En Terminale STI2D, les automatismes restent le socle : ils ne font pas l'objet d'un chapitre spécifique mais d'un entraînement régulier, souvent à l'oral et sans calculatrice, tout au long de l'année.

Au programme : proportions et pourcentages ; application et calcul d'un taux d'évolution, évolutions successives, taux réciproque et coefficient multiplicateur $1 + \frac{t}{100}$ 1+t/100 ; calcul numérique et algébrique (équation produit nul, signe d'une expression du premier degré, développement et factorisation) ; lectures graphiques (résolution de $f (x) = k$ f(x)=k, tableau de signes, équation réduite d'une droite).

S'y ajoute la lecture critique des représentations de données chiffrées : diagrammes, histogrammes, échelles et troncatures d'axes. Piège classique : confondre une évolution en points et une évolution en pourcentage — passer de $15%$ 15% à $18%$ 18%, c'est $+ 3$ +3 points, soit $+ 20%$ +20%.

Automatismes en Terminale STI2D : cours complet

Proportions et évolutions

Propriété — Proportion d'une proportion. Si une partie $B$ B représente une proportion $p_{1}$ p₁ de $A$ A, et $A$ A une proportion $p_{2}$ p₂ de $E$ E, alors $B$ B représente $p_{1} \times p_{2}$ p₁ × p₂ de $E$ E.

Exemple. $40 %$ 40 % des salariés d'une usine travaillent en production, et $60 %$ 60 % d'entre eux sont techniciens : $0, 6 \times 0, 4 = 0, 24$ 0,6 × 0,4 = 0,24, soit $24 %$ 24 % des salariés.

Propriété — Indice de base 100. Si $V_{0}$ V₀ est la valeur de référence, l'indice de $V$ V est $I = 100 \times \frac{V}{V _{0}}$ I = 100 × V/V₀. Un indice de $112$ 112 signifie une hausse de $12 %$ 12 % par rapport à la référence ; entre deux indices $I_{1}$ I₁ et $I_{2}$ I₂, le taux d'évolution est $\frac{I _{2} - I _{1}}{I _{1}}$ (I₂ - I₁)/I₁.

Exemple. Le prix de l'électricité passe de l'indice $100$ 100 (2022) à $115$ 115 (2024) puis $120$ 120 (2025). Entre 2024 et 2025 : $\frac{120 - 115}{115} \approx 4, 3 %$ (120 - 115)/115 ≈ 4,3 % (et non $5 %$ 5 %).

Méthode — Évolutions. $C M = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100 ; évolutions successives : produit des $C M$ CM ; réciproque : $\frac{1}{C M}$ 1/CM. Une grandeur qui évolue chaque année du même pourcentage est modélisée par une suite géométrique de raison $C M$ CM.

Calcul numérique

Propriété — Puissances. $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m) × aⁿ = a^(m+n) ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ a^(m)/aⁿ = a^(m-n) ; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (a^(m))ⁿ = a^(mn) ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Écriture scientifique : $a \times 1 0^{n}$ a × 10ⁿ avec $1 \leq a < 10$ 1 ≤ a < 10.

Exemple. $\frac{6 \times 1 0 ^{5} \times 4 \times 1 0 ^{- 2}}{8 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{24}{8} \times 1 0^{5 - 2 + 3} = 3 \times 1 0^{6}$ (6 × 10⁵ × 4 × 10⁻²)/(8 × 10⁻³) = 24/8 × 10^(5 - 2 + 3) = 3 × 10⁶.

Méthode — Conversions d'unités. $1$ 1 m/s $= 3, 6$ = 3,6 km/h ; $1$ 1 kWh $= 3, 6 \times 1 0^{6}$ = 3,6 × 10⁶ J ; $1$ 1 L $= 1$ = 1 dm $^{3} = 1 0^{- 3}$ ³ = 10⁻³ m $^{3}$ ³ ; $1$ 1 h $= 3600$ = 3 600 s.

Exemple. $90$ 90 km/h $= \frac{90}{3 , 6} = 25$ = 90/3,6 = 25 m/s. Un appareil de $2$ 2 kW fonctionnant $3$ 3 h consomme $6$ 6 kWh, soit $2, 16 \times 1 0^{7}$ 2,16 × 10⁷ J.

Calcul algébrique

Méthode — Isoler une variable. On applique les mêmes opérations aux deux membres. $P = U I ⟺ I = \frac{P}{U}$ P = UI ⇔ I = P/U ; $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} ⟺ v^{2} = \frac{2 E _{c}}{m} ⟺ v = \frac{2 E _{c}}{m}$ E_c = 1/2mv² ⇔ v² = 2E_c/m ⇔ v = √(2E_c/m) ( $v > 0$ v > 0).

Propriété — Équation $x^{2} = a$ x² = a. Si $a > 0$ a > 0 : deux solutions $a$ √a et $- a$ - √a ; si $a = 0$ a = 0 : une solution $0$ 0 ; si $a < 0$ a < 0 : aucune solution réelle.

Méthode — Factoriser. $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ x² - 9 = (x - 3)(x + 3) ; $x^{2} - \frac{4}{9} = (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{2}{3})$ x² - 4/9 = (x - 2/3)(x + 2/3) ; $4 x^{2} - k^{2} = (2 x - k) (2 x + k)$ 4x² - k² = (2x - k)(2x + k).

Méthode — Signe d'un trinôme factorisé : image mentale. $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) : la parabole coupe l'axe en $x_{1}$ x₁ et $x_{2}$ x₂ ; elle est tournée vers le haut si $a > 0$ a > 0, vers le bas si $a < 0$ a < 0. Ainsi $f (x)$ f(x) est du signe de $a$ a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles.

Exemple. $- 2 (x - 1) (x - 3)$ -2(x - 1)(x - 3) : parabole tournée vers le bas, racines $1$ 1 et $3$ 3. L'expression est positive sur $] 1; 3 [$ ]1 ;3[, négative sur $] - \infty; 1 [$ ]-∞ ;1[ et sur $] 3; + \infty [$ ]3 ;+∞[.

Dérivée et tangente

Propriété — Polynômes de degré au plus 3. $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ (x³)' = 3x² ; $(x^{2})^{'} = 2 x$ (x²)' = 2x ; $(m x + p)^{'} = m$ (mx + p)' = m ; $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ (u + v)' = u' + v' ; $(k u)^{'} = k u^{'}$ (ku)' = ku'. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ a est $f^{'} (a)$ f'(a).

Exemple. $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 1$ f(x) = x³ - 4x² + 1 : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x$ f'(x) = 3x² - 8x ; au point d'abscisse $2$ 2, la tangente a pour coefficient directeur $f^{'} (2) = 12 - 16 = - 4$ f'(2) = 12 - 16 = -4. Signe de $f^{'}$ f' et variations : $f^{'} (x) = x (3 x - 8)$ f'(x) = x(3x - 8) est négatif entre $0$ 0 et $\frac{8}{3}$ 8/3, donc $f$ f y est décroissante.

Lectures graphiques et données

Méthode — Lire un graphique. Repérer l'origine, les unités et l'échelle de chaque axe ; une image se lit sur l'axe des ordonnées, un antécédent sur l'axe des abscisses ; les solutions de $f (x) = k$ f(x) = k sont les abscisses des points d'ordonnée $k$ k. Pour une droite : ordonnée à l'origine et coefficient directeur $\frac{Δ y}{Δ x}$ (Δ y)/(Δ x). Pour une tangente, on lit $\frac{Δ y}{Δ x}$ (Δ y)/(Δ x) entre deux points de la tangente.

Méthode — Diagrammes. Diagramme circulaire : angle proportionnel à l'effectif ( $36 0^{\circ}$ 360° pour le total) ; diagramme en boîte : minimum, $Q_{1}$ Q₁, médiane, $Q_{3}$ Q₃, maximum ; histogramme : aire proportionnelle à l'effectif.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Additionner des pourcentages successifs, ou soustraire des indices pour obtenir un taux.
Oublier la solution négative de $x^{2} = a$ x² = a.
Se tromper de sens de parabole quand $a < 0$ a < 0.
Confondre $f (a)$ f(a) (ordonnée) et $f^{'} (a)$ f'(a) (pente de la tangente).
Oublier de convertir les unités avant une application numérique.

Fiche de synthèse

Proportions	proportion d'une proportion : produit
Indices	$I = 100 \times \frac{V}{V _{0}}$ I = 100 × V/V₀ ; taux entre indices : $\frac{I _{2} - I _{1}}{I _{1}}$ (I₂ - I₁)/I₁
Puissances	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)aⁿ = a^(m+n) ; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (a^(m))ⁿ = a^(mn) ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ = 1/aⁿ
$x^{2} = a$ x² = a	$a > 0$ a > 0 : $\pm a$ ± √a ; $a < 0$ a < 0 : pas de solution
Trinôme factorisé	signe de $a$ a à l'extérieur des racines
Tangente	coefficient directeur $f^{'} (a)$ f'(a)

Exercices d'application

Exercice 1 – Indices

Un loyer passe de l'indice $100$ 100 à l'indice $108$ 108, puis à $113, 4$ 113,4. Calculer le taux d'évolution entre les deux derniers indices.

Exercice 2 – Écriture scientifique

Calculer $\frac{3 \times 1 0 ^{4} \times 5 \times 1 0 ^{- 6}}{2 \times 1 0 ^{- 3}}$ (3 × 10⁴ × 5 × 10⁻⁶)/(2 × 10⁻³).

Exercice 3 – Isoler

Dans la formule $R = \frac{ρ L}{S}$ R = (ρ L)/S, exprimer $L$ L en fonction de $R$ R, $ρ$ ρ et $S$ S.

Exercice 4 – Signe

Donner sans calcul le signe de $3 (x + 2) (x - 5)$ 3(x + 2)(x - 5) selon les valeurs de $x$ x.

Exercice 5 – Tangente

Soit $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ f(x) = 2x³ - 6x. Calculer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$ 1.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $\frac{113 , 4 - 108}{108} = 0, 05$ (113,4 - 108)/108 = 0,05 : hausse de $5 %$ 5 %.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $\frac{15 \times 1 0 ^{- 2}}{2 \times 1 0 ^{- 3}} = 7, 5 \times 1 0^{1} = 75$ (15 × 10⁻²)/(2 × 10⁻³) = 7,5 × 10¹ = 75.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $R S = ρ L$ RS = ρ L, donc $L = \frac{R S}{ρ}$ L = RS/ρ.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. Parabole tournée vers le haut ( $3 > 0$ 3 > 0), racines $- 2$ -2 et $5$ 5 : positif sur $] - \infty; - 2 [$ ]-∞ ;-2[ et $] 5; + \infty [$ ]5 ;+∞[, négatif sur $] - 2; 5 [$ ]-2 ;5[, nul en $- 2$ -2 et $5$ 5.

Corrigé de l'exercice 5

Corrigé. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6$ f'(x) = 6x² - 6, donc $f^{'} (1) = 0$ f'(1) = 0 : la tangente est horizontale.

Automatismes en Terminale STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Proportions, évolutions et calculs rapides

Plaquette 2 – Proportions et pourcentages sans calculatrice

Plaquette 3 – Évolutions, coefficients et taux moyen

Plaquette 4 – Puissances de dix, unités et ordres de grandeur

Plaquette 5 – Lectures graphiques et problèmes de synthèse

Leçon complète