Exercices corrigés : Dérivation — Terminale spécialité

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1. 1

   $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=n xⁿ⁻¹, donc $f^{\prime }(x)=4x^3$f'(x)=4x³.

2. 2

   ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², donc $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$g'(x)=-1/x².

3. 3

   ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$(√(x))'=1/2√(x), donc $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$h'(x)=1/2√(x).

Rappel de cours : Formules de base : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

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1. 1

   On dérive terme à terme : $(3x^2{)}^{\prime }=6x$(3x²)'=6x, $(-5x{)}^{\prime }=-5$(-5x)'=-5, $(7{)}^{\prime }=0$(7)'=0.

2. 2

   Donc $f^{\prime }(x)=6x-5$f'(x)=6x-5.

Rappel de cours : La dérivée d'une somme est la somme des dérivées ; la dérivée d'une constante est nulle.

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1. 1

   Formule du produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=2x+1$u=2x+1 ($u^{\prime }=2$u'=2) et $v=x^2-3$v=x²-3 ($v^{\prime }=2x$v'=2x).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$f'(x)=2(x²-3)+(2x+1)(2x)=2x²-6+4x²+2x = 6x²+2x-6.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'. Pensez à bien développer et réduire à la fin.

Erreur fréquente : $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)'≠ u'v' : il y a deux termes, pas un seul. Oublier un terme est l'erreur la plus fréquente.

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1. 1

   Formule du quotient ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v² avec $u=x$u=x ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=x+1$v=x+1 ($v^{\prime }=1$v'=1).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{1\times (x+1)-x\times 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(1×(x+1)-x× 1)/((x+1)²)=(x+1-x)/((x+1)²)=1/((x+1)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v². L'ordre au numérateur compte : c'est $u^{\prime }v$u'v MOINS $u{v}^{\prime }$uv'.

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1. 1

   Fonction composée : formule ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ avec $u=3x-2$u=3x-2, $u^{\prime }=3$u'=3, $n=4$n=4.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x-2{)}^3=12(3x-2{)}^3$f'(x)=4× 3×(3x-2)³=12(3x-2)³.

Rappel de cours : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ : on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u^{\prime }$u' (« règle de la chaîne »).

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1. 1

   Formule de la tangente : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x$f'(x)=2x, donc $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2 et $f(1)=1$f(1)=1.

3. 3

   $y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1$y=2(x-1)+1 = 2x-2+1 = 2x-1.

Rappel de cours : Équation de la tangente en $a$a : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a). $f^{\prime }(a)$f'(a) est la pente, $f(a)$f(a) l'ordonnée du point de contact.

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1. 1

   ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u' e^(u).

   Pour $f$f, $u=x^2$u=x², $u^{\prime }=2x$u'=2x : $f^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$f'(x)=2x e^(x²).

2. 2

   ${\left(\ln (u)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln(u))'=u'/u.

   Pour $g$g, $u=x^2+1$u=x²+1, $u^{\prime }=2x$u'=2x : $g^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$g'(x)=2x/(x²+1).

Rappel de cours : Composées usuelles : ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u'e^(u) et ${\left(\ln (u)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln(u))'=u'/u.

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1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$f'(x)=3x²-12=3(x²-4)=3(x-2)(x+2).

2. 2

   $f^{\prime }$f' s'annule en $-2$-2 et $2$2.

   C'est un trinôme de coefficient $3>0$3>0 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre.

3. 3

   $f$f est croissante sur $]-\infty ;-2]$]-∞;-2], décroissante sur $[-2;2]$[-2;2], croissante sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

   Maximum local $f(-2)=-8+24=16$f(-2)=-8+24=16, minimum local $f(2)=8-24=-16$f(2)=8-24=-16.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' donne les variations : $f^{\prime }>0$f'>0 (croissante), $f^{\prime }<0$f'<0 (décroissante). On factorise $f^{\prime }$f' pour lire son signe.

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1. 1

   Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur.

   La droite a pour pente $2$2.

2. 2

   On cherche $x$x tel que $f^{\prime }(x)=2$f'(x)=2.

   Or $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x)=2x-4, donc $2x-4=2$2x-4=2, soit $x=3$x=3.

3. 3

   Le point a pour ordonnée $f(3)=9-12=-3$f(3)=9-12=-3.

   La tangente est parallèle à $y=2x+5$y=2x+5 au point $(3;-3)$(3 ;-3).

Rappel de cours : Tangente parallèle à une droite de pente $m$m : résoudre $f^{\prime }(x)=m$f'(x)=m.

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1. 1

   Une tangente est horizontale lorsque sa pente est nulle, c'est-à-dire $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$f'(x)=3x²-6x=3x(x-2).

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$f'(x)=0 ⇔ x=0 ou $x=2$x=2.

3. 3

   Ordonnées : $f(0)=1$f(0)=1 et $f(2)=8-12+1=-3$f(2)=8-12+1=-3.

   Les tangentes horizontales sont aux points $(0;1)$(0 ;1) et $(2;-3)$(2 ;-3).

Rappel de cours : Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(x)=0$⇔ f'(x)=0. Ce sont souvent les abscisses des extremums locaux.

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1. 1

   Produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=x^2-2x$u=x²-2x ($u^{\prime }=2x-2$u'=2x-2) et $v=e^x$v=e^(x) ($v^{\prime }=e^x$v'=e^(x)).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=[(2x-2)+(x^2-2x)]e^x=(x^2-2)e^x$f'(x)=(2x-2)e^(x)+(x²-2x)e^(x)=[(2x-2)+(x²-2x)]e^(x)=(x²-2)e^(x).

3. 3

   $e^x>0$e^(x)>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x^2-2$x²-2, qui s'annule en $\pm \sqrt{2}$±√(2) : positif à l'extérieur, négatif entre.

4. 4

   $f$f est croissante sur $]-\infty ;-\sqrt{2}]$]-∞;-sqrt2], décroissante sur $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$[-sqrt2;sqrt2], croissante sur $[\sqrt{2};+\infty [$[sqrt2;+∞[.

Rappel de cours : On factorise $e^x$e^(x) (toujours $>0$>0) : le signe de $f^{\prime }$f' se ramène à celui du polynôme restant.

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1. 1

   Quotient avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=x$v=x ($v^{\prime }=1$v'=1) : $f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$f'(x)=(2x· x-(x²+1)· 1)/x²=(2x²-x²-1)/x²=(x²-1)/x².

2. 2

   $x^2>0$x²>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x^2-1$x²-1.

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $x^2-1<0$x²-1<0 si $x<1$x<1, $>0$>0 si $x>1$x>1.

3. 3

   $f$f décroît sur $]0;1]$]0;1], croît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[ : minimum en $x=1$x=1, $f(1)=\frac{1+1}{1}=2$f(1)=(1+1)/1=2.

Rappel de cours : Après calcul du quotient, on simplifie le numérateur ; son signe (ici $x^2-1$x²-1) donne les variations.

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1. 1

   La tangente au point d'abscisse $a$a a pour équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$y=f'(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a²=2a x-a².

2. 2

   Elle passe par $A(0;-1)$A(0;-1) si $-1=2a\times 0-a^2$-1 = 2a× 0 - a², soit $-1=-a^2$-1=-a², donc $a^2=1$a²=1 et $a=\pm 1$a=± 1.

3. 3

   Pour $a=1$a=1 : $y=2x-1$y=2x-1.

   Pour $a=-1$a=-1 : $y=-2x-1$y=-2x-1.

   Il y a deux tangentes.

Rappel de cours : On écrit la tangente en un point inconnu $a$a, puis on impose qu'elle passe par le point donné : cela fournit une équation en $a$a.

Erreur fréquente : $A(0;-1)$A(0;-1) n'est pas sur la courbe ($f(0)=0\ne -1$f(0)=0≠ -1) : le point de contact $a$a est à trouver, ce n'est pas $x=0$x=0.

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1. 1

   Produit avec $u=x$u=x ($u^{\prime }=1$u'=1), $v=e^{-x}$v=e^(-x) ($v^{\prime }=-e^{-x}$v'=-e^(-x)) : $f^{\prime }(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$f'(x)=e^(-x)+x(-e^(-x))=(1-x)e^(-x).

2. 2

   $e^{-x}>0$e^(-x)>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $1-x$1-x : $f$f croît sur $]-\infty ;1]$]-∞;1], décroît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

3. 3

   Maximum en $x=1$x=1 : $f(1)=1\times e^{-1}=\frac{1}{e}$f(1)=1× e⁻¹=1/e.

Rappel de cours : $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$(e^(-x))'=-e^(-x). On factorise $e^{-x}>0$e^(-x)>0 pour lire le signe de $f^{\prime }$f'.

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1. 1

   $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$f'(x)=1/x, donc $f^{\prime }(1)=1$f'(1)=1 et $f(1)=0$f(1)=0.

   Tangente : $y=1\times (x-1)+0=x-1$y=1×(x-1)+0=x-1.

2. 2

   La fonction $\ln$ln est concave : sa courbe est sous ses tangentes.

   Donc $\ln (x)\le x-1$ln(x)≤ x-1 pour tout $x>0$x>0.

Rappel de cours : $\ln$ln concave $\Rightarrow$⇒ courbe en dessous de ses tangentes.

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1. 1

   En $+\infty$+∞ : $f(x)=x^2{e}^{-x}+x{e}^{-x}+e^{-x}\to 0$f(x)=x²e^(-x)+xe^(-x)+e^(-x)→0 par croissances comparées.

   En $-\infty$-∞ : $e^{-x}\to +\infty$e^(-x)→+∞ et $x^2+x+1>0$x²+x+1>0 (discriminant $1-4<0$1-4<0), donc $f(x)\to +\infty$f(x)→+∞.

2. 2

   Avec $u=x^2+x+1$u=x²+x+1 ($u^{\prime }=2x+1$u'=2x+1) et $v=e^{-x}$v=e^(-x) ($v^{\prime }=-e^{-x}$v'=-e^(-x)) : $f^{\prime }(x)=(2x+1)e^{-x}-(x^2+x+1)e^{-x}=e^{-x}[(2x+1)-(x^2+x+1)]=(-x^2+x)e^{-x}$f'(x)=(2x+1)e^(-x)-(x²+x+1)e^(-x)=e^(-x)[(2x+1)-(x²+x+1)]=(-x²+x)e^(-x).

3. 3

   $e^{-x}>0$e^(-x)>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $-x^2+x=-x(x-1)$-x²+x=-x(x-1) : négatif sur $]-\infty ;0[$]-∞;0[, positif sur $]0;1[$]0;1[, négatif sur $]1;+\infty [$]1;+∞[.

   Ainsi $f$f décroît sur $]-\infty ;0]$]-∞;0], croît sur $[0;1]$[0;1], décroît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

   Minimum local $f(0)=1$f(0)=1, maximum local $f(1)=\frac{3}{e}\approx 1,10$f(1)=3/e≈1,10.

4. 4

   $f(0)=1$f(0)=1 et $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0, donc $T:y=f^{\prime }(0)x+f(0)=1$T: y=f'(0)x+f(0)=1 : la tangente en $0$0 est horizontale, d'équation $y=1$y=1.

5. 5

   Sur $]-\infty ;0]$]-∞;0], $f$f décroît de $+\infty$+∞ à $f(0)=1$f(0)=1 : $f(x)=1$f(x)=1 n'y a que la solution $x=0$x=0.

   Sur $[0;1]$[0;1], $f$f croît de $1$1 à $\frac{3}{e}>1$3/e>1 : pas d'autre solution.

   Sur $[1;+\infty [$[1;+∞[, $f$f est continue et strictement décroissante de $\frac{3}{e}\approx 1,10$3/e≈1,10 à $0$0 ; comme $1\in ]0;\frac{3}{e}[$1∈ ]0;3/e[, le TVI donne une unique solution $\alpha \in ]1;+\infty [$α∈ ]1;+∞[ (avec $\alpha \approx 1,8$α≈1,8).

   Au total, $f(x)=1$f(x)=1 admet exactement deux solutions.

Rappel de cours : Factoriser $e^{-x}>0$e^(-x)>0 pour le signe de $f^{\prime }$f' ; pour compter les solutions, découper en intervalles de monotonie et appliquer le TVI sur chacun.