Exercices corrigés : Suites arithmétiques et géométriques — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Test arithmétique : on calcule les DIFFÉRENCES successives.

2. 2

   Relevé A : $255-240=15$255 - 240 = 15, $270-255=15$270 - 255 = 15, $285-270=15$285 - 270 = 15.

   Différence constante : A est ARITHMÉTIQUE de raison $r=15$r = 15.

3. 3

   Test géométrique : on calcule les QUOTIENTS successifs.

4. 4

   Relevé B : $\frac{1050}{1000}=1,05$(1 050)/(1 000) = 1,05, $\frac{1102,5}{1050}=1,05$(1 102,5)/(1 050) = 1,05, $\frac{1157,625}{1102,5}=1,05$(1 157,625)/(1 102,5) = 1,05.

   B est GÉOMÉTRIQUE de raison $q=1,05$q = 1,05 (hausse de $5\%$5% par mois).

5. 5

   Relevé C : différences $15$15, $20$20, $25$25 — non constantes.

   Quotients $1,25$1,25, $1,267$1,267, $1,263$1,263 — non constants non plus.

   C n'est NI arithmétique NI géométrique.

6. 6

   Remarque sur C : ce sont les différences qui augmentent de $5$5 à chaque fois.

   On rencontre ce type de suite en cumul (la somme des termes d'une suite arithmétique).

Rappel de cours : Arithmétique : on AJOUTE $r$r · géométrique : on MULTIPLIE par $q$q. On teste sur tous les couples consécutifs disponibles.

Erreur fréquente : Conclure après un seul test : les quotients de C sont proches de $1,26$1,26 sans être égaux, ce qui pourrait faire croire à une suite géométrique.

Correction détaillée

1. 1

   Suite arithmétique de raison $r=160$r = 160, de premier terme $u_1=1240$u₁ = 1 240.

2. 2

   Comme la suite démarre au rang $1$1 : $u_n=u_1+(n-1)r=1240+160(n-1)$uₙ = u₁ + (n-1)r = 1 240 + 160(n-1).

3. 3

   En développant : $u_n=1240+160n-160=1080+160n$uₙ = 1 240 + 160n - 160 = 1 080 + 160n.

4. 4

   Contrôle : $u_1=1080+160=1240$u₁ = 1 080 + 160 = 1 240 ✔.

5. 5

   $u_{12}=1080+1920=3000$u₁₂ = 1 080 + 1 920 = 3 000 h exactement.

6. 6

   Dépassement de $3000$3 000 h : $1080+160n>3000$1 080 + 160n > 3 000 donne $160n>1920$160n > 1 920, soit $n>12$n > 12.

7. 7

   Le compteur dépasse donc $3000$3 000 h au 13ᵉ relevé ($u_{13}=3160$u₁₃ = 3 160 h).

Rappel de cours : $u_n=u_1+(n-1)r$uₙ = u₁ + (n-1)r si la suite commence au rang $1$1 · $u_n=u_0+nr$uₙ = u₀ + nr si elle commence au rang $0$0.

Erreur fréquente : Écrire $u_n=1240+160n$uₙ = 1 240 + 160n : on obtiendrait $u_1=1400$u₁ = 1 400, soit un mois d'avance sur la réalité.

Correction détaillée

1. 1

   Baisse de $12\%$12% : on multiplie par $1-0,12=0,88$1 - 0,12 = 0,88 à chaque trimestre.

   Suite géométrique de raison $q=0,88$q = 0,88.

2. 2

   $v_n=5000\times 0,88^n$vₙ = 5 000 × 0,88^(n).

3. 3

   Deux ans représentent $8$8 trimestres, donc on calcule $v_8$v₈.

4. 4

   $0,88^8\approx 0,359634$0,88⁸ ≈ 0,359 634, donc $v_8\approx 5000\times 0,359634\approx 1798,2$v₈ ≈ 5 000 × 0,359 634 ≈ 1 798,2.

5. 5

   Le stock est donc d'environ $1798$1 798 pièces au bout de deux ans.

6. 6

   Contrôle d'ordre de grandeur : perdre $12\%$12% huit fois de suite revient à garder $36\%$36% du stock initial, soit un peu plus du tiers ✔.

Rappel de cours : $v_n=v_0\times q^n$vₙ = v₀ × q^(n). Une baisse de $t\%$t% par période donne $q=1-\frac{t}{100}$q = 1 - t/100.

Erreur fréquente : Compter $2$2 au lieu de $8$8 pour deux ans : la période de la suite est le TRIMESTRE, pas l'année.

Correction détaillée

1. 1

   $1+2+\cdots +50=\frac{50\times 51}{2}=\frac{2550}{2}=1275$1 + 2 + … + 50 = (50 × 51)/2 = (2 550)/2 = 1 275.

2. 2

   $1+2+\cdots +100=\frac{100\times 101}{2}=5050$1 + 2 + … + 100 = (100 × 101)/2 = 5 050.

3. 3

   Pour la troisième somme, on retire de la somme jusqu'à $60$60 celle jusqu'à $19$19.

4. 4

   $1+\cdots +60=\frac{60\times 61}{2}=1830$1 + … + 60 = (60× 61)/2 = 1 830 et $1+\cdots +19=\frac{19\times 20}{2}=190$1 + … + 19 = (19 × 20)/2 = 190.

5. 5

   Donc $20+21+\cdots +60=1830-190=1640$20 + 21 + … + 60 = 1 830 - 190 = 1 640.

6. 6

   Contrôle par la formule des suites arithmétiques : il y a $60-20+1=41$60 - 20 + 1 = 41 termes, de moyenne $\frac{20+60}{2}=40$(20 + 60)/2 = 40, donc $41\times 40=1640$41 × 40 = 1 640 ✔.

Rappel de cours : $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$Σ_k=1ⁿ k = (n(n+1))/2. Pour une somme qui ne part pas de $1$1, on soustrait la partie manquante.

Erreur fréquente : Oublier le « $+1$+1 » dans le décompte des termes : de $20$20 à $60$60 il y a $41$41 termes, pas $40$40.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $A$A, on remplace $k$k par $1$1, $2$2, $3$3, $4$4 puis $5$5 dans l'expression $2k+1$2k+1.

2. 2

   $A=3+5+7+9+11$A = 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

3. 3

   Ce sont cinq termes d'une suite arithmétique de raison $2$2 : $A=5\times \frac{3+11}{2}=5\times 7=35$A = 5 × (3 + 11)/2 = 5 × 7 = 35.

4. 4

   Pour $B$B, on remplace $k$k par $0$0 à $4$4 dans $3\times 2^k$3× 2^(k).

5. 5

   $B=3+6+12+24+48=93$B = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

6. 6

   Ce sont cinq termes d'une suite géométrique de premier terme $3$3 et de raison $2$2.

7. 7

   Contrôle avec la formule de la somme géométrique : $3\times \frac{1-2^5}{1-2}=3\times \frac{-31}{-1}=93$3 × (1 - 2⁵)/(1 - 2) = 3 × (-31)/(-1) = 93 ✔.

Rappel de cours : $\sum _{k=a}^{b}f(k)$Σ_k=a^(b) f(k) : on additionne $f(k)$f(k) pour $k$k allant de $a$a à $b$b inclus, soit $b-a+1$b - a + 1 termes.

Erreur fréquente : Démarrer $B$B à $k=1$k = 1 : on oublierait le terme $3\times 2^0=3$3× 2⁰ = 3, et la somme tomberait à $90$90.

Correction détaillée

1. 1

   Suite arithmétique : $u_1=120$u₁ = 120, $r=8$r = 8, donc $u_n=120+8(n-1)$uₙ = 120 + 8(n-1).

2. 2

   $u_{20}=120+8\times 19=120+152=272$u₂₀ = 120 + 8 × 19 = 120 + 152 = 272 pièces.

3. 3

   Somme des $n$n premiers termes : $S=n\times \frac{u_1+u_n}{2}$S = n × (u₁ + uₙ)/2 — le nombre de termes multiplié par la MOYENNE du premier et du dernier.

4. 4

   $S=20\times \frac{120+272}{2}=20\times \frac{392}{2}=20\times 196=3920$S = 20 × (120 + 272)/2 = 20 × 392/2 = 20 × 196 = 3 920 pièces.

5. 5

   Contrôle : la production moyenne est de $196$196 pièces par semaine, et $196\times 20=3920$196 × 20 = 3 920 ✔.

   Pour une suite arithmétique, la moyenne des termes est bien celle des extrêmes.

6. 6

   Interprétation : l'atelier a produit $3920$3 920 pièces en $20$20 semaines, contre $2400$2 400 s'il était resté à $120$120 par semaine — soit $1520$1 520 pièces gagnées grâce à la montée en charge.

Rappel de cours : $S=n\times \frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$S = n × (premier + dernier)/2 : c'est l'astuce de Gauss, valable pour toute suite arithmétique.

Erreur fréquente : Multiplier le dernier terme par le nombre de semaines ($272\times 20$272 × 20) : on obtiendrait $5440$5 440, très au-dessus de la réalité.

Correction détaillée

1. 1

   Suite géométrique : $u_1=2000$u₁ = 2 000 et $q=1,06$q = 1,06, donc $u_n=2000\times 1,06^{n-1}$uₙ = 2 000 × 1,06^(n-1).

2. 2

   $u_{10}=2000\times 1,06^9$u₁₀ = 2 000 × 1,06⁹.

   Or $1,06^9\approx 1,689479$1,06⁹ ≈ 1,689 479, donc $u_{10}\approx 3378,96$u₁₀ ≈ 3 378,96 €.

3. 3

   Somme de $n$n termes d'une suite géométrique : $S=u_1\times \frac{1-q^n}{1-q}$S = u₁ × (1 - q^(n))/(1 - q).

4. 4

   $S=2000\times \frac{1-1,06^{10}}{1-1,06}$S = 2 000 × (1 - 1,06¹⁰)/(1 - 1,06).

   Or $1,06^{10}\approx 1,790847$1,06¹⁰ ≈ 1,790 847.

5. 5

   $S\approx 2000\times \frac{1-1,790847}{-0,06}=2000\times \frac{-0,790847}{-0,06}\approx 2000\times 13,1808$S ≈ 2 000 × (1 - 1,790 847)/(-0,06) = 2 000 × (-0,790 847)/(-0,06) ≈ 2 000 × 13,180 8.

6. 6

   $S\approx 26361,6$S ≈ 26 361,6 €.

7. 7

   Contrôle d'ordre de grandeur : $10$10 versements compris entre $2000$2 000 et $3379$3 379 €, dont la moyenne est d'environ $2636$2 636 € — cohérent avec un total de $26362$26 362 € ✔.

Rappel de cours : $S=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$S = u₁ (1 - q^(n))/(1 - q) où $n$n est le NOMBRE de termes additionnés ($q\ne 1$q ≠ 1).

Erreur fréquente : Confondre l'exposant du terme général ($n-1$n - 1) et celui de la somme ($n$n) : ici $1,06^9$1,06⁹ pour le 10ᵉ versement, mais $1,06^{10}$1,06¹⁰ dans la somme.

Correction détaillée

1. 1

   Dans une suite arithmétique, chaque terme est la MOYENNE ARITHMÉTIQUE de ses voisins : $b=\frac{a+c}{2}$b = (a + c)/2.

2. 2

   $b=\frac{46+78}{2}=\frac{124}{2}=62$b = (46 + 78)/2 = 124/2 = 62 °C.

3. 3

   Raison : $r=b-a=62-46=16$r = b - a = 62 - 46 = 16 (et l'on vérifie $78-62=16$78 - 62 = 16 ✔).

4. 4

   Relevé suivant : $78+16=94$78 + 16 = 94 °C.

5. 5

   Pourquoi la moyenne ?

   Parce que $b=a+r$b = a + r et $c=b+r$c = b + r, donc $a+c=(b-r)+(b+r)=2b$a + c = (b - r) + (b + r) = 2b : les raisons se compensent.

Rappel de cours : Suite arithmétique : $b=\frac{a+c}{2}$b = (a+c)/2 — le terme du milieu est la moyenne ARITHMÉTIQUE de ses voisins.

Erreur fréquente : Utiliser la moyenne géométrique $\sqrt{46\times 78}\approx 59,9$√(46 × 78) ≈ 59,9 : elle ne vaut que pour les suites géométriques.

Correction détaillée

1. 1

   Il s'agit d'insérer un terme dans une suite GÉOMÉTRIQUE : la valeur intermédiaire est la moyenne géométrique des deux extrêmes, $\sqrt{a\times c}$√(a × c).

2. 2

   $\sqrt{200\times 242}=\sqrt{48400}=220$√(200 × 242) = √(48 400) = 220 k€.

3. 3

   Taux annuel moyen : $\frac{220}{200}=1,10$220/200 = 1,10, soit $+10\%$+10%.

4. 4

   Vérification : $200\to 220\to 242$200 → 220 → 242, et $\frac{242}{220}=1,10$242/220 = 1,10 ✔ deux hausses identiques de $10\%$10%.

5. 5

   Contrôle par le coefficient global : $\frac{242}{200}=1,21$242/200 = 1,21 et $\sqrt{1,21}=1,10$√(1,21) = 1,10 ✔ — la racine carrée du coefficient global donne bien le coefficient annuel.

6. 6

   À noter : la moyenne ARITHMÉTIQUE $\frac{200+242}{2}=221$(200+242)/2 = 221 k€ donnerait des hausses inégales ($+10,5\%$+10,5% puis $+9,5\%$+9,5%).

   Pour des évolutions en pourcentage, c'est la moyenne géométrique qui convient.

Rappel de cours : Moyenne géométrique de $a$a et $c$c : $\sqrt{ac}$√(ac). C'est elle qui correspond à deux évolutions en pourcentage identiques.

Erreur fréquente : Prendre la moyenne arithmétique ($221$221) : les deux taux obtenus ne seraient pas égaux, ce que l'énoncé demande.

Correction détaillée

1. 1

   On sait que $u_5=u_2\times q^3$u₅ = u₂ × q³ (trois pas entre les rangs $2$2 et $5$5).

2. 2

   $q^3=\frac{151,875}{45}=3,375$q³ = 151,875/45 = 3,375.

3. 3

   Or $1,5^3=3,375$1,5³ = 3,375, donc $q=1,5$q = 1,5.

4. 4

   Pour $u_0$u₀, on remonte de deux rangs : $u_2=u_0\times q^2$u₂ = u₀ × q², donc $u_0=\frac{45}{1,5^2}=\frac{45}{2,25}=20$u₀ = 45/1,5² = 45/2,25 = 20.

5. 5

   Contrôle : $20\to 30\to 45\to 67,5\to 101,25\to 151,875$20 → 30 → 45 → 67,5 → 101,25 → 151,875 ✔.

6. 6

   Somme des SIX termes (rangs $0$0 à $5$5) : $S=u_0\times \frac{1-q^6}{1-q}$S = u₀ × (1 - q⁶)/(1 - q).

7. 7

   $1,5^6=11,390625$1,5⁶ = 11,390 625, donc $S=20\times \frac{1-11,390625}{1-1,5}=20\times \frac{-10,390625}{-0,5}=20\times 20,78125$S = 20 × (1 - 11,390 625)/(1 - 1,5) = 20 × (-10,390 625)/(-0,5) = 20 × 20,781 25.

8. 8

   $S=415,625$S = 415,625.

9. 9

   Contrôle par addition directe : $20+30+45+67,5+101,25+151,875=415,625$20 + 30 + 45 + 67,5 + 101,25 + 151,875 = 415,625 ✔.

Rappel de cours : $u_{n+k}=u_n\times q^k$uₙ₊ₖ = uₙ × q^(k) : on compte les PAS entre les deux rangs, ici $5-2=3$5 - 2 = 3.

Erreur fréquente : Additionner $6$6 termes avec l'exposant $5$5 dans la formule : la somme des rangs $0$0 à $5$5 compte SIX termes, donc $q^6$q⁶.

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1. 1

   Production du mois $n$n : $u_n=1500+75(n-1)=1425+75n$uₙ = 1 500 + 75(n-1) = 1 425 + 75n.

2. 2

   Production cumulée : $S_n=n\times \frac{u_1+u_n}{2}=n\times \frac{1500+1425+75n}{2}=n\times \frac{2925+75n}{2}$Sₙ = n × (u₁ + uₙ)/2 = n × (1 500 + 1 425 + 75n)/2 = n × (2 925 + 75n)/2.

3. 3

   On peut simplifier : $S_n=\frac{75n^2+2925n}{2}=37,5n^2+1462,5n$Sₙ = (75n² + 2 925n)/2 = 37,5n² + 1 462,5n.

4. 4

   Contrôle : $S_1=37,5+1462,5=1500$S₁ = 37,5 + 1 462,5 = 1 500 ✔ et $S_2=150+2925=3075=1500+1575$S₂ = 150 + 2 925 = 3 075 = 1 500 + 1 575 ✔.

5. 5

   On cherche le premier $n$n tel que $S_n\ge 30000$Sₙ ≥ 30 000.

   On teste quelques valeurs.

6. 6

   $S_{15}=37,5\times 225+1462,5\times 15=8437,5+21937,5=30375$S₁₅ = 37,5 × 225 + 1 462,5× 15 = 8 437,5 + 21 937,5 = 30 375 : la commande est honorée.

7. 7

   $S_{14}=37,5\times 196+1462,5\times 14=7350+20475=27825$S₁₄ = 37,5 × 196 + 1 462,5 × 14 = 7 350 + 20 475 = 27 825 : insuffisant.

8. 8

   La commande est donc honorée au bout de $15$15 mois.

9. 9

   Comparaison utile : sans montée en charge ($1500$1 500 par mois), il aurait fallu $20$20 mois.

   L'augmentation de $75$75 pièces par mois fait gagner $5$5 mois.

Rappel de cours : La somme des termes d'une suite arithmétique est une expression du SECOND DEGRÉ en $n$n : la croissance du cumul s'accélère.

Erreur fréquente : Diviser $30000$30 000 par la production du premier mois : on annoncerait $20$20 mois, en ignorant la montée en charge.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque année, le capital est multiplié par $1,035$1,035 : suite géométrique de raison $q=1,035$q = 1,035.

2. 2

   $C_n=15000\times 1,035^n$Cₙ = 15 000 × 1,035^(n).

3. 3

   $1,035^8\approx 1,316809$1,035⁸ ≈ 1,316 809, donc $C_8\approx 15000\times 1,316809\approx 19752,1$C₈ ≈ 15 000 × 1,316 809 ≈ 19 752,1 €.

4. 4

   Pour dépasser $20000$20 000 € : on cherche $n$n tel que $1,035^n>\frac{20000}{15000}\approx 1,3333$1,035^(n) > (20 000)/(15 000) ≈ 1,333 3.

5. 5

   Balayage : $1,035^8\approx 1,3168$1,035⁸ ≈ 1,3168 (insuffisant) ; $1,035^9\approx 1,3629$1,035⁹ ≈ 1,362 9 (suffisant).

6. 6

   Le capital dépasse $20000$20 000 € au bout de $9$9 ans : $C_9\approx 15000\times 1,3629\approx 20443,4$C₉ ≈ 15 000 × 1,362 9 ≈ 20 443,4 €.

7. 7

   Remarque : les intérêts de la 9ᵉ année valent environ $691$691 €, contre $525$525 € la première année ($3,5\%$3,5% de $15000$15 000).

   C'est l'effet des intérêts composés : les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.

Rappel de cours : Intérêts composés $\Rightarrow$⇒ suite GÉOMÉTRIQUE. Les intérêts simples, eux, donneraient une suite arithmétique.

Erreur fréquente : Calculer $15000+8\times 525=19200$15 000 + 8 × 525 = 19 200 € (intérêts simples) : on sous-estime de $552$552 € le capital réel.

Correction détaillée

1. 1

   Volume du mois $n$n : suite géométrique $u_n=800\times 0,95^{n-1}$uₙ = 800 × 0,95^(n-1).

2. 2

   Volume cumulé sur $n$n mois : $S_n=800\times \frac{1-0,95^n}{1-0,95}=800\times \frac{1-0,95^n}{0,05}$Sₙ = 800 × (1 - 0,95^(n))/(1 - 0,95) = 800 × (1 - 0,95^(n))/0,05.

3. 3

   Soit $S_n=16000(1-0,95^n)$Sₙ = 16 000(1 - 0,95^(n)).

4. 4

   Pour $n=12$n = 12 : $0,95^{12}\approx 0,540360$0,95¹² ≈ 0,540 360, donc $S_{12}\approx 16000\times 0,45964\approx 7354,2$S₁₂ ≈ 16 000 × 0,459 64 ≈ 7 354,2 L.

5. 5

   La citerne n'est pas encore pleine au bout d'un an ($7354$7 354 L sur $9000$9 000 L).

6. 6

   Pour la dernière question, observons la forme de $S_n=16000(1-0,95^n)$Sₙ = 16 000(1 - 0,95^(n)) : comme $0,95^n$0,95^(n) tend vers $0$0, le cumul se rapproche de $16000$16 000 L sans jamais l'atteindre.

7. 7

   Or $9000<16000$9 000 < 16 000 : la citerne peut donc être remplie.

   On cherche quand.

8. 8

   $16000(1-0,95^n)\ge 9000$16 000(1 - 0,95^(n)) ≥ 9 000 donne $1-0,95^n\ge 0,5625$1 - 0,95^(n) ≥ 0,5625, soit $0,95^n\le 0,4375$0,95^(n) ≤ 0,4375.

9. 9

   Balayage : $0,95^{16}\approx 0,4401$0,95¹⁶ ≈ 0,440 1 (insuffisant) ; $0,95^{17}\approx 0,4181$0,95¹⁷ ≈ 0,418 1 (suffisant).

10. 10

    La citerne sera pleine au bout de $17$17 mois.

11. 11

    Remarque importante : si la citerne contenait $18000$18 000 L, elle ne pourrait JAMAIS être remplie — le cumul est majoré par $16000$16 000 L.

    Une suite géométrique décroissante a une somme bornée.

Rappel de cours : Pour $0<q<1$0 < q < 1, la somme $u_1\frac{1-q^n}{1-q}$u₁(1-qⁿ)/(1-q) tend vers $\frac{u_1}{1-q}$u₁/(1-q) : le cumul est BORNÉ.

Erreur fréquente : Croire qu'un cumul croissant finit toujours par dépasser n'importe quel seuil : ici la limite est $16000$16 000 L, pas l'infini.

Correction détaillée

1. 1

   Atelier A : $a_n=400+40(n-1)$aₙ = 400 + 40(n-1).

   Atelier B : $b_n=400\times 1,08^{n-1}$bₙ = 400 × 1,08^(n-1).

2. 2

   6ᵉ mois : $a_6=400+200=600$a₆ = 400 + 200 = 600 pièces ; $b_6=400\times 1,08^5\approx 400\times 1,4693\approx 587,7$b₆ = 400 × 1,08⁵ ≈ 400 × 1,469 3 ≈ 587,7 pièces.

3. 3

   À ce stade, A est devant (de $12$12 pièces environ).

4. 4

   12ᵉ mois : $a_{12}=400+440=840$a₁₂ = 400 + 440 = 840 pièces ; $b_{12}=400\times 1,08^{11}\approx 400\times 2,3316\approx 932,6$b₁₂ = 400× 1,08¹¹ ≈ 400 × 2,331 6 ≈ 932,6 pièces.

5. 5

   Le classement s'est INVERSÉ : B dépasse A de près de $93$93 pièces.

6. 6

   Cumul de A : $S_A=12\times \frac{400+840}{2}=12\times 620=7440$S_A = 12 × (400 + 840)/2 = 12 × 620 = 7 440 pièces.

7. 7

   Cumul de B : $S_B=400\times \frac{1-1,08^{12}}{1-1,08}$S_B = 400 × (1 - 1,08¹²)/(1 - 1,08).

   Or $1,08^{12}\approx 2,518170$1,08¹² ≈ 2,518 170.

8. 8

   $S_B\approx 400\times \frac{-1,51817}{-0,08}=400\times 18,9771\approx 7590,9$S_B ≈ 400 × (-1,518 17)/(-0,08) = 400 × 18,977 1 ≈ 7 590,9 pièces.

9. 9

   Sur l'année, B produit donc environ $151$151 pièces de plus que A, malgré son retard des premiers mois.

10. 10

    Moralité : une croissance en POURCENTAGE finit toujours par dépasser une croissance en QUANTITÉ FIXE.

    Le cumul suit, avec un temps de retard.

Rappel de cours : Croissance géométrique ($q>1$q > 1) contre arithmétique : la géométrique gagne toujours à long terme, mais peut être en retard au début.

Erreur fréquente : Comparer les raisons $40$40 et $8\%$8% : ce sont des grandeurs de natures différentes, seuls les termes calculés sont comparables.

Correction détaillée

1. 1

   Cas arithmétique : il y a $4$4 pas entre $u_0=5$u₀ = 5 et $u_4=80$u₄ = 80, donc $80=5+4r$80 = 5 + 4r.

2. 2

   $4r=75$4r = 75, soit $r=18,75$r = 18,75.

3. 3

   Les valeurs intermédiaires sont $23,75$23,75 ; $42,5$42,5 ; $61,25$61,25.

4. 4

   Cas géométrique : $80=5q^4$80 = 5 q⁴, donc $q^4=16$q⁴ = 16.

5. 5

   Comme $2^4=16$2⁴ = 16, on a $q=2$q = 2 (la raison étant positive).

6. 6

   Les valeurs intermédiaires sont $10$10 ; $20$20 ; $40$40.

7. 7

   Comparaison du démarrage : la progression arithmétique impose un bond de $5$5 à $23,75$23,75 (soit $+375\%$+375%) dès la première étape, alors que la géométrique passe de $5$5 à $10$10 ($+100\%$+100%).

8. 8

   La progression GÉOMÉTRIQUE est donc beaucoup plus douce au démarrage — mais elle exige un bond final de $40$40 à $80$80, soit $+40$+40 unités d'un coup, contre $+18,75$+18,75 pour l'arithmétique.

9. 9

   Conclusion de gestion : la géométrique convient à une montée en charge progressive (chaque étape demande le même EFFORT RELATIF), l'arithmétique à un ajout régulier de moyens.

10. 10

    Contrôle : les deux suites relient bien $5$5 à $80$80 ✔, et leurs valeurs intermédiaires diffèrent nettement ($42,5$42,5 contre $20$20 au milieu).

Rappel de cours : Insérer $n$n termes : $u_{n+1}=u_0+(n+1)r$uₙ₊₁ = u₀ + (n+1)r en arithmétique, $u_{n+1}=u_0{q}^{n+1}$uₙ₊₁ = u₀q^(n+1) en géométrique.

Erreur fréquente : Diviser l'écart $75$75 par $3$3 (le nombre de termes insérés) : il y a $4$4 PAS entre $5$5 et $80$80, pas $3$3.

Correction détaillée

1. 1

   $V_n=48000\times 0,82^n$Vₙ = 48 000 × 0,82^(n).

2. 2

   Perte de la première année : $V_0-V_1=48000-48000\times 0,82=48000\times 0,18=8640$V₀ - V₁ = 48 000 - 48 000× 0,82 = 48 000 × 0,18 = 8 640 €.

3. 3

   Perte de la deuxième année : $V_1-V_2=39360-32275,2=7084,8$V₁ - V₂ = 39 360 - 32 275,2 = 7 084,8 €.

4. 4

   On remarque que $\frac{7084,8}{8640}=0,82$(7 084,8)/(8 640) = 0,82 : les pertes sont multipliées par $0,82$0,82 d'une année sur l'autre.

5. 5

   Démonstration générale : la perte de l'année $n$n vaut $V_{n-1}-V_n=V_{n-1}(1-0,82)=0,18V_{n-1}$Vₙ₋₁ - Vₙ = Vₙ₋₁(1 - 0,82) = 0,18 Vₙ₋₁.

   Comme $(V_n)$(Vₙ) est géométrique de raison $0,82$0,82, les pertes le sont aussi, avec la même raison.

6. 6

   Total provisionné sur $5$5 ans : somme de $5$5 termes de premier terme $8640$8 640 et de raison $0,82$0,82.

7. 7

   $S=8640\times \frac{1-0,82^5}{1-0,82}$S = 8 640 × (1 - 0,82⁵)/(1 - 0,82).

   Or $0,82^5\approx 0,370740$0,82⁵ ≈ 0,370 740.

8. 8

   $S\approx 8640\times \frac{0,62926}{0,18}\approx 8640\times 3,4959\approx 30204,5$S ≈ 8 640 × (0,629 26)/0,18 ≈ 8 640 × 3,495 9 ≈ 30 204,5 €.

9. 9

   Vérification : $V_5=48000\times 0,370740\approx 17795,5$V₅ = 48 000 × 0,370 740 ≈ 17 795,5 €, et $48000-17795,5=30204,5$48 000 - 17 795,5 = 30 204,5 € ✔ — le total provisionné est exactement la valeur perdue.

10. 10

    C'est le contrôle décisif : la somme des pertes annuelles doit reconstituer la différence entre la valeur d'achat et la valeur résiduelle.

Rappel de cours : Si $(V_n)$(Vₙ) est géométrique de raison $q$q, la suite des écarts $V_{n-1}-V_n$Vₙ₋₁ - Vₙ est géométrique de MÊME raison.

Erreur fréquente : Provisionner $5\times 8640=43200$5 × 8 640 = 43 200 € : cela supposerait une perte constante, alors qu'elle diminue chaque année.

Correction détaillée

1. 1

   Plan A (arithmétique) : $a_n=6000+300(n-1)$aₙ = 6 000 + 300(n-1), donc $a_{10}=6000+2700=8700$a₁₀ = 6 000 + 2 700 = 8 700 €.

2. 2

   Plan B (géométrique) : $b_n=5200\times 1,07^{n-1}$bₙ = 5 200× 1,07^(n-1), donc $b_{10}=5200\times 1,07^9$b₁₀ = 5 200 × 1,07⁹.

3. 3

   $1,07^9\approx 1,838459$1,07⁹ ≈ 1,838 459, donc $b_{10}\approx 9560,0$b₁₀ ≈ 9 560,0 €.

4. 4

   Coût total de A : $S_A=10\times \frac{6000+8700}{2}=10\times 7350=73500$S_A = 10 × (6 000 + 8 700)/2 = 10 × 7 350 = 73 500 €.

5. 5

   Coût total de B (somme de $10$10 termes géométriques) : $S_B=5200\times \frac{1-1,07^{10}}{1-1,07}$S_B = 5 200×(1 - 1,07¹⁰)/(1 - 1,07).

6. 6

   $1,07^{10}\approx 1,967151$1,07¹⁰ ≈ 1,967 151, donc $S_B\approx 5200\times \frac{-0,967151}{-0,07}\approx 5200\times 13,8164\approx 71845,4$S_B ≈ 5 200 × (-0,967 151)/(-0,07) ≈ 5 200 × 13,816 4 ≈ 71 845,4 €.

7. 7

   Comparaison : $71845$71 845 € pour B contre $73500$73 500 € pour A, soit environ $1655$1 655 € d'économie avec le plan B.

8. 8

   Le plan B est donc moins coûteux au total, bien que ses derniers versements soient plus élevés ($9560$9 560 € contre $8700$8 700 €).

9. 9

   Réserve à formuler : le plan B concentre l'effort sur la fin.

   Si la trésorerie est tendue dans les dernières années, ou si le plan doit être prolongé au-delà de $10$10 ans, A devient préférable — sur $12$12 ans, B coûterait déjà plus cher.

10. 10

    Contrôle : versement moyen de A $=7350$= 7 350 € ; celui de B $=\frac{71845}{10}\approx 7185$= (71 845)/10 ≈ 7 185 € ✔ cohérent avec des versements allant de $5200$5 200 à $9560$9 560 €.

Rappel de cours : Comparer deux plans : on additionne les versements avec la formule de somme adaptée (arithmétique ou géométrique), pas seulement le dernier terme.

Erreur fréquente : Comparer les derniers versements : B a le versement final le plus élevé mais le coût total le plus faible.

Correction détaillée

1. 1

   Notation sigma : $S_N=\sum _{k=0}^{N}250\times 0,9^k$S_N = Σ_k=0^(N) 250 × 0,9^(k).

2. 2

   La somme comporte $N+1$N + 1 termes (de $k=0$k = 0 à $k=N$k = N), donc $S_N=250\times \frac{1-0,9^{N+1}}{1-0,9}=2500(1-0,9^{N+1})$S_N = 250 × (1 - 0,9^(N+1))/(1 - 0,9) = 2 500(1 - 0,9^(N+1)).

3. 3

   Pour $N=9$N = 9 : $S_9=2500(1-0,9^{10})$S₉ = 2 500(1 - 0,9¹⁰).

   Or $0,9^{10}\approx 0,348678$0,9¹⁰ ≈ 0,348 678.

4. 4

   $S_9\approx 2500\times 0,651322\approx 1628,3$S₉ ≈ 2 500 × 0,651 322 ≈ 1 628,3 Wh (en sommant des puissances journalières, on obtient une énergie).

5. 5

   Programme Python, par accumulation :

6. 6

   $$\text{def S(N):}$$def S(N):$$\text{total = 0}$$total = 0$$\text{for k in range(N+1):}$$for k in range(N+1):$$\text{total = total + 250 * 0.9**k}$$total = total + 250 * 0.9**k$$\text{return total}$$return total

7. 7

   Le $\text{range(N+1)}$range(N+1) est essentiel : il fait parcourir $k=0$k = 0 à $k=N$k = N inclus, soit les $N+1$N+1 termes de la somme.

8. 8

   Limite : $0,9^{N+1}$0,9^(N+1) tend vers $0$0 quand $N$N grandit, donc $S_N$S_N tend vers $2500$2 500.

9. 9

   Le total cumulé plafonne donc à $2500$2 500 Wh, quel que soit le temps d'attente.

   Contrôle : $S_{50}\approx 2500(1-0,9^{51})\approx 2488$S₅₀ ≈ 2 500(1 - 0,9⁵¹) ≈ 2 488 Wh, déjà très proche.