Exercices corrigés : Automatismes — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Une proportion est un quotient : $\frac{\text{partie}}{\text{total}}$partie/total.

2. 2

   $\frac{1560}{2400}=0,65$(1 560)/(2 400) = 0,65, soit $65\%$65% de la production exportée.

3. 3

   Pour $70\%$70% de $2400$2 400 : $0,70\times 2400=1680$0,70 × 2 400 = 1 680 pièces.

4. 4

   Contrôle : l'écart est de $1680-1560=120$1 680 - 1 560 = 120 pièces, ce qui correspond bien aux $5$5 points de pourcentage gagnés ($0,05\times 2400=120$0,05 × 2 400 = 120) ✔.

5. 5

   Vocabulaire à ne pas confondre : passer de $65\%$65% à $70\%$70%, c'est $+5$+5 POINTS de pourcentage, mais une hausse de $\frac{120}{1560}\approx 7,7\%$120/(1 560) ≈ 7,7% du nombre de pièces exportées.

Rappel de cours : Proportion $=\frac{\text{partie}}{\text{total}}$= partie/total · prendre $t\%$t% d'un total, c'est multiplier par $\frac{t}{100}$t/100.

Erreur fréquente : Confondre « $+5$+5 points » et « $+5\%$+5% » : une hausse de $5\%$5% des exportations donnerait $1638$1 638 pièces, pas $1680$1 680.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100, avec $t$t négatif pour une baisse.

2. 2

   $+3,5\%$+3,5% : $CM=1,035$CM = 1,035.

3. 3

   $-12\%$-12% : $CM=0,88$CM = 0,88.

4. 4

   $+100\%$+100% : $CM=1+1=2$CM = 1 + 1 = 2 — le coût DOUBLE.

5. 5

   Réciproquement, $t=(CM-1)\times 100$t = (CM - 1)× 100.

   Pour $CM=0,96$CM = 0,96 : $t=-4$t = -4, soit une BAISSE de $4\%$4%.

6. 6

   Repère utile : un $CM$CM supérieur à $1$1 signale une hausse, inférieur à $1$1 une baisse, et $CM=1$CM = 1 l'absence d'évolution.

Rappel de cours : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100 et $t=(CM-1)\times 100$t = (CM - 1)× 100. Ces deux formules s'utilisent dans les deux sens sans réfléchir.

Erreur fréquente : Traduire $+100\%$+100% par $CM=1$CM = 1 : ce serait « aucune évolution ». Doubler, c'est $CM=2$CM = 2.

Correction détaillée

1. 1

   $A=(3x{)}^2-2\times 3x\times 2+2^2=9x^2-12x+4$A = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² - 12x + 4.

2. 2

   $B$B est de la forme $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b) = a² - b² avec $a=2x$a = 2x et $b=5$b = 5 : $B=4x^2-25$B = 4x² - 25.

3. 3

   $C=4x^2-12x$C = 4x² - 12x : le facteur commun est $4x$4x, donc $C=4x(x-3)$C = 4x(x - 3).

4. 4

   $C=0$C = 0 équivaut à $4x=0$4x = 0 ou $x-3=0$x - 3 = 0, soit $x=0$x = 0 ou $x=3$x = 3.

5. 5

   Contrôle en $x=1$x = 1 : $A=9-12+4=1$A = 9 - 12 + 4 = 1 et $(3-2{)}^2=1$(3 - 2)² = 1 ✔ ; $C=4-12=-8$C = 4 - 12 = -8 et $4\times 1\times (-2)=-8$4 × 1 × (-2) = -8 ✔.

Rappel de cours : $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$(a-b)² = a² - 2ab + b² · $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a-b) = a² - b² · équation produit : chaque facteur peut être nul.

Erreur fréquente : Simplifier $C=0$C = 0 « en divisant par $x$x » : on perd la solution $x=0$x = 0.

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1. 1

   $512\times 10^9=5,12\times 10^2\times 10^9=5,12\times 10^{11}$512 × 10⁹ = 5,12 × 10² × 10⁹ = 5,12 × 10¹¹ octets.

2. 2

   Nombre de fichiers : $\frac{5,12\times 10^{11}}{3,2\times 10^6}=\frac{5,12}{3,2}\times 10^{11-6}$(5,12× 10¹¹)/(3,2× 10⁶) = 5,12/3,2× 10¹¹⁻⁶.

3. 3

   $\frac{5,12}{3,2}=1,6$5,12/3,2 = 1,6, donc le quotient vaut $1,6\times 10^5=160000$1,6 × 10⁵ = 160 000 fichiers.

4. 4

   Ordre de grandeur : environ $10^5$10⁵, c'est-à-dire une centaine de milliers de fichiers.

5. 5

   Contrôle mental : $3,2$3,2 Mo, c'est environ $3\times 10^{-3}$3× 10⁻³ Go ; $\frac{512}{0,003}\approx 170000$512/0,003 ≈ 170 000 ✔ cohérent.

Rappel de cours : $\frac{10^p}{10^q}=10^{p-q}$10^(p)/10^(q) = 10^(p-q). On sépare toujours les mantisses et les puissances de $10$10.

Erreur fréquente : Diviser les exposants ($11÷6$11 ÷ 6) au lieu de les soustraire.

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1. 1

   Pour $q=4$q = 4 : on monte depuis $4$4 sur l'axe des abscisses jusqu'à la courbe, on lit $B=9$B = 9 milliers d'euros.

2. 2

   Le bénéfice est positif lorsque la courbe est AU-DESSUS de l'axe des abscisses : on lit cela entre $q=1$q = 1 et $q=7$q = 7.

3. 3

   Donc $B(q)>0$B(q) > 0 pour $1<q<7$1 < q < 7, c'est-à-dire entre $100$100 et $700$700 unités.

4. 4

   Le point le plus haut de la courbe est atteint en $q=4$q = 4, à la hauteur $9$9 : le bénéfice maximal vaut $9$9 milliers d'euros pour $400$400 unités produites.

5. 5

   Contrôle de cohérence : le sommet $(4;9)$(4 ; 9) est au milieu des deux racines $1$1 et $7$7, puisque $\frac{1+7}{2}=4$(1+7)/2 = 4 ✔ — la courbe est bien symétrique, comme une parabole.

6. 6

   Les deux seuils $q=1$q = 1 et $q=7$q = 7 sont les seuils de rentabilité : en dessous et au-delà, l'atelier perd de l'argent.

Rappel de cours : Signe d'une fonction sur un graphique : positif là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, négatif en dessous.

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1. 1

   Les coefficients se MULTIPLIENT : $CM=1,15\times 1,08\times 0,90$CM = 1,15 × 1,08 × 0,90.

2. 2

   $1,15\times 1,08=1,242$1,15 × 1,08 = 1,242, puis $1,242\times 0,90=1,1178$1,242 × 0,90 = 1,117 8.

3. 3

   Taux global : $t=(1,1178-1)\times 100=11,78$t = (1,117 8 - 1)× 100 = 11,78, soit environ $+11,8\%$+11,8%.

4. 4

   Prix fin 2026 : $24\times 1,1178=26,8272$24 × 1,117 8 = 26,827 2, soit environ $26,83$26,83 €.

5. 5

   Contrôle étape par étape : $24\to 27,60$24 → 27,60 $\to 29,808$→ 29,808 $\to 26,827$→ 26,827 ✔.

6. 6

   À noter : la somme des taux donnerait $15+8-10=13\%$15 + 8 - 10 = 13%, au lieu des $11,8\%$11,8% réels.

   L'écart vient de ce que chaque pourcentage porte sur une base différente.

Rappel de cours : Évolutions successives : on multiplie les coefficients, JAMAIS on n'additionne les taux.

Erreur fréquente : Arrondir les coefficients intermédiaires : le calcul doit être mené d'un bloc, sinon l'erreur s'accumule.

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1. 1

   La baisse de $35\%$35% correspond à $CM=0,65$CM = 0,65.

2. 2

   Pour revenir en arrière, il faut le coefficient RÉCIPROQUE : $\frac{1}{0,65}\approx 1,5385$1/0,65 ≈ 1,538 5.

3. 3

   Taux correspondant : $t=(1,5385-1)\times 100\approx 53,8\%$t = (1,538 5 - 1)× 100 ≈ 53,8%.

4. 4

   Non, une hausse de $35\%$35% ne suffirait pas : $0,65\times 1,35=0,8775$0,65 × 1,35 = 0,877 5, ce qui laisse encore $12,25\%$12,25% en dessous de la valeur initiale.

5. 5

   Explication de l'asymétrie : les $35\%$35% de baisse sont pris sur la valeur initiale, alors que la hausse s'applique à une base plus petite ($65\%$65% de l'initiale).

   Il faut donc un pourcentage plus grand.

6. 6

   Contrôle sur un exemple : $100\to 65$100 → 65 ($-35\%$-35%) $\to 65\times 1,5385\approx 100$→ 65 × 1,538 5 ≈ 100 ✔.

Rappel de cours : Coefficient réciproque : $\frac{1}{CM}$1/CM. Une baisse de $t\%$t% ne se compense jamais par une hausse de $t\%$t%.

Erreur fréquente : Répondre $+35\%$+35% par symétrie apparente : l'erreur classique, qui laisse un écart de plus de $12$12 points.

Correction détaillée

1. 1

   Un indice base $100$100 se lit directement : $112$112 signifie $+12\%$+12% par rapport à l'année de référence 2023.

2. 2

   Entre 2024 et 2025, on ne peut PAS soustraire les indices.

   On calcule le coefficient : $\frac{103,5}{112}\approx 0,9241$103,5/112 ≈ 0,924 1.

3. 3

   Taux : $(0,9241-1)\times 100\approx -7,6\%$(0,924 1 - 1)× 100 ≈ -7,6% : la production a baissé de $7,6\%$7,6% entre 2024 et 2025.

4. 4

   Production de 2025 : l'indice $103,5$103,5 correspond à $+3,5\%$+3,5% par rapport à 2023, donc $5000\times 1,035=5175$5 000 × 1,035 = 5 175 unités.

5. 5

   Contrôle : production 2024 $=5000\times 1,12=5600$= 5 000× 1,12 = 5 600, puis $5600\times 0,9241\approx 5175$5 600 × 0,924 1 ≈ 5 175 ✔.

6. 6

   À retenir : un indice se compare toujours à la BASE.

   Pour passer d'une année à une autre, on fait le quotient des indices.

Rappel de cours : Indice base $100$100 : $I=100\times \frac{\text{valeur}}{\text{valeur de reˊfeˊrence}}$I = 100 × valeur/(valeur de référence). Entre deux années, on divise les indices.

Erreur fréquente : Écrire $103,5-112=-8,5\%$103,5 - 112 = -8,5% : une différence d'indices donne des POINTS d'indice, pas un pourcentage d'évolution.

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1. 1

   Recette : $R(q)=30q$R(q) = 30q.

   Bénéfice : $B(q)=30q-(18q+2400)=12q-2400$B(q) = 30q - (18q + 2 400) = 12q - 2 400.

2. 2

   Seuil de rentabilité : $B(q)=0$B(q) = 0 donne $12q=2400$12q = 2 400, soit $q=200$q = 200 pièces.

3. 3

   Pour $B(q)\ge 3000$B(q) ≥ 3 000 : $12q-2400\ge 3000$12q - 2 400 ≥ 3 000, donc $12q\ge 5400$12q ≥ 5 400 et $q\ge 450$q ≥ 450.

4. 4

   Il faut produire au moins $450$450 pièces.

5. 5

   Contrôle : $B(450)=5400-2400=3000$B(450) = 5 400 - 2 400 = 3 000 € ✔.

6. 6

   Lecture du $12$12 : chaque pièce rapporte $30$30 € et coûte $18$18 € de matière, donc contribue $12$12 € au remboursement des $2400$2 400 € de charges fixes.

   Il en faut $200$200 pour les couvrir.

Rappel de cours : Bénéfice $=$= recette $-$- coût. Le seuil de rentabilité annule le bénéfice.

Erreur fréquente : Oublier la parenthèse en soustrayant le coût : $30q-18q+2400$30q - 18q + 2 400 donnerait un bénéfice toujours positif.

Correction détaillée

1. 1

   $f(1)=4$f(1) = 4 et $f(5)=2$f(5) = 2 : ce sont les ordonnées des points de la courbe.

2. 2

   $f^{\prime }(1)$f'(1) est le coefficient directeur de la tangente en $A$A, calculé avec $A(1;4)$A(1 ; 4) et $P(3;10)$P(3 ; 10).

3. 3

   $f^{\prime }(1)=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3$f'(1) = (10 - 4)/(3 - 1) = 6/2 = 3.

4. 4

   La tangente en $B$B est horizontale, donc $f^{\prime }(5)=0$f'(5) = 0.

5. 5

   Équation de la tangente en $A$A : $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+4=3x+1$y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 3(x-1) + 4 = 3x + 1.

6. 6

   Contrôle : cette droite passe par $A(1;4)$A(1 ; 4) ($3+1=4$3 + 1 = 4 ✔) et par $P(3;10)$P(3 ; 10) ($9+1=10$9 + 1 = 10 ✔).

7. 7

   Interprétation : en $x=1$x = 1 la courbe monte vite (pente $3$3) ; en $x=5$x = 5 elle est plate, ce qui signale un extremum.

Rappel de cours : $f^{\prime }(a)$f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$a · tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0$⇔ f'(a) = 0.

Erreur fréquente : Confondre $f(1)=4$f(1) = 4 (une ordonnée) et $f^{\prime }(1)=3$f'(1) = 3 (une pente) : deux informations de natures différentes.

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1. 1

   Le coefficient global vaut $1,21$1,21.

   On cherche le coefficient annuel $c$c tel que $c^3=1,21$c³ = 1,21.

2. 2

   Donc $c=1,21^{1/3}=\sqrt[3]{1,21}\approx 1,065602$c = 1,21^(1/3) = racine 3-ième de (1,21) ≈ 1,065 602.

3. 3

   Taux moyen annuel : $t=(1,065602-1)\times 100\approx 6,56\%$t = (1,065 602 - 1)× 100 ≈ 6,56%.

4. 4

   Vérification : $1,0656^3\approx 1,2099$1,0656³ ≈ 1,2099, soit $+21,0\%$+21,0% ✔ à l'arrondi près.

5. 5

   Ce n'est pas $7\%$7% car les hausses se COMPOSENT : trois hausses de $7\%$7% donneraient $1,07^3\approx 1,225$1,07³ ≈ 1,225, soit $+22,5\%$+22,5%, un peu trop.

6. 6

   À retenir : le taux moyen est toujours un peu INFÉRIEUR au taux global divisé par le nombre d'années ($21÷3=7$21 ÷ 3 = 7), parce que chaque hausse porte sur une base déjà augmentée.

Rappel de cours : Taux moyen sur $n$n périodes : $c=C{M}^{1/n}$c = CM^(1/n), puis $t=(c-1)\times 100$t = (c - 1)× 100. On extrait la racine $n$n-ième.

Erreur fréquente : Diviser le taux global par le nombre d'années : $7\%$7% au lieu de $6,56\%$6,56%. L'écart grandit avec l'amplitude de l'évolution.

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1. 1

   Salariés de production : $0,40\times 500=200$0,40 × 500 = 200.

2. 2

   Parmi eux, ceux de nuit : $0,25\times 200=50$0,25 × 200 = 50 salariés.

3. 3

   Part de l'effectif total : $\frac{50}{500}=0,10$50/500 = 0,10, soit $10\%$10% de l'entreprise.

4. 4

   On retrouve ce résultat en composant les proportions : $0,40\times 0,25=0,10$0,40 × 0,25 = 0,10 ✔ — les proportions se MULTIPLIENT.

5. 5

   Salariés de nuit au total : $0,12\times 500=60$0,12 × 500 = 60.

6. 6

   Proportion de production parmi eux : $\frac{50}{60}\approx 0,833$50/60 ≈ 0,833, soit environ $83,3\%$83,3%.

7. 7

   Lecture d'ensemble : $50$50 salariés sur $60$60 qui travaillent de nuit sont en production ; les $10$10 autres relèvent de la maintenance ou de la surveillance.

8. 8

   À retenir : le même effectif de $50$50 personnes représente $25\%$25% (parmi la production), $10\%$10% (de l'entreprise) ou $83,3\%$83,3% (parmi les salariés de nuit).

   Un pourcentage n'a de sens qu'avec sa référence.

Rappel de cours : Proportion d'une proportion : on MULTIPLIE ($0,40\times 0,25=0,10$0,40× 0,25 = 0,10), on n'additionne jamais.

Erreur fréquente : Annoncer $65\%$65% ou $15\%$15% en combinant les taux par addition ou soustraction : les deux pourcentages ne portent pas sur le même ensemble.

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1. 1

   On résout $45-1,5t<30$45 - 1,5t < 30, soit $-1,5t<-15$-1,5t < -15.

2. 2

   On divise par $-1,5$-1,5 en INVERSANT le sens : $t>\frac{15}{1,5}=10$t > 15/1,5 = 10.

3. 3

   La consommation passe sous $30$30 kWh à partir du 11ᵉ mois (le premier entier strictement supérieur à $10$10).

4. 4

   Contrôle : $c(10)=45-15=30$c(10) = 45 - 15 = 30 exactement, et $c(11)=45-16,5=28,5<30$c(11) = 45 - 16,5 = 28,5 < 30 ✔.

5. 5

   Pour $t=20$t = 20 : $c(20)=45-30=15$c(20) = 45 - 30 = 15 kWh.

   C'est encore positif, le modèle garde un sens sur $[0;20]$[0 ; 20].

6. 6

   Au-delà, en revanche : $c(30)=0$c(30) = 0 et $c(40)=-15$c(40) = -15 kWh, ce qui n'a aucun sens physique.

   Le modèle affine ne peut pas être prolongé : une consommation décroît vers un palier, elle ne devient pas négative.

Rappel de cours : Diviser une inéquation par un nombre négatif en INVERSE le sens. Et tout modèle affine a un domaine de validité.

Erreur fréquente : Garder le sens de l'inégalité : on conclurait $t<10$t < 10, c'est-à-dire exactement le contraire.

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1. 1

   $a(x)=1200+14x$a(x) = 1 200 + 14x et $b(x)=400+22x$b(x) = 400 + 22x.

2. 2

   Égalité : $1200+14x=400+22x$1 200 + 14x = 400 + 22x.

3. 3

   $1200-400=22x-14x$1 200 - 400 = 22x - 14x, soit $800=8x$800 = 8x et $x=100$x = 100 pièces.

4. 4

   Les deux devis coûtent alors $a(100)=1200+1400=2600$a(100) = 1 200 + 1 400 = 2 600 € ✔ (et $b(100)=400+2200=2600$b(100) = 400 + 2 200 = 2 600 € ✔).

5. 5

   Pour $150$150 pièces : $a(150)=1200+2100=3300$a(150) = 1 200 + 2 100 = 3 300 € contre $b(150)=400+3300=3700$b(150) = 400 + 3 300 = 3 700 €.

   Le devis A est moins cher ($400$400 € d'écart).

6. 6

   Pour $50$50 pièces : $a(50)=1900$a(50) = 1 900 € contre $b(50)=1500$b(50) = 1 500 €.

   Le devis B est moins cher.

7. 7

   Conclusion générale : B pour les petites séries (moins de $100$100 pièces), A au-delà.

   C'est la logique du coût fixe élevé compensé par un coût unitaire faible.

Rappel de cours : Comparer deux tarifs affines : on résout l'égalité pour trouver le point de bascule, puis on teste de chaque côté.

Erreur fréquente : Comparer les coûts unitaires ($14$14 € contre $22$22 €) sans tenir compte de la mise en route : sur $50$50 pièces, c'est le devis au coût unitaire le plus élevé qui gagne.

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1. 1

   Le maximum est $f(5)=7$f(5) = 7, atteint au changement de sens de variation.

2. 2

   Pour $f(x)=0$f(x) = 0 : sur $[0;5]$[0 ; 5], $f$f croît continûment de $-4$-4 à $7$7, donc elle traverse $0$0 UNE fois.

   Sur $[5;12]$[5 ; 12], elle décroît de $7$7 à $-1$-1 : elle traverse encore $0$0 une fois.

3. 3

   L'équation $f(x)=0$f(x) = 0 a donc exactement DEUX solutions.

4. 4

   $f(x)=7$f(x) = 7 : la valeur $7$7 est le maximum, atteint seulement en $x=5$x = 5 — UNE solution.

5. 5

   $f(x)=9$f(x) = 9 : $9>7$9 > 7, donc la valeur n'est jamais atteinte — AUCUNE solution.

6. 6

   Signe de la dérivée : $f^{\prime }$f' est POSITIVE sur $[0;5[$[0 ; 5[ (croissance), NULLE en $5$5 (extremum), NÉGATIVE sur $]5;12]$]5 ; 12] (décroissance).

7. 7

   Méthode générale : pour compter les solutions de $f(x)=k$f(x) = k, on compare $k$k aux valeurs extrêmes de chaque branche monotone du tableau.

   Une solution par branche traversée.

Rappel de cours : Sur chaque branche MONOTONE, l'équation $f(x)=k$f(x) = k a au plus une solution, et exactement une si $k$k est entre les valeurs aux bornes.

Erreur fréquente : Annoncer deux solutions pour $f(x)=7$f(x) = 7 « par symétrie » : $7$7 est le maximum, il n'est atteint qu'une fois.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient global : $\frac{1260}{840}=1,5$(1 260)/840 = 1,5, soit une hausse globale de $50\%$50% sur $5$5 ans.

2. 2

   Taux moyen annuel : on cherche $c$c tel que $c^5=1,5$c⁵ = 1,5, donc $c=1,5^{1/5}\approx 1,084472$c = 1,5^(1/5) ≈ 1,084 472.

3. 3

   Soit un taux moyen d'environ $+8,45\%$+8,45% par an.

4. 4

   Contrôle : $1,0845^5\approx 1,5003$1,0845⁵ ≈ 1,5003 ✔.

5. 5

   Estimation 2029 : trois années de plus, donc $1260\times 1,084472^3$1 260 × 1,084 472³.

6. 6

   $1,084472^3\approx 1,2753$1,084 472³ ≈ 1,275 3, donc le chiffre d'affaires serait d'environ $1260\times 1,2753\approx 1606,9$1 260 × 1,275 3 ≈ 1 606,9 k€.

7. 7

   Pour dépasser $2000$2 000 k€ : on cherche le nombre $n$n d'années après 2026 tel que $1260\times 1,084472^n>2000$1 260 × 1,084 472^(n) > 2 000, soit $1,084472^n>1,5873$1,084 472^(n) > 1,587 3.

8. 8

   Balayage : $1,084472^5\approx 1,5$1,084 472⁵ ≈ 1,5 (insuffisant) ; $1,084472^6\approx 1,627$1,084 472⁶ ≈ 1,627 (suffisant).

9. 9

   Il faut donc $6$6 ans après 2026, soit l'année 2032.

10. 10

    Réserve à formuler : cette projection suppose le rythme des cinq dernières années maintenu pendant six ans de plus — une hypothèse forte, qu'aucune donnée ne garantit.

Rappel de cours : Taux moyen : racine $n$n-ième du coefficient global. Toute projection au-delà des données observées est une EXTRAPOLATION.

Erreur fréquente : Diviser $50\%$50% par $5$5 pour annoncer $10\%$10% par an : on surestimerait le chiffre d'affaires de 2029 de près de $70$70 k€.

Correction détaillée

1. 1

   Prix hors taxes : $46\times 1,35=62,10$46 × 1,35 = 62,10 €.

2. 2

   Prix TTC : $62,10\times 1,20=74,52$62,10 × 1,20 = 74,52 €.

3. 3

   Après remise de $8\%$8% : $74,52\times 0,92=68,5584$74,52 × 0,92 = 68,558 4, soit $68,56$68,56 €.

4. 4

   Pour la marge réelle, il faut revenir au montant hors taxes encaissé : $\frac{68,5584}{1,20}=57,132$(68,558 4)/1,20 = 57,132 €.

5. 5

   Marge réalisée : $57,132-46=11,132$57,132 - 46 = 11,132 €.

6. 6

   En pourcentage du prix de revient : $\frac{11,132}{46}\approx 0,242$11,132/46 ≈ 0,242, soit environ $24,2\%$24,2%.

7. 7

   La remise de $8\%$8% a donc fait chuter la marge de $35\%$35% à $24,2\%$24,2% : presque $11$11 points perdus pour $8\%$8% de remise.

8. 8

   Explication : la remise s'applique au prix de vente, bien plus élevé que la marge.

   $8\%$8% de $62,10$62,10 € HT, soit $4,97$4,97 €, représente $31\%$31% des $16,10$16,10 € de marge initiale.

9. 9

   Contrôle : $46\times 1,242\approx 57,13$46 × 1,242 ≈ 57,13 € ✔ le prix HT après remise.

Rappel de cours : La TVA s'applique APRÈS la marge. Pour analyser une marge, on raisonne toujours en HORS TAXES.

Erreur fréquente : Retirer $8\%$8% des $35\%$35% de marge pour annoncer $27\%$27% : les deux pourcentages ne portent pas sur la même base.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $x$x le volume, en litres, de solution à $5\%$5% ajouté.

   Le volume total devient $12+x$12 + x.

2. 2

   Produit actif apporté par les $12$12 L : $0,30\times 12=3,6$0,30 × 12 = 3,6 L.

3. 3

   Produit actif apporté par l'ajout : $0,05x$0,05x.

4. 4

   Le mélange doit titrer $20\%$20% : $\frac{3,6+0,05x}{12+x}=0,20$(3,6 + 0,05x)/(12 + x) = 0,20.

5. 5

   On multiplie par $(12+x)$(12 + x) : $3,6+0,05x=0,20(12+x)=2,4+0,20x$3,6 + 0,05x = 0,20(12 + x) = 2,4 + 0,20x.

6. 6

   $3,6-2,4=0,20x-0,05x$3,6 - 2,4 = 0,20x - 0,05x, soit $1,2=0,15x$1,2 = 0,15x et $x=8$x = 8 L.

7. 7

   Volume total : $12+8=20$12 + 8 = 20 L.

8. 8

   Vérification : produit actif total $=3,6+0,05\times 8=3,6+0,4=4$= 3,6 + 0,05× 8 = 3,6 + 0,4 = 4 L, et $\frac{4}{20}=0,20$4/20 = 0,20 ✔ soit bien $20\%$20%.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : $20\%$20% est entre $5\%$5% et $30\%$30%, et plus proche de $30\%$30% : il est donc normal d'ajouter MOINS de solution diluée ($8$8 L) que le volume concentré de départ ($12$12 L) ✔.

Rappel de cours : Un problème de mélange se résout en écrivant la conservation de la QUANTITÉ de produit actif, pas des pourcentages.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des titres ($\frac{30+5}{2}=17,5\%$(30 + 5)/2 = 17,5%) : cela suppose des volumes égaux, ce qui n'est pas le cas ici.

Correction détaillée

1. 1

   Lecture : pour $q=2$q = 2, on lit $C_m=50$C_m = 50 € par pièce ; pour $q=6$q = 6, on lit $C_m=30$C_m = 30 € par pièce.

2. 2

   L'atelier est rentable quand le coût moyen est INFÉRIEUR au prix de vente, donc quand la courbe passe sous la droite horizontale $y=40$y = 40.

3. 3

   On lit que c'est le cas entre $q=3$q = 3 et $q=9$q = 9, soit entre $300$300 et $900$900 pièces.

4. 4

   Le point le plus bas de la courbe est atteint en $q=6$q = 6, où $C_m=30$C_m = 30 € : c'est le coût moyen minimal.

5. 5

   Marge unitaire correspondante : $40-30=10$40 - 30 = 10 € par pièce.

6. 6

   Bénéfice total à cette quantité : $10\times 600=6000$10 × 600 = 6 000 € ($q=6$q = 6 représentant $600$600 pièces).

7. 7

   Attention à une subtilité : la quantité qui minimise le COÛT MOYEN n'est pas forcément celle qui maximise le BÉNÉFICE total.

   Ici, avec un prix fixe, les deux coïncident — le bénéfice unitaire est maximal là où le coût moyen est minimal, mais il faudrait comparer les bénéfices totaux $(40-C_m(q))\times 100q$(40 - C_m(q))× 100q pour conclure en toute rigueur.

8. 8

   Calcul de contrôle à $q=7$q = 7 : si $C_m(7)=32$C_m(7) = 32 €, la marge unitaire tombe à $8$8 € mais sur $700$700 pièces, soit $5600$5 600 € — moins que les $6000$6 000 € de $q=6$q = 6 ✔.

Rappel de cours : Rentabilité : coût moyen $<$< prix de vente. Sur un graphique, c'est la courbe sous la droite horizontale du prix.

Correction détaillée

1. 1

   Aire de la plaque : $(x+6)(x+2)=x^2+2x+6x+12=x^2+8x+12$(x+6)(x+2) = x² + 2x + 6x + 12 = x² + 8x + 12.

2. 2

   Aire du carré découpé : $x^2$x².

3. 3

   Aire restante : $\mathcal{A}(x)=x^2+8x+12-x^2=8x+12$A (x) = x² + 8x + 12 - x² = 8x + 12.

4. 4

   Le terme en $x^2$x² disparaît : l'aire restante est une fonction AFFINE de $x$x.

5. 5

   Factorisation : $\mathcal{A}(x)=4(2x+3)$A (x) = 4(2x + 3).

6. 6

   Aire de $60$60 cm² : $8x+12=60$8x + 12 = 60 donne $8x=48$8x = 48, donc $x=6$x = 6 cm.

7. 7

   Contrôle : la plaque mesure alors $12\times 8=96$12 × 8 = 96 cm², le carré $36$36 cm², et il reste $60$60 cm² ✔.

8. 8

   Aire de $10$10 cm² : $8x+12=10$8x + 12 = 10 donne $8x=-2$8x = -2, soit $x=-0,25$x = -0,25 cm.

9. 9

   Une longueur négative est impossible : l'aire restante ne peut PAS valoir $10$10 cm².

10. 10

    Cohérence : pour $x=0$x = 0 (pas de découpe), l'aire restante vaut déjà $12$12 cm², et elle croît avec $x$x.

    Elle est donc toujours supérieure à $12$12 cm².

Rappel de cours : Après développement, vérifier si des termes se compensent : ici le $x^2$x² disparaît et le problème devient affine.

Erreur fréquente : Garder $x=-0,25$x = -0,25 comme solution : toute solution doit être compatible avec la géométrie ($x>0$x > 0).