Exercices corrigés : Séries statistiques à deux variables — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$x̅ = (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3 bars.

2. 2

   Somme des puissances : $22+31+42+55+70=220$22 + 31 + 42 + 55 + 70 = 220, donc $\overline{y}=\frac{220}{5}=44$y̅ = 220/5 = 44 kW.

3. 3

   Le point moyen est $G(3;44)$G(3 ; 44).

4. 4

   Test : $12\times 3+8=36+8=44$12 × 3 + 8 = 36 + 8 = 44 ✔ La droite passe exactement par $G$G.

5. 5

   C'est une propriété de TOUTE droite des moindres carrés : elle passe par le point moyen du nuage.

   Le test $a\overline{x}+b=\overline{y}$ax̅ + b = y̅ valide donc l'équation obtenue à la calculatrice.

Rappel de cours : La droite des moindres carrés passe TOUJOURS par $G(\overline{x};\overline{y})$G(x̅ ; y̅) : c'est le contrôle le plus rapide.

Erreur fréquente : Vérifier le passage par un point du nuage : la droite ne passe généralement par AUCUN point mesuré.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient directeur $12$12 : chaque bar de pression supplémentaire fait consommer $12$12 kW de plus.

2. 2

   Ordonnée à l'origine $8$8 : c'est la puissance prévue à pression nulle, soit $8$8 kW.

   Elle s'interprète comme la consommation à vide du compresseur (frottements, entraînement), à condition de rester prudent puisque $x=0$x = 0 est hors de la plage mesurée.

3. 3

   Prévision à $3,5$3,5 bars : $y=12\times 3,5+8=42+8=50$y = 12 × 3,5 + 8 = 42 + 8 = 50 kW.

4. 4

   Pression pour $50$50 kW : on résout $12x+8=50$12x + 8 = 50, donc $12x=42$12x = 42 et $x=3,5$x = 3,5 bars.

5. 5

   Les deux dernières questions sont réciproques l'une de l'autre, et les réponses se correspondent ✔.

6. 6

   Les deux valeurs sont dans la plage $[1;5]$[1 ; 5] : il s'agit d'INTERPOLATION, donc de prévisions fiables.

Rappel de cours : Prévoir $y$y : on remplace $x$x. Prévoir $x$x : on résout l'équation. Et l'on vérifie toujours qu'on reste dans la plage des mesures.

Erreur fréquente : Interpréter l'ordonnée à l'origine sans réserve : $x=0$x = 0 est souvent en dehors du domaine étudié.

Correction détaillée

1. 1

   Écarts successifs de $y$y : $5$5, $10$10, $20$20, $40$40 — ils DOUBLENT à chaque fois.

2. 2

   Le nuage n'est donc pas aligné : il s'incurve fortement vers le haut.

   Un ajustement affine serait inadapté.

3. 3

   Calcul de $z=\log y$z = log y : $\log 5\approx 0,699$log 5 ≈ 0,699 ; $\log 10=1$log 10 = 1 ; $\log 20\approx 1,301$log 20 ≈ 1,301 ; $\log 40\approx 1,602$log 40 ≈ 1,602 ; $\log 80\approx 1,903$log 80 ≈ 1,903.

4. 4

   Écarts successifs de $z$z : $0,301$0,301 ; $0,301$0,301 ; $0,301$0,301 ; $0,301$0,301.

5. 5

   Ces écarts sont CONSTANTS : le nuage $(x;z)$(x ; z) est, lui, parfaitement aligné.

6. 6

   C'est tout le principe du changement de variable : une croissance multiplicative sur $y$y devient additive sur $\log y$log y.

Rappel de cours : Une suite de valeurs multipliées par un coefficient constant donne des logarithmes en progression ARITHMÉTIQUE.

Erreur fréquente : Calculer $\log y$log y et conclure sans regarder les écarts : c'est leur constance qui prouve l'alignement.

Correction détaillée

1. 1

   Série A : écarts $7$7, $7$7, $7$7 — constants.

   Le nuage est aligné, un ajustement AFFINE convient directement.

2. 2

   Série B : quotients $0,5$0,5 ; $0,5$0,5 ; $0,5$0,5 — constants.

   C'est une décroissance multiplicative : on posera $z=\log y$z = log y pour obtenir un nuage aligné.

3. 3

   Série C : écarts $12$12, $20$20, $28$28 — non constants ; quotients $4$4 ; $2,25$2,25 ; $1,78$1,78 — non constants non plus.

4. 4

   Mais $4=2^2$4 = 2², $16=4^2$16 = 4², $36=6^2$36 = 6², $64=8^2$64 = 8² : les valeurs sont des CARRÉS de nombres en progression arithmétique.

   On posera $z=\sqrt{y}$z = √(y) (ou l'on travaillera en $\log$log-$\log$log).

5. 5

   Méthode générale : écarts constants $\to$→ affine · quotients constants $\to$→ exponentiel ($z=\log y$z = log y) · sinon, on teste $\sqrt{y}$√(y), $\frac{1}{y}$1/y, ou $\log$log des deux variables.

Rappel de cours : Écarts constants $\Rightarrow$⇒ modèle affine · QUOTIENTS constants $\Rightarrow$⇒ modèle exponentiel.

Erreur fréquente : Se contenter d'un ajustement affine sur la série B : la calculatrice donnera une droite, mais elle décrira mal un nuage qui s'écrase.

Correction détaillée

1. 1

   $x=25$x = 25 : $y=-1,8\times 25+96=-45+96=51$y = -1,8 × 25 + 96 = -45 + 96 = 51.

2. 2

   $x=60$x = 60 : $y=-1,8\times 60+96=-108+96=-12$y = -1,8× 60 + 96 = -108 + 96 = -12.

3. 3

   $25\in [10;40]$25 ∈ [10 ; 40] : c'est une INTERPOLATION, fiable.

4. 4

   $60\notin [10;40]$60 ∉ [10 ; 40] : c'est une EXTRAPOLATION, et elle donne une valeur NÉGATIVE.

5. 5

   $y=0$y = 0 : $-1,8x+96=0$-1,8x + 96 = 0 donne $x=\frac{96}{1,8}\approx 53,3$x = 96/1,8 ≈ 53,3.

6. 6

   Ce résultat n'a de sens que si la grandeur $y$y peut réellement s'annuler.

   S'il s'agit d'une masse, d'une concentration ou d'un rendement, le modèle affine devient absurde bien avant : il faudrait un modèle décroissant vers une valeur limite (par exemple exponentiel).

7. 7

   Règle de rédaction : toute valeur prédite hors de la plage des mesures doit être signalée comme telle, et confrontée au sens physique.

Rappel de cours : Un ajustement n'est valable que sur la plage des mesures. Au-delà, il faut signaler l'extrapolation.

Erreur fréquente : Annoncer $-12$-12 comme une prévision : c'est le signal que le modèle est sorti de son domaine de validité.

Correction détaillée

1. 1

   Les points $(x;z)$(x ; z) étant parfaitement alignés, la droite des moindres carrés passe par tous les points.

2. 2

   Coefficient directeur : $a=\frac{1,903-0,699}{4-0}=\frac{1,204}{4}=0,301$a = (1,903 - 0,699)/(4 - 0) = 1,204/4 = 0,301.

3. 3

   Ordonnée à l'origine : c'est $z$z pour $x=0$x = 0, soit $b=0,699$b = 0,699.

4. 4

   Donc $z=0,301x+0,699$z = 0,301x + 0,699.

5. 5

   Point moyen : $\overline{x}=2$x̅ = 2 et $\overline{z}=\frac{0,699+1+1,301+1,602+1,903}{5}=\frac{6,505}{5}=1,301$z̅ = (0,699 + 1 + 1,301 + 1,602 + 1,903)/5 = 6,505/5 = 1,301.

6. 6

   Test : $0,301\times 2+0,699=0,602+0,699=1,301$0,301× 2 + 0,699 = 0,602 + 0,699 = 1,301 ✔ La droite passe par $G(2;1,301)$G(2 ; 1,301).

7. 7

   Remarque : $\overline{z}=1,301=\log 20$z̅ = 1,301 = log 20, et $20$20 est justement la valeur CENTRALE de la série $y$y.

   La moyenne des logarithmes correspond au logarithme de la moyenne géométrique, pas de la moyenne arithmétique (qui vaut $31$31).

Rappel de cours : Après changement de variable, on ajuste $(x;z)$(x ; z) comme un nuage ordinaire : mêmes formules, mêmes contrôles.

Erreur fréquente : Calculer la moyenne de $z$z à partir de la moyenne de $y$y : $\log (\overline{y})=\log 31\approx 1,491\ne \overline{z}=1,301$log(y̅) = log 31 ≈ 1,491 ≠ z̅ = 1,301.

Correction détaillée

1. 1

   Comme $z=\log y$z = log y, on a $y=10^z$y = 10^(z), donc $y=10^{0,301x+0,699}$y = 10^(0,301x + 0,699).

2. 2

   On sépare les exposants : $y=10^{0,699}\times {\left(10^{0,301}\right)}^x$y = 10^(0,699) × (10^(0,301))^(x).

3. 3

   Or $10^{0,699}\approx 5$10^(0,699) ≈ 5 et $10^{0,301}\approx 2$10^(0,301) ≈ 2.

4. 4

   Donc $y\approx 5\times 2^x$y ≈ 5 × 2^(x).

5. 5

   C'est un modèle EXPONENTIEL de base $2$2 : la population double chaque heure, en partant de $5$5 milliers par mL.

6. 6

   Taux de croissance : $+100\%$+100% par heure.

7. 7

   Contrôle sur les données : $5$5, $10$10, $20$20, $40$40, $80$80 ✔ le modèle reproduit exactement les relevés.

Rappel de cours : $z=ax+b$z = ax + b avec $z=\log y$z = log y donne $y=10^b\times {\left(10^a\right)}^x$y = 10^(b)×(10^(a))^(x) : le coefficient $a$a fabrique la BASE, $b$b le coefficient initial.

Erreur fréquente : Écrire $y=0,301x+0,699$y = 0,301x + 0,699 : c'est l'équation en $z$z, pas en $y$y. Il faut repasser à la puissance de $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   Le nuage $(x;y)$(x ; y) n'est pas aligné : de $x=2$x = 2 à $x=4$x = 4, $y$y chute de $15$15 minutes, mais de $x=5$x = 5 à $x=10$x = 10, il ne baisse que de $6$6 minutes.

2. 2

   Calcul de $t=\frac{1}{x}$t = 1/x : $0,5$0,5 ; $0,25$0,25 ; $0,2$0,2 ; $0,1$0,1.

3. 3

   Nuage $(t;y)$(t ; y) : $(0,5;30)$(0,5 ; 30), $(0,25;15)$(0,25 ; 15), $(0,2;12)$(0,2 ; 12), $(0,1;6)$(0,1 ; 6).

4. 4

   Quotients $\frac{y}{t}$y/t : $60$60 ; $60$60 ; $60$60 ; $60$60 — constants !

5. 5

   Les points $(t;y)$(t ; y) sont donc alignés sur une droite passant par l'origine : $y=60t$y = 60 t.

6. 6

   Retour au modèle initial : $y=60\times \frac{1}{x}=\frac{60}{x}$y = 60 × 1/x = 60/x.

7. 7

   Interprétation : la cuve contient $60$60 litres... attention, l'unité : $y$y en minutes et $x$x en L/min donnent $y\times x=60$y × x = 60 litres.

   La cuve a donc une contenance de $60$60 L.

8. 8

   Contrôle : à $4$4 L/min, il faut $\frac{60}{4}=15$60/4 = 15 minutes ✔.

Rappel de cours : Une proportionnalité inverse $y=\frac{k}{x}$y = k/x devient une proportionnalité (droite par l'origine) après le changement $t=\frac{1}{x}$t = 1/x.

Erreur fréquente : Ajuster $(x;y)$(x ; y) par une droite : la calculatrice en donnerait une, mais elle prévoirait un temps négatif pour un grand débit.

Correction détaillée

1. 1

   $z=\sqrt{y}$z = √(y) : $\sqrt{4}=2$√4 = 2 ; $\sqrt{16}=4$√(16) = 4 ; $\sqrt{36}=6$√(36) = 6 ; $\sqrt{64}=8$√(64) = 8.

2. 2

   Écarts de $z$z : $2$2, $2$2, $2$2 — constants pour un pas de $20$20 en abscisse.

   Le nuage $(x;z)$(x ; z) est aligné ✔.

3. 3

   Coefficient directeur : $\frac{2}{20}=0,1$2/20 = 0,1.

   La droite passe par $(20;2)$(20 ; 2), donc $2=0,1\times 20+b$2 = 0,1× 20 + b donne $b=0$b = 0.

4. 4

   Équation : $z=0,1x$z = 0,1x, c'est-à-dire $\sqrt{y}=0,1x$√(y) = 0,1x.

5. 5

   Retour au modèle : on élève au carré, $y=(0,1x{)}^2=0,01x^2$y = (0,1x)² = 0,01x².

6. 6

   La distance de freinage est donc proportionnelle au CARRÉ de la vitesse — résultat physique classique (l'énergie cinétique est en $v^2$v²).

7. 7

   Estimation à $100$100 km/h : $y=0,01\times 10000=100$y = 0,01× 10 000 = 100 m.

8. 8

   Contrôle : de $80$80 à $100$100 km/h, la vitesse est multipliée par $1,25$1,25, donc la distance par $1,25^2=1,5625$1,25² = 1,5625 : $64\times 1,5625=100$64 × 1,5625 = 100 ✔.

Rappel de cours : $\sqrt{y}=ax+b$√(y) = ax + b donne $y=(ax+b{)}^2$y = (ax+b)² : on revient au modèle en ÉLEVANT AU CARRÉ.

Erreur fréquente : Doubler la distance quand on double la vitesse : elle est multipliée par QUATRE ($16$16 m à $40$40 km/h contre $64$64 m à $80$80 km/h).

Correction détaillée

1. 1

   Valeurs ajustées : $20$20 ; $32$32 ; $44$44 ; $56$56 ; $68$68.

2. 2

   Résidus (mesuré $-$- ajusté) : $+2$+2 ; $-1$-1 ; $-2$-2 ; $-1$-1 ; $+2$+2.

3. 3

   Somme : $2-1-2-1+2=0$2 - 1 - 2 - 1 + 2 = 0 ✔ comme toujours pour un ajustement des moindres carrés.

4. 4

   Somme des carrés : $4+1+4+1+4=14$4 + 1 + 4 + 1 + 4 = 14.

5. 5

   Répartition des signes : $+---+$+ - - - +.

   Les résidus sont positifs aux extrémités et négatifs au milieu.

6. 6

   Ce motif régulier n'est pas du bruit : il signale que le nuage est légèrement INCURVÉ vers le haut.

   Un modèle du type $y=a{x}^2+\dots$y = ax² + … ou exponentiel collerait mieux.

7. 7

   Confirmation par les écarts de $y$y : $9$9, $11$11, $13$13, $15$15 — croissants, donc la courbure est réelle.

8. 8

   À retenir : la somme des résidus est nulle par construction ; c'est leur RÉPARTITION qui renseigne sur la qualité du modèle.

Rappel de cours : Résidu $=$= mesuré $-$- ajusté. Somme nulle pour les moindres carrés ; des signes ordonnés trahissent une courbure.

Erreur fréquente : Conclure « somme nulle donc bon ajustement » : cette somme est nulle pour TOUT ajustement des moindres carrés, même mauvais.

Correction détaillée

1. 1

   Quotients successifs : $\frac{400}{800}=0,5$400/800 = 0,5 ; $\frac{200}{400}=0,5$200/400 = 0,5 ; $\frac{100}{200}=0,5$100/200 = 0,5.

   Constants, donc modèle exponentiel ✔.

2. 2

   $z=\log y$z = log y : $\log 800\approx 2,903$log 800 ≈ 2,903 ; $\log 400\approx 2,602$log 400 ≈ 2,602 ; $\log 200\approx 2,301$log 200 ≈ 2,301 ; $\log 100=2$log 100 = 2.

3. 3

   Écarts de $z$z : $-0,301$-0,301 à chaque pas de $10$10 jours.

   Coefficient directeur : $\frac{-0,301}{10}=-0,0301$(-0,301)/10 = -0,030 1.

4. 4

   Ordonnée à l'origine : $z(0)\approx 2,903$z(0) ≈ 2,903.

   Donc $z=-0,0301x+2,903$z = -0,030 1x + 2,903.

5. 5

   Retour au modèle : $y=10^{-0,0301x+2,903}=10^{2,903}\times {\left(10^{-0,0301}\right)}^x$y = 10^(-0,030 1x + 2,903) = 10^(2,903)×(10^(-0,030 1))^(x).

6. 6

   Or $10^{2,903}\approx 800$10^(2,903) ≈ 800 et $10^{-0,0301}\approx 0,93303$10^(-0,030 1) ≈ 0,933 03.

7. 7

   Donc $y\approx 800\times 0,933^x$y ≈ 800 × 0,933^(x) : l'activité perd environ $6,7\%$6,7% par jour.

8. 8

   Demi-vie : d'après les données, l'activité est divisée par deux tous les $10$10 jours.

   La demi-vie est donc de $10$10 jours.

9. 9

   Contrôle par le calcul : $\frac{\log 0,5}{\log 0,93303}=\frac{-0,30103}{-0,0301}\approx 10,0$(log 0,5)/(log 0,933 03) = (-0,301 03)/(-0,030 1) ≈ 10,0 ✔.

10. 10

    Estimation à $45$45 jours : $y=800\times 0,5^{45/10}=800\times 0,5^{4,5}$y = 800 × 0,5^(45/10) = 800× 0,5^(4,5).

11. 11

    $0,5^{4,5}\approx 0,044194$0,5^(4,5) ≈ 0,044 194, donc $y\approx 35,4$y ≈ 35,4 MBq.

Rappel de cours : Demi-vie $T$T : le modèle s'écrit aussi $y=y_{0}0,5^{x/T}$y = y₀ 0,5^(x/T), forme souvent plus parlante que la base $0,933$0,933.

Erreur fréquente : Ajuster le nuage $(x;y)$(x ; y) par une droite : elle prévoirait une activité négative dès $x\approx 34$x ≈ 34 jours, ce qui est impossible.

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1. 1

   $u=\log x$u = log x : $0$0 ; $0,301$0,301 ; $0,602$0,602 ; $0,903$0,903.

2. 2

   $v=\log y$v = log y : $\log 3\approx 0,477$log 3 ≈ 0,477 ; $\log 12\approx 1,079$log 12 ≈ 1,079 ; $\log 48\approx 1,681$log 48 ≈ 1,681 ; $\log 192\approx 2,283$log 192 ≈ 2,283.

3. 3

   Écarts : $u$u progresse de $0,301$0,301 à chaque fois, $v$v de $0,602$0,602.

   Le rapport est constant, donc le nuage $(u;v)$(u ; v) est aligné.

4. 4

   Coefficient directeur : $\frac{0,602}{0,301}=2$0,602/0,301 = 2.

   Ordonnée à l'origine : $v=0,477$v = 0,477 quand $u=0$u = 0.

5. 5

   Équation : $v=2u+0,477$v = 2u + 0,477.

6. 6

   Retour au modèle : $\log y=2\log x+0,477=\log \left(x^2\right)+\log 3=\log \left(3x^2\right)$log y = 2log x + 0,477 = log(x²) + log 3 = log(3x²).

7. 7

   Donc $y=3x^2$y = 3x² : la perte de charge est proportionnelle au carré du débit — résultat bien connu en hydraulique (régime turbulent).

8. 8

   Estimation à $5$5 m³/h : $y=3\times 25=75$y = 3 × 25 = 75 mbar.

9. 9

   Contrôle d'encadrement : $y(4)=48$y(4) = 48 et $y(8)=192$y(8) = 192 ; la valeur $75$75 est bien entre les deux ✔.

10. 10

    Lecture du coefficient directeur : en $\log$log-$\log$log, la PENTE donne directement l'EXPOSANT du modèle.

    Une pente de $2$2 signale un carré, une pente de $0,5$0,5 une racine carrée.

Rappel de cours : En $\log$log-$\log$log, $y=k{x}^n$y = kxⁿ devient $\log y=n\log x+\log k$log y = nlog x + log k : la pente est l'exposant, l'ordonnée à l'origine le $\log$log du coefficient.

Erreur fréquente : Confondre les deux changements de variable : $z=\log y$z = log y seul donne un modèle EXPONENTIEL ($y=k{a}^x$y = ka^(x)), alors que le $\log$log-$\log$log donne une loi de PUISSANCE ($y=k{x}^n$y = kxⁿ).

Correction détaillée

1. 1

   Quotients : $\frac{60}{120}=0,5$60/120 = 0,5 ; $\frac{40}{60}\approx 0,667$40/60 ≈ 0,667 ; $\frac{30}{40}=0,75$30/40 = 0,75.

2. 2

   Ces quotients ne sont PAS constants : le modèle exponentiel est à écarter.

3. 3

   Produits $x\times y$x × y : $1\times 120=120$1× 120 = 120 ; $2\times 60=120$2× 60 = 120 ; $3\times 40=120$3× 40 = 120 ; $4\times 30=120$4× 30 = 120.

4. 4

   Les produits sont CONSTANTS : la liaison est une proportionnalité INVERSE.

5. 5

   Modèle : $xy=120$xy = 120, donc $y=\frac{120}{x}$y = 120/x.

6. 6

   Vérification du changement de variable : avec $t=\frac{1}{x}$t = 1/x, les points $(1;120)$(1 ; 120), $(0,5;60)$(0,5 ; 60), $(0,333;40)$(0,333 ; 40), $(0,25;30)$(0,25 ; 30) sont alignés sur $y=120t$y = 120 t ✔.

7. 7

   Méthode à retenir : on teste dans l'ordre les écarts (affine), les quotients (exponentiel), puis les produits (hyperbolique).

   Le premier test qui donne des valeurs constantes désigne le modèle.

8. 8

   Prévision : à $x=6$x = 6, le modèle donne $y=20$y = 20 ; à $x=10$x = 10, $y=12$y = 12.

Rappel de cours : Trois tests successifs : écarts constants (affine), quotients constants (exponentiel), produits $xy$xy constants (hyperbolique).

Erreur fréquente : Retenir le modèle exponentiel parce que $y$y décroît : la décroissance ne suffit pas, il faut que les quotients soient constants.

Correction détaillée

1. 1

   2030 : $x=4$x = 4, donc $y=250\times 1,08^4$y = 250× 1,08⁴.

   Or $1,08^4\approx 1,360489$1,08⁴ ≈ 1,360 489, soit $y\approx 340,1$y ≈ 340,1 centaines.

2. 2

   2034 : $x=8$x = 8, donc $y=250\times 1,08^8\approx 250\times 1,850930\approx 462,7$y = 250 × 1,08⁸ ≈ 250 × 1,850 930 ≈ 462,7 centaines.

3. 3

   Seuil de $1000$1 000 : $1,08^x>4$1,08^(x) > 4, donc $x>\frac{\log 4}{\log 1,08}=\frac{0,60206}{0,033424}\approx 18,01$x > (log 4)/(log 1,08) = (0,602 06)/(0,033 424) ≈ 18,01.

4. 4

   Le seuil serait franchi pour $x=19$x = 19, soit en 2045.

5. 5

   Réserves à formuler, dans l'ordre d'importance :

6. 6

   ① La prévision 2030 ($x=4$x = 4) est une INTERPOLATION : elle est fiable.

   Celle de 2034 ($x=8$x = 8) est une extrapolation courte, encore acceptable.

7. 7

   ② La projection 2045 ($x=19$x = 19) extrapole sur TROIS FOIS la durée observée : elle n'a qu'une valeur indicative.

8. 8

   ③ Surtout, aucun marché ne croît indéfiniment de $8\%$8% par an : le nombre d'abonnés est borné par la taille du marché.

   Un modèle exponentiel ignore cette saturation.

9. 9

   Conclusion de rédaction : le modèle est utilisable à court terme, mais une projection à vingt ans exigerait un modèle à palier (logistique), hors programme ici.

   Il faut le dire plutôt que de livrer le chiffre brut.

Rappel de cours : Un modèle exponentiel croissant ne sature jamais : au-delà de quelques années, il surestime presque toujours la réalité.

Erreur fréquente : Livrer « 2045 » comme une prévision fiable : c'est une extrapolation sur trois fois la durée des mesures.

Correction détaillée

1. 1

   $z=\log y$z = log y : $\log 50\approx 1,699$log 50 ≈ 1,699 ; $\log 24\approx 1,380$log 24 ≈ 1,380 ; $\log 13\approx 1,114$log 13 ≈ 1,114 ; $\log 6\approx 0,778$log 6 ≈ 0,778.

2. 2

   Valeurs ajustées par la droite : $x=1\to 1,620$x = 1 → 1,620 ; $x=2\to 1,310$x = 2 → 1,310 ; $x=3\to 1,000$x = 3 → 1,000 ; $x=4\to 0,690$x = 4 → 0,690.

3. 3

   Résidus (mesuré $-$- ajusté) : $+0,079$+0,079 ; $+0,070$+0,070 ; $+0,114$+0,114 ; $+0,088$+0,088.

4. 4

   Observation gênante : les quatre résidus sont POSITIFS.

   Leur somme vaut $0,351$0,351, donc elle n'est pas nulle.

5. 5

   Or la droite des moindres carrés a toujours une somme de résidus NULLE : la droite proposée n'est donc pas celle des moindres carrés.

6. 6

   Diagnostic : la droite est systématiquement trop basse.

   Il faudrait relever son ordonnée à l'origine d'environ $\frac{0,351}{4}\approx 0,088$0,351/4 ≈ 0,088, soit $b\approx 2,018$b ≈ 2,018.

7. 7

   En revanche le coefficient directeur $-0,31$-0,31 semble correct : les écarts de $z$z valent $-0,319$-0,319 ; $-0,266$-0,266 ; $-0,336$-0,336, de moyenne $\approx -0,307$≈ -0,307 ✔ proche de $-0,31$-0,31.

8. 8

   Conclusion : le MODÈLE exponentiel est bien adapté (les $z$z sont presque alignés), mais l'ajustement fourni est mal calé.

   Avec $z=-0,31x+2,02$z = -0,31x + 2,02, les résidus s'équilibreraient.

9. 9

   Retour au modèle initial avec cette correction : $y=10^{2,02}\times {\left(10^{-0,31}\right)}^x\approx 104,7\times 0,49^x$y = 10^(2,02)×(10^(-0,31))^(x) ≈ 104,7× 0,49^(x) — soit une baisse d'environ $51\%$51% par unité de $x$x.

Rappel de cours : Des résidus tous de même signe signalent une droite MAL CALÉE (mauvaise ordonnée à l'origine), pas forcément un mauvais modèle.

Erreur fréquente : Conclure « modèle inadapté » : ce sont les écarts de $z$z qui jugent le modèle (ils sont réguliers ici), et la somme des résidus qui juge le calage.

Correction détaillée

1. 1

   Quotients : $\frac{9}{6}=1,5$9/6 = 1,5 ; $\frac{13,5}{9}=1,5$13,5/9 = 1,5 ; $\frac{20,25}{13,5}=1,5$20,25/13,5 = 1,5 ; $\frac{30,375}{20,25}=1,5$30,375/20,25 = 1,5.

2. 2

   Les quotients sont tous égaux à $1,5$1,5 : la production augmente de $50\%$50% par mois, le modèle exponentiel est exact.

3. 3

   $z=\log y$z = log y : $\log 6\approx 0,778$log 6 ≈ 0,778 ; $\log 9\approx 0,954$log 9 ≈ 0,954 ; $\log 13,5\approx 1,130$log 13,5 ≈ 1,130 ; $\log 20,25\approx 1,307$log 20,25 ≈ 1,307 ; $\log 30,375\approx 1,482$log 30,375 ≈ 1,482.

4. 4

   Écarts constants de $\log 1,5\approx 0,176$log 1,5 ≈ 0,176 : le nuage $(x;z)$(x ; z) est aligné, de coefficient directeur $0,176$0,176.

5. 5

   Ordonnée à l'origine : $z=0,778$z = 0,778 en $x=1$x = 1, donc $b=0,778-0,176=0,602$b = 0,778 - 0,176 = 0,602.

6. 6

   Ajustement : $z=0,176x+0,602$z = 0,176x + 0,602.

7. 7

   Retour au modèle : $y=10^{0,602}\times {\left(10^{0,176}\right)}^x\approx 4\times 1,5^x$y = 10^(0,602)×(10^(0,176))^(x) ≈ 4 × 1,5^(x).

8. 8

   Contrôle : $4\times 1,5=6$4× 1,5 = 6 ✔ pour $x=1$x = 1, et $4\times 1,5^5=4\times 7,59375=30,375$4× 1,5⁵ = 4 × 7,593 75 = 30,375 ✔.

9. 9

   8ᵉ mois : $y=4\times 1,5^8=4\times 25,6289\approx 102,5$y = 4× 1,5⁸ = 4 × 25,628 9 ≈ 102,5 milliers de pièces.

10. 10

    Seuil de $100$100 : $4\times 1,5^x\ge 100$4× 1,5^(x) ≥ 100 donne $1,5^x\ge 25$1,5^(x) ≥ 25, soit $x\ge \frac{\log 25}{\log 1,5}=\frac{1,39794}{0,17609}\approx 7,94$x ≥ (log 25)/(log 1,5) = (1,397 94)/(0,176 09) ≈ 7,94.

11. 11

    La capacité maximale serait donc atteinte au 8ᵉ mois — ce que confirme le calcul de $y(8)\approx 102,5>100$y(8) ≈ 102,5 > 100.

12. 12

    Réserve indispensable : au-delà du 8ᵉ mois, le modèle exponentiel n'a plus de sens puisque la ligne est saturée à $100$100.

    La montée en charge s'arrête là par contrainte physique, pas par changement de tendance.