Exercices corrigés : Fonction inverse — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $f(4)=\frac{1}{4}=0,25$f(4) = 1/4 = 0,25.

2. 2

   $f(0,5)=\frac{1}{0,5}=2$f(0,5) = 1/0,5 = 2 : diviser par $0,5$0,5 revient à multiplier par $2$2.

3. 3

   $f(-2)=\frac{1}{-2}=-0,5$f(-2) = 1/(-2) = -0,5 : l'inverse d'un négatif est négatif.

4. 4

   $f\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{2/5}=\frac{5}{2}=2,5$f(2/5) = 1/(2/5) = 5/2 = 2,5 : l'inverse d'une fraction s'obtient en l'inversant.

5. 5

   Antécédent de $8$8 : on résout $\frac{1}{x}=8$1/x = 8, donc $x=\frac{1}{8}=0,125$x = 1/8 = 0,125.

6. 6

   Antécédent de $-0,25$-0,25 : $\frac{1}{x}=-0,25$1/x = -0,25 donne $x=\frac{1}{-0,25}=-4$x = 1/(-0,25) = -4.

7. 7

   Propriété remarquable : la fonction inverse est sa propre réciproque — chercher un antécédent, c'est encore prendre l'inverse.

Rappel de cours : $\frac{1}{x}$1/x n'est pas défini en $0$0 · l'inverse conserve le SIGNE · l'inverse d'un nombre entre $0$0 et $1$1 est supérieur à $1$1.

Erreur fréquente : Écrire $f(0,5)=0,5$f(0,5) = 0,5 : l'inverse de $0,5$0,5 vaut $2$2. Plus le nombre est petit, plus son inverse est grand.

Correction détaillée

1. 1

   Signe : $\frac{1}{x}$1/x est du même signe que $x$x.

   Donc $f(x)<0$f(x) < 0 sur $]-\infty ;0[$]-∞ ; 0[ et $f(x)>0$f(x) > 0 sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

2. 2

   Variations : $f$f est DÉCROISSANTE sur $]-\infty ;0[$]-∞ ; 0[ et DÉCROISSANTE sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

3. 3

   Vérification sur la branche positive : $f(1)=1$f(1) = 1, $f(2)=0,5$f(2) = 0,5, $f(10)=0,1$f(10) = 0,1 — les images diminuent ✔.

4. 4

   Sur la branche négative : $f(-10)=-0,1$f(-10) = -0,1, $f(-2)=-0,5$f(-2) = -0,5, $f(-1)=-1$f(-1) = -1 — elles diminuent aussi ✔.

5. 5

   Mais NON, on ne peut pas dire que $f$f est décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) : $f(-1)=-1$f(-1) = -1 et $f(1)=1$f(1) = 1, donc en passant de $-1$-1 à $1$1 l'image AUGMENTE.

6. 6

   La décroissance ne vaut donc que sur chaque intervalle séparément.

   C'est une précision de rédaction toujours attendue au bac.

Rappel de cours : La fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle de son domaine, jamais « sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) » — la valeur $0$0 coupe le domaine en deux.

Erreur fréquente : Annoncer une décroissance globale : le contre-exemple $f(-1)=-1<f(1)=1$f(-1) = -1 < f(1) = 1 suffit à la réfuter.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$f'(1) = -1/1² = -1.

2. 2

   $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}=-0,25$f'(2) = -1/4 = -0,25.

3. 3

   $f^{\prime }(-3)=-\frac{1}{(-3{)}^2}=-\frac{1}{9}\approx -0,111$f'(-3) = -1/((-3)²) = -1/9 ≈ -0,111.

4. 4

   Le dénominateur $x^2$x² est toujours STRICTEMENT POSITIF (pour $x\ne 0$x ≠ 0), donc $-\frac{1}{x^2}$-1/x² est toujours STRICTEMENT NÉGATIF.

5. 5

   On en déduit que $f$f est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine — ce que l'on avait constaté numériquement.

6. 6

   Remarque : $|f^{\prime }(x)|$|f'(x)| est d'autant plus grand que $x$x est proche de $0$0.

   En $x=0,1$x = 0,1, la pente vaut $-100$-100 : la courbe est presque verticale.

Rappel de cours : ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)' = -1/x² : négative partout, et d'autant plus grande en valeur absolue que $x$x est proche de $0$0.

Erreur fréquente : Écrire $f^{\prime }(-3)=+\frac{1}{9}$f'(-3) = +1/9 : le carré rend le dénominateur positif, et le signe moins de la formule subsiste.

Correction détaillée

1. 1

   Lecture : $f(0,5)=2$f(0,5) = 2, $f(1)=1$f(1) = 1 et $f(4)=0,25$f(4) = 0,25.

2. 2

   $f(x)=0,5$f(x) = 0,5 : on part de $0,5$0,5 sur l'axe vertical, on rejoint la courbe, on lit $x=2$x = 2.

3. 3

   Contrôle : $\frac{1}{2}=0,5$1/2 = 0,5 ✔.

4. 4

   $f(x)>1$f(x) > 1 : la courbe est au-dessus de la droite $y=1$y = 1 pour les abscisses INFÉRIEURES à $1$1.

5. 5

   Donc $f(x)>1$f(x) > 1 pour $0<x<1$0 < x < 1.

6. 6

   Observation importante sur la courbe : elle se rapproche de l'axe vertical sans le toucher quand $x$x tend vers $0$0, et de l'axe horizontal quand $x$x grandit.

   Ces deux axes sont les ASYMPTOTES de l'hyperbole.

Rappel de cours : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole : elle longe les deux axes sans jamais les atteindre.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x}=5$1/x = 5 donne $x=\frac{1}{5}=0,2$x = 1/5 = 0,2.

2. 2

   $\frac{1}{x}=-0,2$1/x = -0,2 donne $x=\frac{1}{-0,2}=-5$x = 1/(-0,2) = -5.

3. 3

   $\frac{3}{x}=12$3/x = 12 : on multiplie par $x$x puis on divise par $12$12, soit $3=12x$3 = 12x et $x=\frac{3}{12}=0,25$x = 3/12 = 0,25.

4. 4

   $\frac{1}{x}=0$1/x = 0 : cette équation n'a AUCUNE solution.

   Un quotient de numérateur $1$1 ne peut jamais être nul.

5. 5

   Justification : si $\frac{1}{x}=0$1/x = 0, en multipliant par $x$x on obtiendrait $1=0$1 = 0, ce qui est faux.

6. 6

   Interprétation graphique : la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses — c'est une asymptote, pas un point de la courbe.

Rappel de cours : $\frac{k}{x}=b⟺x=\frac{k}{b}$k/x = b ⇔ x = k/b (pour $b\ne 0$b ≠ 0) · et $\frac{k}{x}$k/x ne s'annule jamais si $k\ne 0$k ≠ 0.

Erreur fréquente : Répondre $x=0$x = 0 à la dernière équation : $0$0 est justement la valeur INTERDITE de la fonction.

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=0,5$f(2) = 0,5 et $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}=-0,25$f'(2) = -1/4 = -0,25.

2. 2

   Tangente : $y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=-0,25(x-2)+0,5$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -0,25(x-2) + 0,5.

3. 3

   En développant : $y=-0,25x+0,5+0,5=-0,25x+1$y = -0,25x + 0,5 + 0,5 = -0,25x + 1.

4. 4

   Pour la seconde question, on résout $\frac{1}{x}=-0,25x+1$1/x = -0,25x + 1 sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

5. 5

   On multiplie par $x>0$x > 0 : $1=-0,25x^2+x$1 = -0,25x² + x, soit $0,25x^2-x+1=0$0,25x² - x + 1 = 0.

6. 6

   On multiplie par $4$4 : $x^2-4x+4=0$x² - 4x + 4 = 0, c'est-à-dire $(x-2{)}^2=0$(x - 2)² = 0.

7. 7

   La seule solution est $x=2$x = 2 : la tangente ne touche la courbe QU'au point de tangence.

8. 8

   Le carré parfait obtenu n'est pas un hasard : une tangente « double » toujours son point de contact, d'où une racine double.

Rappel de cours : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y = f'(a)(x-a) + f(a) : la dérivée donne la pente, la fonction donne le point.

Erreur fréquente : Oublier de multiplier par $4$4 ou se tromper de signe : l'équation $0,25x^2-x+1=0$0,25x² - x + 1 = 0 doit conduire à un carré parfait.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{a}=50$1/a = 50 ; $\frac{1}{b}=5$1/b = 5 ; $\frac{1}{c}=0,2$1/c = 0,2 ; $\frac{1}{d}=0,02$1/d = 0,02.

2. 2

   Ordre croissant : $\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$1/d < 1/c < 1/b < 1/a, soit $0,02<0,2<5<50$0,02 < 0,2 < 5 < 50.

3. 3

   Or les nombres de départ vérifiaient $a<b<c<d$a < b < c < d.

4. 4

   L'ordre est donc RENVERSÉ : pour des nombres tous positifs, prendre l'inverse inverse le classement.

5. 5

   C'est une conséquence directe de la décroissance de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

6. 6

   Attention : ce renversement n'est garanti que si les nombres sont de MÊME signe.

   Avec $-2<3$-2 < 3, on a $-0,5<0,333$-0,5 < 0,333 : l'ordre est conservé, parce que les deux branches de l'hyperbole ne se comparent pas entre elles.

Rappel de cours : Pour $0<a<b$0 < a < b : $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$1/a > 1/b. Le passage à l'inverse renverse l'ordre sur chaque branche.

Erreur fréquente : Appliquer le renversement à des nombres de signes contraires : $-2<3$-2 < 3 mais $\frac{1}{-2}<\frac{1}{3}$1/(-2) < 1/3, l'ordre est ici conservé.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[ : on multiplie par $x$x, qui est POSITIF, donc le sens est conservé : $1<4x$1 < 4x, soit $x>\frac{1}{4}$x > 1/4.

2. 2

   Les solutions positives sont donc $x>0,25$x > 0,25.

3. 3

   Sur $]-\infty ;0[$]-∞ ; 0[ : $\frac{1}{x}$1/x est négatif, donc automatiquement inférieur à $4$4.

   TOUS les négatifs sont solutions.

4. 4

   Ensemble des solutions : $]-\infty ;0[\cup ]0,25;+\infty [$]-∞ ; 0[ ∪ ]0,25 ; +∞[.

5. 5

   Contrôle : $x=-1$x = -1 donne $\frac{1}{-1}=-1<4$1/(-1) = -1 < 4 ✔ ; $x=0,1$x = 0,1 donne $10>4$10 > 4 ✘ (non solution) ; $x=1$x = 1 donne $1<4$1 < 4 ✔.

6. 6

   Méthode à retenir : on ne multiplie JAMAIS une inéquation par $x$x sans discuter son signe.

   On traite les deux branches séparément.

Rappel de cours : Multiplier par $x$x exige de connaître son signe : positif, le sens est conservé ; négatif, il s'inverse.

Erreur fréquente : Répondre « $x>0,25$x > 0,25 » : on oublierait toute la branche négative, pourtant entièrement solution.

Correction détaillée

1. 1

   $t(120)=\frac{3600}{120}=30$t(120) = (3 600)/120 = 30 heures.

2. 2

   $t(240)=\frac{3600}{240}=15$t(240) = (3 600)/240 = 15 heures.

3. 3

   La cadence a doublé, le temps a été divisé par deux : c'est la signature d'une proportionnalité INVERSE.

4. 4

   Si la cadence est multipliée par $3$3 : $t(3c)=\frac{3600}{3c}=\frac{1}{3}\times \frac{3600}{c}=\frac{t(c)}{3}$t(3c) = (3 600)/3c = 1/3×(3 600)/c = t(c)/3.

5. 5

   Le temps est donc divisé par $3$3.

6. 6

   Cadence pour $15$15 heures : on résout $\frac{3600}{c}=15$(3 600)/c = 15, donc $15c=3600$15c = 3 600 et $c=240$c = 240 pièces par heure ✔ cohérent avec la première question.

7. 7

   Le produit $t\times c$t × c vaut toujours $3600$3 600 : c'est la caractéristique d'une proportionnalité inverse (le PRODUIT est constant, et non le quotient).

Rappel de cours : Proportionnalité inverse : $t\times c=\text{constante}$t × c = constante, donc $t=\frac{k}{c}$t = k/c. C'est le produit qui est constant.

Erreur fréquente : Croire que doubler la cadence fait « gagner deux heures » : elle divise le temps par deux, ce qui en fait gagner $15$15.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=6\times \frac{1}{x}$f(x) = 6×1/x, donc $f^{\prime }(x)=6\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{6}{x^2}$f'(x) = 6×(-1/x²) = -6/x².

2. 2

   $g$g se dérive terme à terme : la dérivée de $3x$3x est $3$3, celle de $\frac{12}{x}$12/x est $-\frac{12}{x^2}$-12/x².

3. 3

   Donc $g^{\prime }(x)=3-\frac{12}{x^2}$g'(x) = 3 - 12/x².

4. 4

   $h^{\prime }(x)=-\frac{5}{x^2}+0=-\frac{5}{x^2}$h'(x) = -5/x² + 0 = -5/x² (la dérivée de la constante $-2$-2 est nulle).

5. 5

   Remarque sur $g^{\prime }$g' : contrairement à $f^{\prime }$f' et $h^{\prime }$h', elle n'est pas de signe constant.

   $g^{\prime }(x)=0$g'(x) = 0 donne $x^2=4$x² = 4, soit $x=2$x = 2 sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

6. 6

   C'est ce type de dérivée qui donne lieu à un OPTIMUM, et donc aux problèmes de minimisation de coût étudiés plus loin.

Rappel de cours : ${\left(\frac{k}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{k}{x^2}$(k/x)' = -k/x² : le coefficient reste devant, le signe moins apparaît.

Erreur fréquente : Dériver $\frac{12}{x}$12/x en $-\frac{1}{x^2}$-1/x² : le coefficient $12$12 ne disparaît pas.

Correction détaillée

1. 1

   $F(200)=\frac{9600}{200}=48$F(200) = (9 600)/200 = 48 € par pièce.

2. 2

   $F(400)=24$F(400) = 24 € par pièce et $F(1200)=8$F(1 200) = 8 € par pièce.

3. 3

   $F^{\prime }(q)=-\frac{9600}{q^2}$F'(q) = -(9 600)/q², toujours négative : le coût fixe unitaire DÉCROÎT quand la production augmente.

4. 4

   C'est l'effet d'échelle : les mêmes charges fixes se répartissent sur davantage de pièces.

5. 5

   Seuil : $\frac{9600}{q}<10$(9 600)/q < 10 donne (en multipliant par $q>0$q > 0) $9600<10q$9 600 < 10q, soit $q>960$q > 960.

6. 6

   Il faut donc produire plus de $960$960 pièces par mois.

7. 7

   Contrôle : $F(960)=10$F(960) = 10 € exactement, et $F(1000)=9,60$F(1 000) = 9,60 € ✔.

8. 8

   Observation économique : passer de $200$200 à $400$400 pièces fait gagner $24$24 € par pièce ; passer de $1000$1 000 à $1200$1 200 n'en fait gagner que $1,60$1,60.

   L'effet d'échelle s'épuise — c'est exactement ce que dit $F^{\prime }(q)=-\frac{9600}{q^2}$F'(q) = -(9 600)/q², qui tend vers $0$0.

Rappel de cours : Coût fixe unitaire $=\frac{\text{charges fixes}}{\text{quantiteˊ}}$= (charges fixes)/quantité : une fonction inverse, donc décroissante, mais jamais nulle.

Erreur fréquente : Croire que le coût unitaire peut devenir nul : $\frac{9600}{q}$(9 600)/q tend vers $0$0 sans l'atteindre, quelle que soit la production.

Correction détaillée

1. 1

   $i(u)=\frac{600}{u}$i(u) = 600/u : l'intensité est inversement proportionnelle à la tension.

2. 2

   $i(12)=\frac{600}{12}=50$i(12) = 600/12 = 50 A.

3. 3

   $i(48)=\frac{600}{48}=12,5$i(48) = 600/48 = 12,5 A.

4. 4

   $i(230)=\frac{600}{230}\approx 2,61$i(230) = 600/230 ≈ 2,61 A.

5. 5

   Pour la même puissance, multiplier la tension par $\approx 19$≈ 19 (de $12$12 à $230$230 V) divise l'intensité d'autant.

6. 6

   Or les pertes en ligne valent $R{i}^2$R i² : elles dépendent du CARRÉ de l'intensité.

   Diviser $i$i par $19$19 divise les pertes par $19^2\approx 361$19² ≈ 361.

7. 7

   C'est pourquoi l'électricité est transportée sous très haute tension : à puissance égale, cela réduit l'intensité, donc les pertes par échauffement des câbles.

8. 8

   Contrôle : à $50$50 A dans un câble de $0,1\Omega$0,1 Ω, les pertes valent $0,1\times 2500=250$0,1× 2 500 = 250 W — soit $42\%$42% des $600$600 W transportés !

   À $2,61$2,61 A, elles tombent à $0,68$0,68 W.

Rappel de cours : À puissance constante, $u$u et $i$i sont inversement proportionnels : $i=\frac{P}{u}$i = P/u.

Erreur fréquente : Croire que doubler la tension double l'intensité : à puissance constante, elle la DIVISE par deux.

Correction détaillée

1. 1

   $f(0,1)=10$f(0,1) = 10 ; $f(0,01)=100$f(0,01) = 100 ; $f(0,001)=1000$f(0,001) = 1 000.

2. 2

   Quand $x$x se rapproche de $0$0 par valeurs positives, $f(x)$f(x) devient arbitrairement GRAND : on dit que $f(x)$f(x) tend vers $+\infty$+∞.

3. 3

   Graphiquement, la courbe s'envole le long de l'axe vertical, qui est une asymptote.

4. 4

   $f(100)=0,01$f(100) = 0,01 ; $f(10000)=10^{-4}$f(10 000) = 10⁻⁴ ; $f(10^6)=10^{-6}$f(10⁶) = 10⁻⁶.

5. 5

   Quand $x$x devient très grand, $f(x)$f(x) se rapproche de $0$0 sans jamais l'atteindre : la courbe s'écrase le long de l'axe horizontal, l'autre asymptote.

6. 6

   Pour $x$x négatif proche de $0$0 : $f(-0,1)=-10$f(-0,1) = -10, $f(-0,01)=-100$f(-0,01) = -100.

   La fonction tend vers $-\infty$-∞.

7. 7

   Les deux branches se comportent donc symétriquement : elles fuient l'axe vertical, l'une vers le haut, l'autre vers le bas.

8. 8

   Conséquence pour la modélisation : un modèle en $\frac{k}{x}$k/x « explose » près de $x=0$x = 0.

   En pratique, il faut donc toujours préciser un domaine où il reste crédible (une cadence nulle ne donne pas un temps infini, elle ne donne rien du tout).

Rappel de cours : Axe des ordonnées : asymptote VERTICALE · axe des abscisses : asymptote HORIZONTALE. La courbe les longe sans jamais les toucher.

Erreur fréquente : Écrire $f(0)=+\infty$f(0) = +∞ : la fonction n'est pas définie en $0$0. On parle de comportement AU VOISINAGE de $0$0, pas d'une valeur.

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1. 1

   $\frac{1}{R}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}$1/R = 1/30 + 1/60.

   On met au même dénominateur : $\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}$2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20.

2. 2

   Donc $R=20\Omega$R = 20 Ω.

3. 3

   Remarque essentielle : $20\Omega$20 Ω est INFÉRIEUR aux deux résistances.

   Un montage en parallèle diminue toujours la résistance.

4. 4

   Démonstration de la formule : $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2+R_1}{R_1{R}_2}$1/R = 1/R₁ + 1/R₂ = (R₂ + R₁)/R₁R₂.

5. 5

   En prenant l'inverse des deux membres : $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$R = R₁R₂/(R₁ + R₂) ✔.

6. 6

   Contrôle : $\frac{30\times 60}{90}=\frac{1800}{90}=20\Omega$(30× 60)/90 = (1 800)/90 = 20 Ω ✔.

7. 7

   Cas de deux résistances égales : $R=\frac{r\times r}{2r}=\frac{r}{2}$R = (r × r)/2r = r/2.

   Deux résistors identiques en parallèle donnent la MOITIÉ de la résistance.

Rappel de cours : En parallèle, ce sont les INVERSES des résistances qui s'additionnent. La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des deux.

Erreur fréquente : Écrire $R=R_1+R_2=90\Omega$R = R₁ + R₂ = 90 Ω : c'est la formule du montage en SÉRIE. En parallèle, la résistance diminue.

Correction détaillée

1. 1

   $f(1)=1+9=10$f(1) = 1 + 9 = 10 ; $f(3)=3+3=6$f(3) = 3 + 3 = 6 ; $f(9)=9+1=10$f(9) = 9 + 1 = 10.

2. 2

   On remarque que $f(1)=f(9)$f(1) = f(9) : la fonction descend puis remonte.

3. 3

   $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}$f'(x) = 1 - 9/x².

4. 4

   $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0 donne $\frac{9}{x^2}=1$9/x² = 1, soit $x^2=9$x² = 9 et $x=3$x = 3 (la solution $-3$-3 est hors du domaine).

5. 5

   Signe : pour $x<3$x < 3, $\frac{9}{x^2}>1$9/x² > 1 donc $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 ; pour $x>3$x > 3, $\frac{9}{x^2}<1$9/x² < 1 donc $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0.

6. 6

   $f$f est donc DÉCROISSANTE sur $]0;3]$]0 ; 3] puis CROISSANTE sur $[3;+\infty [$[3 ; +∞[.

7. 7

   Le minimum est $f(3)=6$f(3) = 6, atteint en $x=3$x = 3.

8. 8

   Contrôle : $f(2)=2+4,5=6,5$f(2) = 2 + 4,5 = 6,5 et $f(4)=4+2,25=6,25$f(4) = 4 + 2,25 = 6,25, tous deux supérieurs à $6$6 ✔.

9. 9

   Résultat général à connaître : $x+\frac{k}{x}$x + k/x est minimale en $x=\sqrt{k}$x = √(k), et son minimum vaut $2\sqrt{k}$2√(k).

   Ici $\sqrt{9}=3$√9 = 3 et $2\sqrt{9}=6$2 √9 = 6 ✔.

Rappel de cours : $x+\frac{k}{x}$x + k/x atteint son minimum en $x=\sqrt{k}$x = √(k), avec pour valeur $2\sqrt{k}$2√(k).

Erreur fréquente : Conclure que $f$f est décroissante parce qu'elle contient un inverse : le terme $x$x finit par l'emporter, d'où le minimum.

Correction détaillée

1. 1

   $C(20)=40+90=130$C(20) = 40 + 90 = 130 € ; $C(30)=60+60=120$C(30) = 60 + 60 = 120 € ; $C(50)=100+36=136$C(50) = 100 + 36 = 136 €.

2. 2

   $C^{\prime }(x)=2-\frac{1800}{x^2}$C'(x) = 2 - (1 800)/x².

3. 3

   $C^{\prime }(x)=0$C'(x) = 0 donne $\frac{1800}{x^2}=2$(1 800)/x² = 2, soit $x^2=900$x² = 900 et $x=30$x = 30 (seule solution positive).

4. 4

   Signe : $C^{\prime }$C' est négative pour $x<30$x < 30 et positive pour $x>30$x > 30 : $C$C décroît puis croît, le minimum est bien en $x=30$x = 30.

5. 5

   Coût minimal : $C(30)=60+60=120$C(30) = 60 + 60 = 120 € par an.

6. 6

   Observation frappante : à l'optimum, les deux postes sont ÉGAUX ($60$60 € de stockage et $60$60 € de passation).

7. 7

   Ce n'est pas un hasard : à l'optimum, $2x=\frac{1800}{x}$2x = (1 800)/x (c'est l'équation $C^{\prime }(x)=0$C'(x) = 0 réécrite), donc les deux coûts se valent.

8. 8

   C'est le résultat classique de la gestion des stocks : la taille de lot économique équilibre coût de stockage et coût de commande.

9. 9

   Contrôle de l'écart : commander par lots de $20$20 ou de $50$50 coûte $130$130 ou $136$136 € au lieu de $120$120 € — soit $8$8 à $13\%$13% de surcoût.

Rappel de cours : À l'optimum d'un coût $ax+\frac{b}{x}$ax + b/x, les deux termes sont égaux, et $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$x = √(b/a).

Erreur fréquente : Chercher le minimum en annulant $C(x)$C(x) : le coût ne s'annule jamais, c'est sa DÉRIVÉE qu'on annule.

Correction détaillée

1. 1

   $t(50)=\frac{4500}{50}=90$t(50) = (4 500)/50 = 90 minutes et $t(150)=\frac{4500}{150}=30$t(150) = (4 500)/150 = 30 minutes.

2. 2

   Énergie (à une constante près) : $E(d)=0,02d^2\times \frac{4500}{d}$E(d) = 0,02d²× (4 500)/d.

3. 3

   On simplifie : $E(d)=0,02\times 4500\times \frac{d^2}{d}=90d$E(d) = 0,02 × 4 500 × d²/d = 90 d.

4. 4

   L'énergie consommée est donc PROPORTIONNELLE au débit : elle croît linéairement, sans minimum sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

5. 5

   Vérification : à $d=50$d = 50, $E=4500$E = 4 500 (unités arbitraires) ; à $d=150$d = 150, $E=13500$E = 13 500 — trois fois plus pour un remplissage trois fois plus rapide.

6. 6

   Conclusion : plus on pompe vite, plus on dépense d'énergie.

   Le débit le plus économe est le plus FAIBLE possible, mais il n'y a pas d'optimum interne — le choix résulte d'un compromis avec le temps disponible.

7. 7

   Si l'on devait minimiser une combinaison « énergie + valeur du temps », par exemple $90d+\frac{9000}{d}$90d + (9 000)/d, on retrouverait un problème du type $ax+\frac{b}{x}$ax + b/x, avec un optimum en $d=\sqrt{100}=10$d = √(100) = 10 L/min.

8. 8

   Leçon de méthode : avant de dériver, il faut SIMPLIFIER l'expression.

   Ici, ce qui ressemblait à un problème d'optimisation s'est révélé linéaire.

Rappel de cours : $d^2\times \frac{1}{d}=d$d²× 1/d = d : simplifier avant de dériver évite bien des calculs inutiles.

Erreur fréquente : Dériver $0,02d^2\times \frac{4500}{d}$0,02d²×(4 500)/d comme un produit sans simplifier : le calcul est faisable mais bien plus long, et l'on manque la conclusion (c'est une fonction linéaire).