Exercices corrigés : Dérivation et convexité — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=n xⁿ⁻¹, donc $f^{\prime }(x)=4x^3$f'(x)=4x³.

2. 2

   ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², donc $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$g'(x)=-1/x².

3. 3

   ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$(√(x))'=1/2√(x), donc $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$h'(x)=1/2√(x).

Rappel de cours : Formules de base : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

Correction détaillée

1. 1

   On dérive terme à terme : $(3x^2{)}^{\prime }=6x$(3x²)'=6x, $(-5x{)}^{\prime }=-5$(-5x)'=-5, $(7{)}^{\prime }=0$(7)'=0.

2. 2

   Donc $f^{\prime }(x)=6x-5$f'(x)=6x-5.

Rappel de cours : La dérivée d'une somme est la somme des dérivées ; la dérivée d'une constante est nulle.

Correction détaillée

1. 1

   $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u'e^(u) avec $u=3x-1$u=3x-1, $u^{\prime }=3$u'=3 : $f^{\prime }(x)=3e^{3x-1}$f'(x)=3e^(3x-1).

2. 2

   $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)'=u'/u avec $u=2x+5>0$u=2x+5>0, $u^{\prime }=2$u'=2 : $g^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+5}$g'(x)=2/(2x+5).

Rappel de cours : $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u'e^(u) et $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)'=u'/u (avec $u>0$u>0).

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-4x$f'(x)=3x²-4x (dérivée terme à terme).

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)$f''(x) est la dérivée de $f^{\prime }$f' : $f^{\prime \prime }(x)=6x-4$f''(x)=6x-4.

Rappel de cours : La dérivée seconde $f^{\prime \prime }$f'' est la dérivée de la dérivée $f^{\prime }$f' : on dérive deux fois de suite.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x$f'(x)=2x puis $f^{\prime \prime }(x)=2$f''(x)=2.

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)=2>0$f''(x)=2>0 pour tout $x$x : la fonction est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : $f^{\prime \prime }\ge 0$f''≥ 0 sur un intervalle $\Rightarrow$⇒ $f$f convexe ; $f^{\prime \prime }\le 0$f''≤ 0 $\Rightarrow$⇒ $f$f concave.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$f''(x)=e^(x)>0 : $\exp$exp est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

2. 2

   Pour $g$g, $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$g'(x)=1/x puis $g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$g''(x)=-1/x²<0 : $\ln$ln est concave sur $]0;+\infty [$]0;+∞[.

Rappel de cours : À retenir : l'exponentielle est convexe, le logarithme est concave. $x\mapsto x^2$x↦ x² est convexe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=4x^3$f'(x)=4x³ et $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$f''(x)=12x²≥ 0 pour tout $x$x : $f$f est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

2. 2

   $f^{\prime \prime }(0)=0$f''(0)=0, mais $f^{\prime \prime }$f'' ne change pas de signe en $0$0 (positive des deux côtés) : il n'y a pas de point d'inflexion.

Rappel de cours : Point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$f'' s'annule en changeant de signe. L'annulation seule ne suffit pas.

Correction détaillée

1. 1

   Formule du produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=2x+1$u=2x+1 ($u^{\prime }=2$u'=2) et $v=x^2-3$v=x²-3 ($v^{\prime }=2x$v'=2x).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$f'(x)=2(x²-3)+(2x+1)(2x)=2x²-6+4x²+2x = 6x²+2x-6.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'. Pensez à bien développer et réduire à la fin.

Erreur fréquente : $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)'≠ u'v' : il y a deux termes, pas un seul. Oublier un terme est l'erreur la plus fréquente.

Correction détaillée

1. 1

   Formule du quotient ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v² avec $u=x$u=x ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=x+1$v=x+1 ($v^{\prime }=1$v'=1).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{1\times (x+1)-x\times 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(1×(x+1)-x× 1)/((x+1)²)=(x+1-x)/((x+1)²)=1/((x+1)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v². L'ordre au numérateur compte : c'est $u^{\prime }v$u'v MOINS $u{v}^{\prime }$uv'.

Correction détaillée

1. 1

   Fonction composée : formule ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ avec $u=3x-2$u=3x-2, $u^{\prime }=3$u'=3, $n=4$n=4.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x-2{)}^3=12(3x-2{)}^3$f'(x)=4× 3×(3x-2)³=12(3x-2)³.

Rappel de cours : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ : on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u^{\prime }$u' (« règle de la chaîne »).

Correction détaillée

1. 1

   Formule de la tangente : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x$f'(x)=2x, donc $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2 et $f(1)=1$f(1)=1.

3. 3

   $y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1$y=2(x-1)+1 = 2x-2+1 = 2x-1.

Rappel de cours : Équation de la tangente en $a$a : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a). $f^{\prime }(a)$f'(a) est la pente, $f(a)$f(a) l'ordonnée du point de contact.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1>0$x²+4x+5=(x+2)²+1>0 : $f$f est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ℝ.

2. 2

   $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$( √u )'=u'/(2 √u ) avec $u^{\prime }=2x+4$u'=2x+4 : $f^{\prime }(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}$f'(x)=(2x+4)/(2√(x²+4x+5))=(x+2)/(√(x²+4x+5)).

Rappel de cours : $\sqrt{u}$√u est dérivable là où $u>0$u>0.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2$f'(x)=3x² puis $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x.

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)=6x>0⟺x>0$f''(x)=6x>0 ⇔ x>0 et $f^{\prime \prime }(x)<0⟺x<0$f''(x)<0 ⇔ x<0.

3. 3

   Donc $f$f est concave sur $]-\infty ;0]$]-∞;0] et convexe sur $[0;+\infty [$[0;+∞[.

Rappel de cours : On étudie le signe de $f^{\prime \prime }$f'' : il indique les zones de convexité (signe $+$+) et de concavité (signe $-$-).

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3$f'(x)=3x²-3 puis $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x.

2. 2

   $f^{\prime \prime }$f'' s'annule en $0$0 et change de signe (négatif avant, positif après).

3. 3

   La convexité change donc en $0$0 : la courbe présente un point d'inflexion d'abscisse $0$0.

   Son ordonnée est $f(0)=0$f(0)=0, point $(0;0)$(0 ;0).

Rappel de cours : Point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$f'' s'annule ET change de signe. C'est là que la courbe passe de convexe à concave (ou inversement).

Erreur fréquente : $f^{\prime \prime }(a)=0$f''(a)=0 ne suffit pas : il faut un changement de signe. Sinon il n'y a pas d'inflexion.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=-4x+3$f'(x)=-4x+3 puis $f^{\prime \prime }(x)=-4$f''(x)=-4.

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)=-4<0$f''(x)=-4<0 pour tout $x$x : $f$f est concave sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Une parabole $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c est convexe si $a>0$a>0, concave si $a<0$a<0 : on retrouve le signe de $f^{\prime \prime }=2a$f''=2a.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est convexe sur un intervalle si et seulement si $f^{\prime }$f' y est croissante, concave si $f^{\prime }$f' y est décroissante.

2. 2

   Donc $f$f est concave sur $]-\infty ;0]$]-∞ ;0] et convexe sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[.

3. 3

   La convexité change en $0$0 : le point d'abscisse $0$0 est un point d'inflexion (la courbe traverse sa tangente).

Rappel de cours : Convexe $⟺f^{\prime }$⇔ f' croissante $⟺f^{\prime \prime }\ge 0$⇔ f''≥ 0 (si $f^{\prime \prime }$f'' existe).

Correction détaillée

1. 1

   ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u' e^(u).

   Pour $f$f, $u=x^2$u=x², $u^{\prime }=2x$u'=2x : $f^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$f'(x)=2x e^(x²).

2. 2

   ${\left(\ln (u)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln(u))'=u'/u.

   Pour $g$g, $u=x^2+1$u=x²+1, $u^{\prime }=2x$u'=2x : $g^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$g'(x)=2x/(x²+1).

Rappel de cours : Composées usuelles : ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))'=u'e^(u) et ${\left(\ln (u)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln(u))'=u'/u.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$f'(x)=3x²-12=3(x²-4)=3(x-2)(x+2).

2. 2

   $f^{\prime }$f' s'annule en $-2$-2 et $2$2.

   C'est un trinôme de coefficient $3>0$3>0 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre.

3. 3

   $f$f est croissante sur $]-\infty ;-2]$]-∞;-2], décroissante sur $[-2;2]$[-2;2], croissante sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

   Maximum local $f(-2)=-8+24=16$f(-2)=-8+24=16, minimum local $f(2)=8-24=-16$f(2)=8-24=-16.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' donne les variations : $f^{\prime }>0$f'>0 (croissante), $f^{\prime }<0$f'<0 (décroissante). On factorise $f^{\prime }$f' pour lire son signe.

Correction détaillée

1. 1

   Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur.

   La droite a pour pente $2$2.

2. 2

   On cherche $x$x tel que $f^{\prime }(x)=2$f'(x)=2.

   Or $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x)=2x-4, donc $2x-4=2$2x-4=2, soit $x=3$x=3.

3. 3

   Le point a pour ordonnée $f(3)=9-12=-3$f(3)=9-12=-3.

   La tangente est parallèle à $y=2x+5$y=2x+5 au point $(3;-3)$(3 ;-3).

Rappel de cours : Tangente parallèle à une droite de pente $m$m : résoudre $f^{\prime }(x)=m$f'(x)=m.

Correction détaillée

1. 1

   Une tangente est horizontale lorsque sa pente est nulle, c'est-à-dire $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$f'(x)=3x²-6x=3x(x-2).

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$f'(x)=0 ⇔ x=0 ou $x=2$x=2.

3. 3

   Ordonnées : $f(0)=1$f(0)=1 et $f(2)=8-12+1=-3$f(2)=8-12+1=-3.

   Les tangentes horizontales sont aux points $(0;1)$(0 ;1) et $(2;-3)$(2 ;-3).

Rappel de cours : Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(x)=0$⇔ f'(x)=0. Ce sont souvent les abscisses des extremums locaux.

Correction détaillée

1. 1

   $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u'uⁿ⁻¹ avec $u=\ln x$u=ln x, $u^{\prime }=\frac{1}{x}$u'=1/x : $f^{\prime }(x)=3\times \frac{1}{x}\times (\ln x{)}^2=\frac{3(\ln x{)}^2}{x}$f'(x)=3×1/x×(ln x)²=(3(ln x)²)/x.

2. 2

   $(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$(cos u)'=-u'sin u avec $u^{\prime }=2$u'=2 : $g^{\prime }(x)=-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$g'(x)=-2sin(2x+π/3).

Rappel de cours : Dérivée d'une composée : $(g\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times (g^{\prime }\circ u)$(g∘ u)'=u'×(g'∘ u).

Erreur fréquente : $(\ln x{)}^3\ne \ln (x^3)=3\ln x$(ln x)³≠ln(x³)=3ln x : la puissance porte sur le logarithme entier.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$f'(x)=4x³-12x puis $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$f''(x)=12x²-12=12(x²-1)=12(x-1)(x+1).

2. 2

   $f^{\prime \prime }$f'' est un trinôme de coefficient $12>0$12>0 : positif à l'extérieur des racines $-1$-1 et $1$1, négatif entre.

3. 3

   $f$f est convexe sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] et $[1;+\infty [$[1;+∞[, concave sur $[-1;1]$[-1;1].

   Inflexions en $x=-1$x=-1 et $x=1$x=1.

Rappel de cours : On factorise $f^{\prime \prime }$f'' pour lire son signe, exactement comme pour étudier le signe de $f^{\prime }$f' dans les variations.

Correction détaillée

1. 1

   Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes.

2. 2

   Vérifions avec la tangente en $0$0 : $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0 et $f(0)=0$f(0)=0, tangente $y=0$y=0.

   On a bien $x^2\ge 0$x²≥ 0 : la courbe est au-dessus.

3. 3

   Conclusion : la courbe de $f$f est au-dessus de toutes ses tangentes (propriété générale des fonctions convexes).

Rappel de cours : Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes. Concave : courbe en dessous. Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$f'(x)=-2x e^(-x²) (dérivée de $e^u$e^(u) avec $u=-x^2$u=-x²).

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)=[(-2)+(-2x)(-2x)]e^{-x^2}=(-2+4x^2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}$f''(x)=[(-2)+(-2x)(-2x)]e^(-x²)=(-2+4x²)e^(-x²)=2(2x²-1)e^(-x²).

3. 3

   $e^{-x^2}>0$e^(-x²)>0, donc $f^{\prime \prime }$f'' a le signe de $2x^2-1$2x²-1, qui s'annule en $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$x=±1/( √2 ) en changeant de signe.

4. 4

   Points d'inflexion aux abscisses $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$x=-1/( √2 ) et $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$x=1/( √2 ).

Rappel de cours : Pour dériver $f^{\prime }=u\cdot e^w$f'=u· e^(w) (produit), $f^{\prime \prime }=(u^{\prime }+u{w}^{\prime })e^w$f''=(u'+u w')e^(w). Ici l'exponentielle $>0$>0 sort du signe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime \prime }>0$f''>0 avant $2$2 : la fonction est convexe sur $]-\infty ;2[$]-∞;2[.

2. 2

   $f^{\prime \prime }<0$f''<0 après $2$2 : la fonction est concave sur $]2;+\infty [$]2;+∞[.

3. 3

   $f^{\prime \prime }$f'' change de signe en $2$2 : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $2$2.

Rappel de cours : On peut lire la convexité directement sur le signe de $f^{\prime \prime }$f'', ou sur l'allure de la courbe (cuvette = convexe, dôme = concave).

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$f'(x)=2x/(x²+1).

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$f''(x)=(2(x²+1)-2x× 2x)/((x²+1)²)=(2-2x²)/((x²+1)²)=(2(1-x²))/((x²+1)²).

3. 3

   Le signe est celui de $1-x^2$1-x² : positif sur $[-1;1]$[-1 ;1], négatif ailleurs.

4. 4

   $f$f est convexe sur $[-1;1]$[-1 ;1], concave sur $]-\infty ;-1]$]-∞ ;-1] et sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[.

   Points d'inflexion en $x=\pm 1$x=± 1, d'ordonnée $\ln 2$ln 2.

Rappel de cours : Pour étudier la convexité, on calcule $f^{\prime \prime }$f'' puis on étudie son signe.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=x^2-2x$u=x²-2x ($u^{\prime }=2x-2$u'=2x-2) et $v=e^x$v=e^(x) ($v^{\prime }=e^x$v'=e^(x)).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=[(2x-2)+(x^2-2x)]e^x=(x^2-2)e^x$f'(x)=(2x-2)e^(x)+(x²-2x)e^(x)=[(2x-2)+(x²-2x)]e^(x)=(x²-2)e^(x).

3. 3

   $e^x>0$e^(x)>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x^2-2$x²-2, qui s'annule en $\pm \sqrt{2}$±√(2) : positif à l'extérieur, négatif entre.

4. 4

   $f$f est croissante sur $]-\infty ;-\sqrt{2}]$]-∞;-sqrt2], décroissante sur $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$[-sqrt2;sqrt2], croissante sur $[\sqrt{2};+\infty [$[sqrt2;+∞[.

Rappel de cours : On factorise $e^x$e^(x) (toujours $>0$>0) : le signe de $f^{\prime }$f' se ramène à celui du polynôme restant.

Correction détaillée

1. 1

   Quotient avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=x$v=x ($v^{\prime }=1$v'=1) : $f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$f'(x)=(2x· x-(x²+1)· 1)/x²=(2x²-x²-1)/x²=(x²-1)/x².

2. 2

   $x^2>0$x²>0, donc $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x^2-1$x²-1.

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $x^2-1<0$x²-1<0 si $x<1$x<1, $>0$>0 si $x>1$x>1.

3. 3

   $f$f décroît sur $]0;1]$]0;1], croît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[ : minimum en $x=1$x=1, $f(1)=\frac{1+1}{1}=2$f(1)=(1+1)/1=2.

Rappel de cours : Après calcul du quotient, on simplifie le numérateur ; son signe (ici $x^2-1$x²-1) donne les variations.

Correction détaillée

1. 1

   La tangente au point d'abscisse $a$a a pour équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$y=f'(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a²=2a x-a².

2. 2

   Elle passe par $A(0;-1)$A(0;-1) si $-1=2a\times 0-a^2$-1 = 2a× 0 - a², soit $-1=-a^2$-1=-a², donc $a^2=1$a²=1 et $a=\pm 1$a=± 1.

3. 3

   Pour $a=1$a=1 : $y=2x-1$y=2x-1.

   Pour $a=-1$a=-1 : $y=-2x-1$y=-2x-1.

   Il y a deux tangentes.