conjuguée : multiplier par $\frac{\sqrt{A}+B}{\sqrt{A}+B}$(√(A)+B)/(√(A)+B) pour faire disparaître la racine grâce à $(\sqrt{A}{)}^2=A$( √A )²=A.

Erreur fréquente : Conclure « $\sqrt{x^2+1}\approx x$√(x²+1)≈ x donc la différence vaut $0$0 » sans justification ne suffit pas au bac : la quantité conjuguée est la méthode rigoureuse attendue.

Correction détaillée

1. 1

   On factorise haut et bas par $x$x : $f(x)=\frac{x(3-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{2}{x})}=\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$f(x)=(x(3-1/x))/(x(1+2/x))=(3-1/x)/(1+2/x).

2. 2

   En $+\infty$+∞, $\frac{1}{x}\to 0$1/x→0 et $\frac{2}{x}\to 0$2/x→0, donc $f(x)\to \frac{3}{1}=3$f(x)→3/1=3.

3. 3

   La droite $y=3$y=3 est asymptote horizontale en $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Quotient de polynômes de même degré : la limite est le quotient des coefficients dominants.

Correction détaillée

1. 1

   Le numérateur est de degré $2$2, le dénominateur de degré $1$1 : le quotient se comporte comme $\frac{2x^2}{x}=2x$2x²/x=2x.

   En $+\infty$+∞, $f(x)\to +\infty$f(x)→+∞ ; en $-\infty$-∞, $f(x)\to -\infty$f(x)→-∞.

2. 2

   On réduit au même dénominateur : $2x-2+\frac{5}{x+1}=\frac{(2x-2)(x+1)+5}{x+1}=\frac{2x^2-2+5}{x+1}=\frac{2x^2+3}{x+1}=f(x)$2x-2+5/(x+1)=((2x-2)(x+1)+5)/(x+1)=(2x²-2+5)/(x+1)=(2x²+3)/(x+1)=f(x).

3. 3

   Quand $x\to -1$x→-1, $2x-2\to -4$2x-2→-4.

   Pour $x\to -1^{+}$x→-1⁺, $x+1\to 0^{+}$x+1→0⁺ donc $\frac{5}{x+1}\to +\infty$5/(x+1)→+∞ et $f(x)\to +\infty$f(x)→+∞ ; pour $x\to -1^{-}$x→-1⁻, $\frac{5}{x+1}\to -\infty$5/(x+1)→-∞ et $f(x)\to -\infty$f(x)→-∞.

   La droite $x=-1$x=-1 est asymptote verticale à $\mathcal{C}$C.

4. 4

   $f(x)-(2x-2)=\frac{5}{x+1}\to 0$f(x)-(2x-2)=5/(x+1)→0 quand $x\to +\infty$x→+∞ et $x\to -\infty$x→-∞.

   Donc $D:y=2x-2$D: y=2x-2 est asymptote oblique à $\mathcal{C}$C en $+\infty$+∞ et en $-\infty$-∞.

5. 5

   Le signe de $f(x)-(2x-2)=\frac{5}{x+1}$f(x)-(2x-2)=5/(x+1) est celui de $x+1$x+1 : pour $x>-1$x>-1, il est positif et $\mathcal{C}$C est au-dessus de $D$D ; pour $x<-1$x<-1, il est négatif et $\mathcal{C}$C est en dessous de $D$D.

Rappel de cours : Écrire un quotient sous la forme « partie affine $+$+ reste $\to 0$→0 » donne directement l'asymptote oblique et la position relative.

Erreur fréquente : Une asymptote oblique ne se déduit pas de $f(x)\to \pm \infty$f(x)→±∞ : il faut montrer que $f(x)-(ax+b)\to 0$f(x)-(ax+b)→0.