Exercices corrigés : Fonctions exponentielles — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=1200\times 1,04^0=1200\times 1=1200$f(0) = 1 200 × 1,04⁰ = 1 200 × 1 = 1 200 € : c'est la valeur initiale (tout nombre non nul élevé à la puissance $0$0 vaut $1$1).

2. 2

   $f(1)=1200\times 1,04=1248$f(1) = 1 200 × 1,04 = 1 248 €.

3. 3

   $f(3)=1200\times 1,04^3$f(3) = 1 200 × 1,04³.

   Or $1,04^3\approx 1,124864$1,04³ ≈ 1,124 864, donc $f(3)\approx 1349,8$f(3) ≈ 1 349,8, soit environ $1350$1 350 €.

4. 4

   $f(0,5)=1200\times 1,04^{0,5}=1200\sqrt{1,04}$f(0,5) = 1 200 × 1,04^(0,5) = 1 200√(1,04).

   Or $\sqrt{1,04}\approx 1,019804$√(1,04) ≈ 1,019 804, donc $f(0,5)\approx 1223,8$f(0,5) ≈ 1 223,8 €.

5. 5

   Interprétation : $f(0,5)$f(0,5) donne la valeur au bout de SIX MOIS.

   C'est tout l'intérêt du modèle continu : il est défini pour des durées non entières, contrairement à une suite.

6. 6

   Contrôle : $1,019804^2\approx 1,04$1,019 804² ≈ 1,04 ✔ — deux semestres de hausse à $1,98\%$1,98% donnent bien une année à $4\%$4%.

Rappel de cours : $a^0=1$a⁰ = 1 et $a^{0,5}=\sqrt{a}$a^(0,5) = √(a). Une fonction exponentielle est définie pour TOUT réel, y compris non entier.

Erreur fréquente : Confondre $1200\times 1,04^3$1 200 × 1,04³ et $(1200\times 1,04{)}^3$(1 200× 1,04)³ : l'exposant ne porte que sur la base $1,04$1,04.

Correction détaillée

1. 1

   Produit de puissances de même base : les exposants s'AJOUTENT.

   $A=a^{3+5}=a^8$A = a³⁺⁵ = a⁸.

2. 2

   Quotient : les exposants se RETRANCHENT.

   $B=a^{7-4}=a^3$B = a⁷⁻⁴ = a³.

3. 3

   Puissance d'une puissance : les exposants se MULTIPLIENT.

   $C=a^{2\times 4}=a^8$C = a^(2× 4) = a⁸.

4. 4

   Exposant négatif : $D=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$D = a⁻² = 1/a².

5. 5

   Contrôle numérique avec $a=2$a = 2 : $A=8\times 32=256=2^8$A = 8 × 32 = 256 = 2⁸ ✔ ; $B=\frac{128}{16}=8=2^3$B = 128/16 = 8 = 2³ ✔ ; $C=4^4=256$C = 4⁴ = 256 ✔ ; $D=\frac{1}{4}$D = 1/4 ✔.

6. 6

   Ces règles sont exactement celles des puissances entières, étendues à tous les exposants réels : c'est ce qui rend les fonctions exponentielles si commodes.

Rappel de cours : $a^x\times a^y=a^{x+y}$a^(x)× a^(y) = a^(x+y) · $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$a^(x)/a^(y) = a^(x-y) · ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$(a^(x))^(y) = a^(xy) · $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$a^(-x) = 1/a^(x).

Erreur fréquente : Multiplier les exposants dans un produit : $a^3\times a^5$a³× a⁵ vaut $a^8$a⁸, pas $a^{15}$a¹⁵.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $x\mapsto k{a}^x$x ↦ k a^(x) avec $k>0$k > 0 : la fonction est CROISSANTE si $a>1$a > 1, DÉCROISSANTE si $0<a<1$0 < a < 1, CONSTANTE si $a=1$a = 1.

2. 2

   $f$f : $a=1,25>1$a = 1,25 > 1, donc $f$f est croissante.

   Vérification : $f(0)=3$f(0) = 3, $f(1)=3,75$f(1) = 3,75, $f(2)=4,6875$f(2) = 4,687 5 ✔.

3. 3

   $g$g : $a=0,85<1$a = 0,85 < 1, donc $g$g est décroissante.

   Vérification : $g(0)=500$g(0) = 500, $g(1)=425$g(1) = 425, $g(2)=361,25$g(2) = 361,25 ✔.

4. 4

   $h$h : $a=1$a = 1, donc $h(x)=40$h(x) = 40 pour tout $x$x : la fonction est constante.

5. 5

   Point commun aux trois : elles sont toutes STRICTEMENT POSITIVES.

   Une fonction exponentielle ne s'annule jamais et ne change jamais de signe.

6. 6

   Conséquence pour la modélisation : un modèle exponentiel ne peut jamais prévoir une valeur négative — à la différence d'un modèle affine, qui finit toujours par en donner.

Rappel de cours : $a>1$a > 1 : croissance · $0<a<1$0 < a < 1 : décroissance · et toujours $a^x>0$a^(x) > 0.

Erreur fréquente : Juger le sens de variation sur le coefficient $k$k : c'est la BASE $a$a qui décide, comparée à $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $u_3=80\times 1,15^3$u₃ = 80 × 1,15³ et $f(3)=80\times 1,15^3$f(3) = 80× 1,15³ : les deux expressions sont identiques.

2. 2

   $1,15^3\approx 1,520875$1,15³ ≈ 1,520 875, donc $u_3=f(3)\approx 121,67$u₃ = f(3) ≈ 121,67.

3. 3

   $f(2,5)=80\times 1,15^{2,5}$f(2,5) = 80× 1,15^(2,5).

   Or $1,15^{2,5}\approx 1,418865$1,15^(2,5) ≈ 1,418 865, donc $f(2,5)\approx 113,5$f(2,5) ≈ 113,5.

4. 4

   Cette valeur correspond à $2$2 mois et demi, c'est-à-dire $2$2 mois et $15$15 jours — une date pour laquelle la suite ne dit RIEN.

5. 5

   Différence essentielle : la suite $(u_n)$(uₙ) n'est définie que pour des rangs ENTIERS (un point par mois), alors que $f$f est définie pour tout réel et fournit une courbe continue.

6. 6

   Les points de la suite sont donc exactement les points de la courbe d'abscisses entières : $f$f est le PROLONGEMENT CONTINU de la suite.

Rappel de cours : $u_n=u_0{q}^n$uₙ = u₀ q^(n) (points isolés) et $f(x)=u_0{q}^x$f(x) = u₀ q^(x) (courbe continue) : même formule, domaine différent.

Erreur fréquente : Croire qu'on peut lire $u_{2,5}$u_2,5 : une suite n'a pas de terme de rang non entier. C'est pour cela qu'on passe à la fonction.

Correction détaillée

1. 1

   Lecture graphique : $f(0)=64$f(0) = 64 g, $f(2)=16$f(2) = 16 g et $f(4)=4$f(4) = 4 g.

2. 2

   Contrôle par le calcul : $f(2)=64\times 0,25=16$f(2) = 64× 0,25 = 16 ✔ et $f(4)=64\times 0,0625=4$f(4) = 64 × 0,0625 = 4 ✔.

3. 3

   Masse divisée par deux : on cherche $f(x)=32$f(x) = 32.

   Or $f(1)=64\times 0,5=32$f(1) = 64 × 0,5 = 32 ✔, donc au bout de $1$1 heure.

4. 4

   Masse divisée par quatre : $f(x)=16$f(x) = 16, atteint en $x=2$x = 2 heures.

5. 5

   La base $0,5$0,5 se lit donc directement : chaque heure divise la masse par deux.

   C'est ce qu'on appelle une DEMI-VIE d'une heure.

6. 6

   Propriété remarquable : la durée de division par deux est TOUJOURS la même, quel que soit le point de départ.

   De $16$16 g, il faudra encore une heure pour atteindre $8$8 g.

Rappel de cours : Pour $f(x)=k{a}^x$f(x) = k a^(x), la durée de division par deux ne dépend pas de l'instant choisi : c'est la demi-vie.

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1. 1

   Une hausse de $3,2\%$3,2% par an correspond à une multiplication par $1,032$1,032 chaque année : $C(x)=860\times 1,032^x$C(x) = 860 × 1,032^(x).

2. 2

   2031 correspond à $x=5$x = 5 : $C(5)=860\times 1,032^5$C(5) = 860× 1,032⁵.

3. 3

   $1,032^5\approx 1,170617$1,032⁵ ≈ 1,170 617, donc $C(5)\approx 1006,7$C(5) ≈ 1 006,7 MWh.

4. 4

   Milieu de 2029 : cela fait $2029,5-2026=3,5$2029,5 - 2026 = 3,5 années, donc $x=3,5$x = 3,5.

5. 5

   $1,032^{3,5}\approx 1,116548$1,032^(3,5) ≈ 1,116 548, donc $C(3,5)\approx 960,2$C(3,5) ≈ 960,2 MWh.

6. 6

   Contrôle d'encadrement : $C(3)\approx 945,3$C(3) ≈ 945,3 et $C(4)\approx 975,6$C(4) ≈ 975,6 MWh.

   La valeur $960,2$960,2 est bien entre les deux ✔.

7. 7

   C'est précisément l'avantage du modèle continu : il interpole entre deux années, ce qu'une suite ne permet pas.

Rappel de cours : Hausse de $t\%$t% par période : $f(x)=f(0){\left(1+\frac{t}{100}\right)}^x$f(x) = f(0)(1 + t/100)^(x), valable pour $x$x réel.

Erreur fréquente : Écrire $C(x)=860\times 3,2^x$C(x) = 860 × 3,2^(x) : la base est le COEFFICIENT $1,032$1,032, pas le taux.

Correction détaillée

1. 1

   La fonction $x\mapsto 1,06^x$x ↦ 1,06^(x) est croissante : on peut donc balayer sans risque de sauter la solution.

2. 2

   $1,06^{11}\approx 1,8983$1,06¹¹ ≈ 1,898 3 : inférieur à $2$2.

3. 3

   $1,06^{12}\approx 2,0122$1,06¹² ≈ 2,012 2 : supérieur à $2$2.

4. 4

   La solution est donc comprise entre $11$11 et $12$12 : il faut entre $11$11 et $12$12 ans pour doubler.

5. 5

   On affine au dixième : $1,06^{11,8}\approx 1,9891$1,06^(11,8) ≈ 1,989 1 (insuffisant) et $1,06^{11,9}\approx 2,0006$1,06^(11,9) ≈ 2,000 6 (dépassé).

6. 6

   La solution est donc $x\approx 11,9$x ≈ 11,9 années, soit environ $11$11 ans et $11$11 mois.

7. 7

   Repère utile à connaître : à $t\%$t% par an, le temps de doublement vaut approximativement $\frac{70}{t}$70/t années.

   Ici $\frac{70}{6}\approx 11,7$70/6 ≈ 11,7 ✔ proche des $11,9$11,9 trouvés.

Rappel de cours : La fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) étant monotone, un balayage encadre la solution de façon sûre. Le logarithme décimal (chapitre suivant) la donnera directement.

Erreur fréquente : Diviser $2$2 par $1,06$1,06 pour « isoler » $x$x : l'inconnue est en exposant, elle ne s'isole pas par division.

Correction détaillée

1. 1

   $x=0$x = 0 : $f(0)=100$f(0) = 100 et $g(0)=120$g(0) = 120.

   Le second capteur part avec un avantage de $20$20 points.

2. 2

   $x=3$x = 3 : $f(3)=100\times 0,92^3\approx 77,9$f(3) = 100× 0,92³ ≈ 77,9 et $g(3)=120\times 0,88^3\approx 81,8$g(3) = 120 × 0,88³ ≈ 81,8.

   Le second est encore devant.

3. 3

   $x=8$x = 8 : $f(8)=100\times 0,92^8\approx 51,3$f(8) = 100 × 0,92⁸ ≈ 51,3 et $g(8)=120\times 0,88^8\approx 43,2$g(8) = 120× 0,88⁸ ≈ 43,2.

   Cette fois, le PREMIER est devant.

4. 4

   Le classement s'est inversé entre $3$3 et $8$8 ans : le second capteur, qui se dégrade plus vite ($-12\%$-12% contre $-8\%$-8%), finit par passer derrière malgré son avance initiale.

5. 5

   Recherche du croisement par balayage : $x=5$x = 5 donne $f\approx 65,9$f ≈ 65,9 et $g\approx 63,3$g ≈ 63,3 — déjà inversé.

6. 6

   $x=4$x = 4 : $f\approx 71,6$f ≈ 71,6 et $g\approx 72,0$g ≈ 72,0 — encore à l'avantage de $g$g, de très peu.

7. 7

   Le croisement a donc lieu entre $4$4 et $5$5 ans.

   En affinant : $x=4,1$x = 4,1 donne $f\approx 71,0$f ≈ 71,0 et $g\approx 71,0$g ≈ 71,0 : les performances s'égalisent vers $4,1$4,1 ans.

8. 8

   Conclusion pour un acheteur : le capteur $g$g est préférable pour un usage de moins de quatre ans, le capteur $f$f au-delà.

Rappel de cours : Deux modèles exponentiels se croisent au plus une fois : celui dont la base est la plus grande finit toujours par dominer.

Erreur fréquente : Conclure à partir des valeurs initiales : l'avance de $20$20 points de $g$g est effacée en quatre ans par sa dégradation plus rapide.

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1. 1

   $A(0)=4000\times 0,5^0=4000$A(0) = 4 000 × 0,5⁰ = 4 000 Bq.

2. 2

   $A(6)=4000\times 0,5^{6/6}=4000\times 0,5=2000$A(6) = 4 000× 0,5^(6/6) = 4 000 × 0,5 = 2 000 Bq.

3. 3

   $A(12)=4000\times 0,5^2=1000$A(12) = 4 000 × 0,5² = 1 000 Bq.

4. 4

   L'activité est donc divisée par deux tous les $6$6 jours : la demi-vie vaut $6$6 jours.

   C'est ce que traduit l'exposant $\frac{t}{6}$t/6.

5. 5

   Pour la forme $a^t$a^(t), on utilise ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$(a^(x))^(y) = a^(xy) : $0,5^{t/6}={\left(0,5^{1/6}\right)}^t$0,5^(t/6) = (0,5^(1/6))^(t).

6. 6

   Donc $a=0,5^{1/6}=\sqrt[6]{0,5}\approx 0,890899$a = 0,5^(1/6) = racine 6-ième de (0,5) ≈ 0,890 899.

7. 7

   Interprétation de $a$a : l'activité perd environ $10,9\%$10,9% par jour ($1-0,8909=0,1091$1 - 0,8909 = 0,1091).

8. 8

   Contrôle : $0,890899^6\approx 0,5$0,890 899⁶ ≈ 0,5 ✔ six jours de baisse à $10,9\%$10,9% divisent bien l'activité par deux.

Rappel de cours : $0,5^{t/T}$0,5^(t/T) décrit une grandeur de demi-vie $T$T · et $a=0,5^{1/T}$a = 0,5^(1/T) donne le coefficient par unité de temps.

Erreur fréquente : Annoncer un taux journalier de $-\frac{50}{6}\approx -8,3\%$-50/6 ≈ -8,3% : les baisses se composent, le taux réel est de $-10,9\%$-10,9%.

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1. 1

   Une année compte $12$12 mois : le coefficient annuel est $1,02^{12}$1,02¹².

2. 2

   $1,02^{12}\approx 1,268242$1,02¹² ≈ 1,268 242.

3. 3

   Modèle en années : si $t$t est en années, alors $x=12t$x = 12t, donc $f=1,02^{12t}={\left(1,02^{12}\right)}^t\approx 1,268242^t$f = 1,02^(12t) = (1,02¹²)^(t) ≈ 1,268 242^(t).

4. 4

   Taux annuel : $(1,268242-1)\times 100\approx 26,8\%$(1,268 242 - 1)× 100 ≈ 26,8%.

5. 5

   Contrôle : $2\%\times 12=24\%$2% × 12 = 24% donnerait une sous-estimation.

   L'écart de $2,8$2,8 points est l'effet du cumul des hausses mensuelles.

6. 6

   Méthode générale : pour changer d'unité de temps, on élève la base à la puissance correspondant au nombre d'anciennes unités contenues dans la nouvelle.

Rappel de cours : Changement d'unité : $a^x$a^(x) avec $x$x en mois devient ${\left(a^{12}\right)}^t$(a¹²)^(t) avec $t$t en années.

Erreur fréquente : Multiplier le taux par $12$12 : $24\%$24% au lieu de $26,8\%$26,8%, soit $2,8$2,8 points d'écart dès la première année.

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1. 1

   Écart initial : $180-20=160$180 - 20 = 160 °C.

   L'écart décroît de $9\%$9% par minute, donc $E(t)=160\times 0,91^t$E(t) = 160 × 0,91^(t).

2. 2

   La température est l'ambiante plus l'écart : $T(t)=20+160\times 0,91^t$T(t) = 20 + 160 × 0,91^(t).

3. 3

   Après $10$10 minutes : $0,91^{10}\approx 0,389416$0,91¹⁰ ≈ 0,389 416, donc $T(10)\approx 20+62,3=82,3$T(10) ≈ 20 + 62,3 = 82,3 °C.

4. 4

   Après $30$30 minutes : $0,91^{30}\approx 0,059046$0,91³⁰ ≈ 0,059 046, donc $T(30)\approx 20+9,4=29,4$T(30) ≈ 20 + 9,4 = 29,4 °C.

5. 5

   Pour passer sous $50$50 °C, il faut $20+160\times 0,91^t<50$20 + 160× 0,91^(t) < 50, soit $0,91^t<\frac{30}{160}=0,1875$0,91^(t) < 30/160 = 0,1875.

6. 6

   Balayage : $0,91^{17}\approx 0,2014$0,91¹⁷ ≈ 0,201 4 (insuffisant) ; $0,91^{18}\approx 0,1833$0,91¹⁸ ≈ 0,183 3 (suffisant).

7. 7

   La pièce passe donc sous $50$50 °C au bout de $18$18 minutes.

8. 8

   Contrôle : $T(18)\approx 20+160\times 0,1833\approx 49,3$T(18) ≈ 20 + 160× 0,183 3 ≈ 49,3 °C ✔ et $T(17)\approx 52,2$T(17) ≈ 52,2 °C ✔.

9. 9

   Remarque physique : la température ne tend pas vers $0$0 mais vers $20$20 °C, la température de l'atelier.

   C'est l'ÉCART qui décroît exponentiellement, jamais la température elle-même.

Rappel de cours : Loi de refroidissement : c'est l'ÉCART à la température ambiante qui suit un modèle exponentiel, d'où le « $20+$20 + ».

Erreur fréquente : Modéliser $T(t)=180\times 0,91^t$T(t) = 180× 0,91^(t) : la pièce tendrait vers $0$0 °C, ce qui est impossible dans un atelier à $20$20 °C.

Correction détaillée

1. 1

   On écrit la condition en $t=5$t = 5 : $250\times a^5=128$250 × a⁵ = 128, donc $a^5=\frac{128}{250}=0,512$a⁵ = 128/250 = 0,512.

2. 2

   Donc $a=0,512^{1/5}=\sqrt[5]{0,512}$a = 0,512^(1/5) = racine 5-ième de (0,512).

3. 3

   Or $0,8^5=0,32768$0,8⁵ = 0,327 68 — trop petit ; essayons $0,87^5\approx 0,4985$0,87⁵ ≈ 0,498 5 et $0,875^5\approx 0,5129$0,875⁵ ≈ 0,512 9.

   La valeur cherchée est donc proche de $0,875$0,875.

4. 4

   Plus précisément, $0,512^{1/5}\approx 0,8747$0,512^(1/5) ≈ 0,874 7, soit $a\approx 0,875$a ≈ 0,875 au millième.

5. 5

   Taux de baisse : $(0,875-1)\times 100=-12,5\%$(0,875 - 1)× 100 = -12,5% par unité de temps.

6. 6

   $C(8)=250\times 0,8747^8$C(8) = 250 × 0,874 7⁸.

   Or $0,8747^8\approx 0,3427$0,874 7⁸ ≈ 0,342 7, donc $C(8)\approx 85,7$C(8) ≈ 85,7 mg/L.

7. 7

   Contrôle de cohérence : $C(8)$C(8) doit être inférieure à $C(5)=128$C(5) = 128 et l'on trouve $85,9$85,9 ✔ ; et sur les $3$3 unités écoulées, le coefficient $0,8747^3\approx 0,669$0,8747³ ≈ 0,669 donne bien $128\times 0,669\approx 85,6$128 × 0,669 ≈ 85,6 ✔.

Rappel de cours : Deux points suffisent à caler un modèle exponentiel : $a={\left(\frac{C(t_2)}{C(t_1)}\right)}^{1/(t_2-t_1)}$a = (C(t₂)/C(t₁))^(1/(t₂ - t₁)).

Erreur fréquente : Calculer le taux moyen par soustraction : $\frac{250-128}{5}\approx 24,4$(250 - 128)/5 ≈ 24,4 mg/L par unité, ce qui décrirait un modèle AFFINE et prévoirait une concentration nulle à $t\approx 10,2$t ≈ 10,2.

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1. 1

   $0,93^5\approx 0,695688$0,93⁵ ≈ 0,695 688, donc $N(5)\approx 1391,4$N(5) ≈ 1 391,4, soit environ $1391$1 391 composants.

2. 2

   $0,93^{10}\approx 0,483982$0,93¹⁰ ≈ 0,483 982, donc $N(10)\approx 968$N(10) ≈ 968 composants.

3. 3

   Moins de la moitié signifie $N(t)<1000$N(t) < 1 000, soit $0,93^t<0,5$0,93^(t) < 0,5.

4. 4

   Or $0,93^9\approx 0,5204$0,93⁹ ≈ 0,520 4 (au-dessus) et $0,93^{10}\approx 0,4840$0,93¹⁰ ≈ 0,484 0 (en dessous) : le seuil est franchi la 10ᵉ année.

5. 5

   Moins de $200$200 composants : $0,93^t<\frac{200}{2000}=0,1$0,93^(t) < 200/(2 000) = 0,1.

6. 6

   Balayage : $0,93^{31}\approx 0,1054$0,93³¹ ≈ 0,105 4 (insuffisant) ; $0,93^{32}\approx 0,0981$0,93³² ≈ 0,098 1 (suffisant).

7. 7

   Il reste donc moins de $200$200 composants à partir de la 32ᵉ année.

8. 8

   Observation : il faut $10$10 ans pour perdre la moitié du lot, mais $32$32 ans pour n'en garder qu'un dixième.

   Une décroissance exponentielle est de plus en plus lente en valeur absolue.

Rappel de cours : Un seuil sur $k{a}^t$k a^(t) se ramène toujours à $a^t<\frac{\text{seuil}}{k}$a^(t) < seuil/k, puis à un balayage (ou au logarithme, chapitre suivant).

Erreur fréquente : Multiplier par $10$10 le temps de demi-vie pour atteindre le dixième : il faudrait $3,3$3,3 demi-vies, pas $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   $x=1$x = 1 : $f(1)=620$f(1) = 620 et $g(1)=590$g(1) = 590.

   L'affine est devant.

2. 2

   $x=3$x = 3 : $f(3)=860$f(3) = 860 et $g(3)=500\times 1,18^3\approx 500\times 1,6430\approx 821,5$g(3) = 500× 1,18³ ≈ 500 × 1,643 0 ≈ 821,5.

   L'affine est encore devant.

3. 3

   $x=6$x = 6 : $f(6)=1220$f(6) = 1 220 et $g(6)=500\times 1,18^6\approx 500\times 2,6996\approx 1349,8$g(6) = 500 × 1,18⁶ ≈ 500× 2,699 6 ≈ 1 349,8.

   L'exponentiel est passé devant.

4. 4

   Balayage entre $3$3 et $6$6 : $x=4$x = 4 donne $f=980$f = 980 et $g\approx 969,0$g ≈ 969,0 (affine devant) ; $x=5$x = 5 donne $f=1100$f = 1 100 et $g\approx 1143,4$g ≈ 1 143,4 (exponentiel devant).

5. 5

   Le dépassement a donc lieu entre la 4ᵉ et la 5ᵉ année, autour de $x\approx 4,2$x ≈ 4,2.

6. 6

   À long terme, l'écart se creuse spectaculairement : $f(20)=2900$f(20) = 2 900 alors que $g(20)=500\times 1,18^{20}\approx 500\times 27,39\approx 13697$g(20) = 500× 1,18²⁰ ≈ 500 × 27,39 ≈ 13 697, soit près de cinq fois plus.

7. 7

   Règle générale : une croissance exponentielle (base $>1$> 1) finit TOUJOURS par dépasser n'importe quelle croissance affine, quels que soient les coefficients.

8. 8

   Conséquence pratique : sur une prévision d'abonnés, le choix du modèle change complètement le dimensionnement à $10$10 ans.

   Il faut donc justifier le modèle par les données observées, pas le choisir par commodité.

Rappel de cours : Croissance exponentielle contre affine : l'exponentielle gagne toujours à terme, même partie de plus bas et avec une base proche de $1$1.

Erreur fréquente : Choisir le modèle sur les premières années : les deux se ressemblent au début, alors qu'ils divergent radicalement ensuite.

Correction détaillée

1. 1

   $0,94^5\approx 0,733904$0,94⁵ ≈ 0,733 904, donc $f(5)\approx 660,5$f(5) ≈ 660,5.

2. 2

   $0,94^{10}\approx 0,538615$0,94¹⁰ ≈ 0,538 615, donc $f(10)\approx 484,8$f(10) ≈ 484,8.

3. 3

   Demi-vie : on cherche $t$t tel que $0,94^t=0,5$0,94^(t) = 0,5.

4. 4

   Balayage : $0,94^{11}\approx 0,5063$0,94¹¹ ≈ 0,506 3 (encore au-dessus) ; $0,94^{12}\approx 0,4759$0,94¹² ≈ 0,475 9 (en dessous).

5. 5

   La demi-vie est donc comprise entre $11$11 et $12$12 jours.

   En affinant : $0,94^{11,2}\approx 0,5001$0,94^(11,2) ≈ 0,500 1, soit environ $11,2$11,2 jours.

6. 6

   Vérification depuis $f(5)$f(5) : la moitié de $660,5$660,5 vaut $330,3$330,3.

   Or $f(16,2)=900\times 0,94^{16,2}\approx 900\times 0,3670\approx 330,3$f(16,2) = 900× 0,94^(16,2) ≈ 900 × 0,367 0 ≈ 330,3 ✔.

7. 7

   Et $16,2-5=11,2$16,2 - 5 = 11,2 jours : c'est bien la MÊME durée ✔.

8. 8

   Propriété générale : dans un modèle exponentiel, le temps de division par deux ne dépend pas de l'instant de départ.

   C'est ce qui distingue radicalement une décroissance exponentielle d'une décroissance affine.

9. 9

   Comparaison : un modèle affine perdant $54$54 unités par jour (la perte du premier jour) serait à zéro en $16,7$16,7 jours, alors que le modèle exponentiel y sera encore à $320$320 environ.

Rappel de cours : Le temps de demi-vie d'un modèle $k{a}^t$k a^(t) est CONSTANT : il ne dépend ni de $k$k ni de l'instant choisi.

Erreur fréquente : Croire que la demi-vie double quand on part d'une valeur deux fois plus grande : elle est identique, c'est justement sa propriété caractéristique.

Correction détaillée

1. 1

   2030 correspond à $x=4$x = 4 : $C(4)=12400\times 0,94^4$C(4) = 12 400 × 0,94⁴.

2. 2

   $0,94^4\approx 0,780749$0,94⁴ ≈ 0,780 749, donc $C(4)\approx 9681,3$C(4) ≈ 9 681,3, soit environ $9681$9 681 m³.

3. 3

   Taux global : le coefficient sur $4$4 ans vaut $0,780749$0,780 749, donc $t=(0,780749-1)\times 100\approx -21,9\%$t = (0,780 749 - 1)× 100 ≈ -21,9%.

4. 4

   Objectif : $12400\times 0,94^x<8000$12 400 × 0,94^(x) < 8 000, soit $0,94^x<\frac{8000}{12400}\approx 0,6452$0,94^(x) < (8 000)/(12 400) ≈ 0,645 2.

5. 5

   Balayage : $0,94^7\approx 0,6485$0,94⁷ ≈ 0,648 5 (insuffisant) ; $0,94^8\approx 0,6091$0,94⁸ ≈ 0,609 1 (suffisant).

6. 6

   L'objectif est donc atteint pour $x=8$x = 8, soit en 2034.

7. 7

   Dernière question : il faudrait un coefficient annuel $a$a tel que $12400\times a^4=8000$12 400 × a⁴ = 8 000, donc $a^4=0,6452$a⁴ = 0,645 2.

8. 8

   $a=0,6452^{1/4}\approx 0,8962$a = 0,645 2^(1/4) ≈ 0,896 2, soit un taux annuel d'environ $-10,4\%$-10,4%.

9. 9

   Conclusion à formuler : atteindre l'objectif quatre ans plus tôt exige de presque doubler l'effort annuel ($-10,4\%$-10,4% au lieu de $-6\%$-6%).

   C'est l'argument chiffré à présenter pour arbitrer entre délai et investissement.

10. 10

    Contrôle : $12400\times 0,8962^4\approx 12400\times 0,6452\approx 8000$12 400 × 0,896 2⁴ ≈ 12 400× 0,645 2 ≈ 8 000 ✔.

Rappel de cours : Pour trouver le taux qui atteint une cible en $n$n périodes : $a={\left(\frac{\text{cible}}{\text{deˊpart}}\right)}^{1/n}$a = (cible/départ)^(1/n).

Erreur fréquente : Diviser les $21,9\%$21,9% de baisse globale par $4$4 pour retrouver le taux annuel : on obtiendrait $5,5\%$5,5% au lieu de $6\%$6%, car les baisses se composent.

Correction détaillée

1. 1

   $V(2)=36000\times 0,64=23040$V(2) = 36 000 × 0,64 = 23 040 €.

2. 2

   $V(2,5)=36000\times 0,8^{2,5}$V(2,5) = 36 000× 0,8^(2,5).

   Or $0,8^{2,5}\approx 0,572433$0,8^(2,5) ≈ 0,572 433, donc $V(2,5)\approx 20607,6$V(2,5) ≈ 20 607,6 €.

3. 3

   Coefficient mensuel : il faut $m$m tel que $m^{12}=0,8$m¹² = 0,8, donc $m=0,8^{1/12}\approx 0,9816$m = 0,8^(1/12) ≈ 0,981 6.

4. 4

   Soit une dépréciation d'environ $1,85\%$1,85% par mois.

5. 5

   Valeur après $18$18 mois, première méthode (en années) : $18$18 mois $=1,5$= 1,5 an, donc $V(1,5)=36000\times 0,8^{1,5}$V(1,5) = 36 000× 0,8^(1,5).

6. 6

   $0,8^{1,5}\approx 0,715542$0,8^(1,5) ≈ 0,715 542, donc $V\approx 25759,5$V ≈ 25 759,5 €.

7. 7

   Seconde méthode (en mois) : $36000\times 0,9816^{18}\approx 36000\times 0,7155\approx 25759$36 000 × 0,981 6¹⁸ ≈ 36 000 × 0,715 5 ≈ 25 759 € ✔ Les deux coïncident, aux arrondis près.

8. 8

   Seuil de $20000$20 000 € : $0,8^t<\frac{20000}{36000}\approx 0,5556$0,8^(t) < (20 000)/(36 000) ≈ 0,555 6.

9. 9

   En années : $0,8^{2,5}\approx 0,5724$0,8^(2,5) ≈ 0,572 4 (au-dessus) et $0,8^{2,75}\approx 0,5375$0,8^(2,75) ≈ 0,537 5 (en dessous).

   Le seuil est franchi entre $2,5$2,5 et $2,75$2,75 ans.

10. 10

    En affinant : $0,8^{2,63}\approx 0,5561$0,8^(2,63) ≈ 0,556 1 et $0,8^{2,64}\approx 0,5548$0,8^(2,64) ≈ 0,554 8.

    La valeur passe sous $20000$20 000 € vers $t\approx 2,64$t ≈ 2,64 ans, soit environ $32$32 mois.

11. 11

    Contrôle : $36000\times 0,9816^{32}\approx 19855$36 000 × 0,981 6³² ≈ 19 855 € ✔ et à $31$31 mois, $\approx 20228$≈ 20 228 € ✔.