Exercices corrigés : Fonction logarithme décimal — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $\log 1=\log (10^0)=0$log 1 = log(10⁰) = 0.

2. 2

   $\log 10=\log (10^1)=1$log 10 = log(10¹) = 1.

3. 3

   $\log 100=\log (10^2)=2$log 100 = log(10²) = 2 et $\log 1000=3$log 1 000 = 3.

4. 4

   $\log 0,1=\log (10^{-1})=-1$log 0,1 = log(10⁻¹) = -1.

5. 5

   $\log 0,001=\log (10^{-3})=-3$log 0,001 = log(10⁻³) = -3.

6. 6

   $\log \left(10^7\right)=7$log(10⁷) = 7.

7. 7

   À retenir : le logarithme décimal d'une puissance de $10$10 est son EXPOSANT.

   C'est la définition même de la fonction.

Rappel de cours : $\log (10^n)=n$log(10ⁿ) = n : le logarithme décimal « compte les zéros », et il est NÉGATIF pour les nombres inférieurs à $1$1.

Erreur fréquente : Écrire $\log 0=0$log 0 = 0 : le logarithme n'est défini que pour les nombres STRICTEMENT POSITIFS. $\log 0$log 0 n'existe pas.

Correction détaillée

1. 1

   Logarithme d'un produit : $\log (ab)=\log a+\log b$log(ab) = log a + log b.

   Donc $\log 6=\log (2\times 3)\approx 0,301+0,477=0,778$log 6 = log(2× 3) ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778.

2. 2

   Logarithme d'un quotient : $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$loga/b = log a - log b.

   Donc $\log 1,5=\log \frac{3}{2}\approx 0,477-0,301=0,176$log 1,5 = log3/2 ≈ 0,477 - 0,301 = 0,176.

3. 3

   Logarithme d'une puissance : $\log (a^n)=n\log a$log(aⁿ) = nlog a.

   Donc $\log 8=\log (2^3)=3\log 2\approx 0,903$log 8 = log(2³) = 3log 2 ≈ 0,903.

4. 4

   $\log 20=\log (2\times 10)=\log 2+\log 10\approx 0,301+1=1,301$log 20 = log(2× 10) = log 2 + log 10 ≈ 0,301 + 1 = 1,301.

5. 5

   $\log 0,5=\log \frac{1}{2}=-\log 2\approx -0,301$log 0,5 = log1/2 = -log 2 ≈ -0,301.

6. 6

   Contrôle d'ordre de grandeur : $20$20 est entre $10$10 et $100$100, donc son logarithme doit être entre $1$1 et $2$2 ✔.

   Et $0,5<1$0,5 < 1 donne bien un logarithme négatif ✔.

Rappel de cours : $\log (ab)=\log a+\log b$log(ab) = log a + log b · $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$loga/b = log a - log b · $\log (a^n)=n\log a$log(aⁿ) = nlog a.

Erreur fréquente : Écrire $\log (2\times 3)=\log 2\times \log 3$log(2× 3) = log 2 × log 3 : un logarithme transforme les produits en SOMMES, jamais en produits.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition, $10^x=b$10^(x) = b équivaut à $x=\log b$x = log b (pour $b>0$b > 0).

2. 2

   $10^x=1000$10^(x) = 1 000 donne $x=\log 1000=3$x = log 1 000 = 3.

3. 3

   $10^x=0,01$10^(x) = 0,01 donne $x=\log 0,01=-2$x = log 0,01 = -2.

4. 4

   $10^x=250$10^(x) = 250 donne $x=\log 250$x = log 250.

5. 5

   On peut le décomposer : $\log 250=\log \frac{1000}{4}=3-\log 4=3-2\log 2\approx 3-0,602=2,398$log 250 = log(1 000)/4 = 3 - log 4 = 3 - 2log 2 ≈ 3 - 0,602 = 2,398.

6. 6

   À la calculatrice, $\log 250\approx 2,3979$log 250 ≈ 2,397 9 ✔.

7. 7

   Contrôle d'encadrement : $250$250 est entre $100=10^2$100 = 10² et $1000=10^3$1 000 = 10³, donc $x$x est entre $2$2 et $3$3 ✔.

Rappel de cours : $10^x=b⟺x=\log b$10^(x) = b ⇔ x = log b. C'est la relation de réciprocité, valable pour tout $b>0$b > 0.

Erreur fréquente : Diviser par $10$10 pour « isoler » $x$x : l'inconnue est en exposant, seul le logarithme la fait descendre.

Correction détaillée

1. 1

   Méthode : on encadre le nombre entre deux puissances de $10$10 consécutives, puis on applique la croissance du logarithme.

2. 2

   $1000<5000<10000$1 000 < 5 000 < 10 000, soit $10^3<5000<10^4$10³ < 5 000 < 10⁴, donc $3<\log 5000<4$3 < log 5 000 < 4.

3. 3

   $0,01<0,04<0,1$0,01 < 0,04 < 0,1, soit $10^{-2}<0,04<10^{-1}$10⁻² < 0,04 < 10⁻¹, donc $-2<\log 0,04<-1$-2 < log 0,04 < -1.

4. 4

   $10000<12000<100000$10 000 < 12 000 < 100 000, donc $4<\log 12000<5$4 < log 12 000 < 5.

5. 5

   Vérification à la calculatrice : $\log 5000\approx 3,699$log 5 000 ≈ 3,699, $\log 0,04\approx -1,398$log 0,04 ≈ -1,398, $\log 12000\approx 4,079$log 12 000 ≈ 4,079 ✔.

6. 6

   Lecture pratique : la PARTIE ENTIÈRE du logarithme décimal donne l'ordre de grandeur.

   Un nombre dont le logarithme vaut $4,08$4,08 s'écrit avec $5$5 chiffres avant la virgule.

Rappel de cours : $\log$log est CROISSANTE : $a<b\Rightarrow \log a<\log b$a < b ⇒ log a < log b. On encadre donc par les puissances de $10$10 voisines.

Erreur fréquente : Annoncer $-1<\log 0,04<0$-1 < log 0,04 < 0 : $0,04$0,04 est plus petit que $0,1$0,1, son logarithme est donc inférieur à $-1$-1.

Correction détaillée

1. 1

   $\log$log est croissante et s'annule en $x=1$x = 1 (car $\log 1=0$log 1 = 0).

2. 2

   Donc $\log x>0$log x > 0 pour $x>1$x > 1, et $\log x<0$log x < 0 pour $0<x<1$0 < x < 1.

3. 3

   $\log x=2$log x = 2 équivaut à $x=10^2=100$x = 10² = 100.

4. 4

   $\log x>3$log x > 3 équivaut à $x>10^3$x > 10³, soit $x>1000$x > 1 000 (la fonction étant croissante, le sens de l'inégalité est conservé).

5. 5

   Contrôle : $\log 1001\approx 3,0004>3$log 1 001 ≈ 3,0004 > 3 ✔ et $\log 999\approx 2,9996<3$log 999 ≈ 2,9996 < 3 ✔.

6. 6

   À retenir : « passer à la puissance de $10$10 » dans une inéquation conserve le sens, puisque $x\mapsto 10^x$x ↦ 10^(x) est croissante elle aussi.

Rappel de cours : $\log x=k⟺x=10^k$log x = k ⇔ x = 10^(k), et l'inéquation garde son sens car $\log$log est croissante.

Erreur fréquente : Oublier la condition $x>0$x > 0 : l'ensemble des solutions de $\log x<0$log x < 0 est $]0;1[$]0 ; 1[, pas $]-\infty ;1[$]-∞ ; 1[.

Correction détaillée

1. 1

   On applique le logarithme aux deux membres : $\log \left(1,06^x\right)=\log 2$log(1,06^(x)) = log 2.

2. 2

   La propriété $\log (a^x)=x\log a$log(a^(x)) = xlog a fait descendre l'exposant : $x\log 1,06=\log 2$xlog 1,06 = log 2.

3. 3

   Donc $x=\frac{\log 2}{\log 1,06}\approx \frac{0,30103}{0,025306}\approx 11,896$x = (log 2)/(log 1,06) ≈ (0,301 03)/(0,025 306) ≈ 11,896.

4. 4

   On retrouve les $11,9$11,9 ans obtenus par balayage — mais en une ligne ✔.

5. 5

   Pour $0,96^x=0,5$0,96^(x) = 0,5 : $x=\frac{\log 0,5}{\log 0,96}=\frac{-0,30103}{-0,017729}\approx 16,98$x = (log 0,5)/(log 0,96) = (-0,301 03)/(-0,017 729) ≈ 16,98.

6. 6

   Les deux logarithmes sont négatifs, leur quotient est donc positif ✔ — cohérent avec une durée.

7. 7

   Interprétation : une grandeur qui perd $4\%$4% par jour est divisée par deux en $17$17 jours environ.

Rappel de cours : $a^x=b⟺x=\frac{\log b}{\log a}$a^(x) = b ⇔ x = (log b)/(log a) : c'est LA formule du chapitre, valable pour $a>0$a > 0, $a\ne 1$a ≠ 1, $b>0$b > 0.

Erreur fréquente : Écrire $x=\log \frac{b}{a}$x = logb/a au lieu de $\frac{\log b}{\log a}$(log b)/(log a) : ici cela donnerait $\log \frac{2}{1,06}\approx 0,276$log2/1,06 ≈ 0,276, au lieu de $11,9$11,9.

Correction détaillée

1. 1

   Doublement : on résout $1,035^x=2$1,035^(x) = 2, donc $x=\frac{\log 2}{\log 1,035}$x = (log 2)/(log 1,035).

2. 2

   $\log 1,035\approx 0,014940$log 1,035 ≈ 0,014 940, donc $x\approx \frac{0,30103}{0,014940}\approx 20,15$x ≈ (0,301 03)/(0,014 940) ≈ 20,15 ans.

3. 3

   Triplement : $x=\frac{\log 3}{\log 1,035}\approx \frac{0,47712}{0,014940}\approx 31,93$x = (log 3)/(log 1,035) ≈ (0,477 12)/(0,014 940) ≈ 31,93 ans.

4. 4

   Approximation usuelle : $\frac{70}{3,5}=20$70/3,5 = 20 ans, très proche des $20,15$20,15 ans exacts ✔.

5. 5

   Pourquoi $70$70 ?

   Parce que le temps de doublement vaut $\frac{\log 2}{\log (1+t)}$(log 2)/(log(1+t)), et que pour un petit taux $t$t, $\log (1+t)\approx \frac{t}{230}$log(1+t) ≈ t/230… l'usage retient simplement que $\frac{70}{t\%}$70/t% donne une bonne estimation.

6. 6

   Observation intéressante : tripler ne demande pas $1,5$1,5 fois plus longtemps que doubler, mais environ $1,58$1,58 fois, car $\log 3\approx 1,585\log 2$log 3 ≈ 1,585 log 2.

Rappel de cours : Temps de doublement $=\frac{\log 2}{\log (1+t)}$= (log 2)/(log(1 + t)). Il ne dépend PAS de la valeur initiale.

Erreur fréquente : Croire que le temps de triplement est $1,5$1,5 fois celui du doublement : c'est $\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,58$(log 3)/(log 2) ≈ 1,58 fois.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient journalier : $0,975$0,975.

   Demi-vie : $0,975^x=0,5$0,975^(x) = 0,5, donc $x=\frac{\log 0,5}{\log 0,975}$x = (log 0,5)/(log 0,975).

2. 2

   $\log 0,975\approx -0,010995$log 0,975 ≈ -0,010 995, donc $x\approx \frac{-0,30103}{-0,010995}\approx 27,38$x ≈ (-0,301 03)/(-0,010 995) ≈ 27,38 jours.

3. 3

   Pour $10\%$10% : $0,975^x=0,1$0,975^(x) = 0,1, donc $x=\frac{\log 0,1}{\log 0,975}=\frac{-1}{-0,010995}\approx 90,95$x = (log 0,1)/(log 0,975) = (-1)/(-0,010 995) ≈ 90,95 jours.

4. 4

   Cohérence : passer à $10\%$10% demande $\frac{\log 0,1}{\log 0,5}=\frac{1}{0,301}\approx 3,32$(log 0,1)/(log 0,5) = 1/0,301 ≈ 3,32 demi-vies.

5. 5

   Or $3,32\times 27,38\approx 90,9$3,32 × 27,38 ≈ 90,9 jours ✔ Les deux résultats concordent.

6. 6

   À retenir : diviser par $10$10 prend toujours environ $3,3$3,3 demi-vies, quelle que soit la substance.

   C'est une règle très utile en radioprotection.

Rappel de cours : $\frac{\log 0,1}{\log 0,5}\approx 3,32$(log 0,1)/(log 0,5) ≈ 3,32 : passer à un dixième prend toujours $3,32$3,32 demi-vies.

Erreur fréquente : Multiplier la demi-vie par $10$10 pour arriver à $10\%$10% : on annoncerait $274$274 jours au lieu de $91$91.

Correction détaillée

1. 1

   $A=\log (4\times 25)=\log 100=2$A = log(4 × 25) = log 100 = 2.

2. 2

   $B=\log \frac{500}{5}=\log 100=2$B = log500/5 = log 100 = 2.

3. 3

   Pour $C$C : $2\log 3=\log (3^2)=\log 9$2log 3 = log(3²) = log 9, et $\log \frac{1}{9}=-\log 9$log1/9 = -log 9.

4. 4

   Donc $C=\log 9-\log 9=0$C = log 9 - log 9 = 0.

5. 5

   Contrôle numérique : $A\approx 0,602+1,398=2$A ≈ 0,602 + 1,398 = 2 ✔ ; $B\approx 2,699-0,699=2$B ≈ 2,699 - 0,699 = 2 ✔ ; $C\approx 0,954-0,954=0$C ≈ 0,954 - 0,954 = 0 ✔.

6. 6

   Leçon de méthode : on cherche toujours à REGROUPER en un seul logarithme avant de calculer.

   Les valeurs approchées ne servent qu'au contrôle.

Rappel de cours : $n\log a=\log (a^n)$nlog a = log(aⁿ) et $\log \frac{1}{a}=-\log a$log1/a = -log a : ces deux formes permettent de tout regrouper.

Erreur fréquente : Écrire $\log 4+\log 25=\log 29$log 4 + log 25 = log 29 : c'est le PRODUIT qui apparaît dans le logarithme d'une somme de logarithmes, donc $\log 100$log 100.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{I}{I_0}=\frac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^6$I/I₀ = 10⁻⁶/10⁻¹² = 10⁶, donc $L=10\log (10^6)=10\times 6=60$L = 10log(10⁶) = 10× 6 = 60 dB.

2. 2

   Pour $I=10^{-4}$I = 10⁻⁴ : $\frac{I}{I_0}=10^8$I/I₀ = 10⁸, donc $L=10\times 8=80$L = 10 × 8 = 80 dB.

3. 3

   L'intensité a été multipliée par $100$100 et le niveau a augmenté de $20$20 dB.

4. 4

   Démonstration générale : si $I$I devient $100I$100 I, alors $L^{\prime }=10\log \frac{100I}{I_0}=10\left(\log 100+\log \frac{I}{I_0}\right)=20+L$L' = 10log100I/I₀ = 10(log 100 + logI/I₀) = 20 + L.

5. 5

   Multiplier l'intensité par $100$100 ajoute donc TOUJOURS $20$20 dB, quel que soit le niveau de départ.

6. 6

   C'est tout l'intérêt d'une échelle logarithmique : elle transforme des multiplications (qui couvrent douze décades pour l'oreille humaine) en additions lisibles de $0$0 à $120$120 dB.

Rappel de cours : $L=10\log \frac{I}{I_0}$L = 10logI/I₀ : chaque facteur $10$10 sur l'intensité ajoute $10$10 dB, chaque facteur $100$100 en ajoute $20$20.

Erreur fréquente : Croire qu'un son de $80$80 dB est « un tiers plus fort » qu'un son de $60$60 dB : son intensité est CENT fois plus grande.

Correction détaillée

1. 1

   On inverse la formule : $78=10\log \frac{I}{I_0}$78 = 10logI/I₀ donne $\log \frac{I}{I_0}=7,8$logI/I₀ = 7,8, donc $\frac{I}{I_0}=10^{7,8}$I/I₀ = 10^(7,8).

2. 2

   $I=10^{-12}\times 10^{7,8}=10^{-4,2}\approx 6,31\times 10^{-5}$I = 10⁻¹²× 10^(7,8) = 10^(-4,2) ≈ 6,31× 10⁻⁵ W/m².

3. 3

   Deux machines : les INTENSITÉS s'additionnent, donc $I^{\prime }=2I$I' = 2I.

4. 4

   $L^{\prime }=10\log \frac{2I}{I_0}=10\log 2+L\approx 3,01+78\approx 81,0$L' = 10log2I/I₀ = 10log 2 + L ≈ 3,01 + 78 ≈ 81,0 dB.

5. 5

   Doubler le nombre de sources ajoute donc environ $3$3 dB — un résultat à connaître.

6. 6

   Pour atteindre $88$88 dB, il faut gagner $10$10 dB, soit multiplier l'intensité par $10^1=10$10¹ = 10.

7. 7

   Il faudrait donc $10$10 machines identiques.

8. 8

   Contrôle : $L=10\log \frac{10I}{I_0}=10+78=88$L = 10log10I/I₀ = 10 + 78 = 88 dB ✔.

9. 9

   Remarque pour la prévention : passer de $78$78 à $88$88 dB double la sensation de bruit perçue, mais multiplie par $10$10 l'énergie sonore reçue.

   Au-delà de $85$85 dB, la protection auditive devient obligatoire.

Rappel de cours : Les intensités s'additionnent, pas les décibels : $n$n sources identiques donnent $L+10\log n$L + 10log n.

Erreur fréquente : Additionner les niveaux : deux machines à $78$78 dB ne font pas $156$156 dB (ce qui dépasserait le seuil de douleur), mais $81$81 dB.

Correction détaillée

1. 1

   $\text{pH}=-\log \left(2,5\times 10^{-5}\right)=-\left(\log 2,5+\log 10^{-5}\right)$pH = -log(2,5× 10⁻⁵) = -(log 2,5 + log 10⁻⁵).

2. 2

   $\log 2,5\approx 0,398$log 2,5 ≈ 0,398 et $\log 10^{-5}=-5$log 10⁻⁵ = -5, donc $\text{pH}\approx -(0,398-5)=4,602$pH ≈ -(0,398 - 5) = 4,602.

3. 3

   Le pH vaut donc environ $4,6$4,6 : la solution est acide.

4. 4

   Réciproquement, $\text{pH}=3,2$pH = 3,2 donne $\log \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=-3,2$log[ H ⁺] = -3,2, donc $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-3,2}$[ H ⁺] = 10^(-3,2).

5. 5

   $10^{-3,2}\approx 6,31\times 10^{-4}$10^(-3,2) ≈ 6,31× 10⁻⁴ mol/L.

6. 6

   Si le pH augmente de $1$1, alors $\log \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$log[ H ⁺] diminue de $1$1, donc la concentration est DIVISÉE par $10$10.

7. 7

   Contrôle : un pH de $4,2$4,2 correspondrait à $10^{-4,2}\approx 6,31\times 10^{-5}$10^(-4,2) ≈ 6,31× 10⁻⁵ mol/L, soit exactement le dixième de la valeur trouvée pour $3,2$3,2 ✔.

8. 8

   Conséquence en atelier : un bain dont le pH dérive de $4,6$4,6 à $3,6$3,6 est devenu DIX fois plus acide, ce que l'échelle du pH masque à l'œil nu.

Rappel de cours : $\text{pH}=-\log \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$pH = -log[ H ⁺] et $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-\text{pH}}$[ H ⁺] = 10^(- pH) : une unité de pH vaut un facteur $10$10.

Erreur fréquente : Oublier le signe moins : un pH est POSITIF alors que le logarithme d'une concentration (très petite) est négatif.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $2000\times 0,93^t<200$2 000× 0,93^(t) < 200, soit $0,93^t<0,1$0,93^(t) < 0,1.

2. 2

   On applique le logarithme, qui est CROISSANT : $\log \left(0,93^t\right)<\log 0,1$log(0,93^(t)) < log 0,1, soit $t\log 0,93<-1$tlog 0,93 < -1.

3. 3

   Attention : $\log 0,93\approx -0,031517$log 0,93 ≈ -0,031 517 est NÉGATIF.

   En divisant par ce nombre, l'inégalité change de sens.

4. 4

   $t>\frac{-1}{-0,031517}\approx 31,73$t > (-1)/(-0,031 517) ≈ 31,73.

5. 5

   Le seuil est donc franchi à partir de $t\approx 31,73$t ≈ 31,73 années, c'est-à-dire au cours de la 32ᵉ année.

6. 6

   Cohérence avec le balayage : celui-ci donnait le premier ENTIER convenable, soit $32$32 ✔.

   Le logarithme précise la date : environ $31$31 ans et $9$9 mois.

7. 7

   Avantage du logarithme : une seule ligne de calcul, une valeur exacte, et aucun risque d'oublier une valeur intermédiaire.

Rappel de cours : Diviser par $\log a$log a quand $0<a<1$0 < a < 1 INVERSE le sens de l'inégalité, puisque $\log a<0$log a < 0.

Erreur fréquente : Garder le sens de l'inégalité : on conclurait $t<31,73$t < 31,73, soit exactement le contraire.

Correction détaillée

1. 1

   Sur une échelle logarithmique, la position d'une valeur $f$f est proportionnelle à $\log f$log f.

2. 2

   Or $\log 10=1$log 10 = 1, $\log 100=2$log 100 = 2, $\log 1000=3$log 1 000 = 3, $\log 10000=4$log 10 000 = 4 : les positions sont $1$1, $2$2, $3$3, $4$4 — régulièrement espacées ✔.

   Chaque intervalle est une DÉCADE (facteur $10$10).

3. 3

   Pour $500$500 Hz : $\log 500\approx 2,699$log 500 ≈ 2,699.

   La position relative dans la décade $[2;3]$[2 ; 3] est $0,699$0,699, soit environ $70\%$70% de l'intervalle.

4. 4

   Le point $500$500 Hz est donc situé aux $70\%$70% de l'intervalle, nettement plus près de $1000$1 000 que de $100$100 — ce qui surprend au premier abord.

5. 5

   Milieu géométrique de l'intervalle : la position $2,5$2,5 correspond à $f=10^{2,5}\approx 316,2$f = 10^(2,5) ≈ 316,2 Hz.

6. 6

   C'est la moyenne GÉOMÉTRIQUE de $100$100 et $1000$1 000 : $\sqrt{100\times 1000}=\sqrt{100000}\approx 316,2$√(100× 1 000) = √(100 000) ≈ 316,2 ✔.

7. 7

   À retenir : sur une échelle logarithmique, le milieu d'un intervalle est la moyenne géométrique des bornes, pas leur moyenne arithmétique ($550$550 Hz, qui serait aux $74\%$74% de l'intervalle).

Rappel de cours : Échelle logarithmique : la position dépend de $\log f$log f. Le milieu d'un intervalle est la moyenne GÉOMÉTRIQUE des bornes.

Erreur fréquente : Placer $500$500 Hz au milieu de l'intervalle $[100;1000]$[100 ; 1 000] : cette position correspond à $316$316 Hz.

Correction détaillée

1. 1

   $M=\log 10000=\log \left(10^4\right)=4$M = log 10 000 = log(10⁴) = 4.

   La magnitude vaut $4$4.

2. 2

   Si la magnitude augmente de $1$1, alors $\log \frac{A}{A_0}$logA/A₀ augmente de $1$1, donc $\frac{A}{A_0}$A/A₀ est multiplié par $10$10.

3. 3

   Une magnitude $+2$+2 correspond donc à une amplitude multipliée par $10^2=100$10² = 100.

4. 4

   Comparaison des deux séismes : l'écart de magnitude est $6,5-4,5=2$6,5 - 4,5 = 2.

5. 5

   L'amplitude du second est donc $100$100 fois celle du premier.

6. 6

   Calcul détaillé : $\frac{A_2}{A_1}=\frac{10^{6,5}}{10^{4,5}}=10^2=100$A₂/A₁ = 10^(6,5)/10^(4,5) = 10² = 100 ✔.

7. 7

   Attention à une confusion fréquente : l'ÉNERGIE libérée, elle, suit une autre loi (multipliée par environ $31,6$31,6 par unité de magnitude, soit $10^{1,5}$10^(1,5)).

   Un écart de $2$2 correspond alors à un facteur $1000$1 000 sur l'énergie.

8. 8

   Ordre de grandeur à retenir : une magnitude $6,5$6,5 n'est pas « $1,4$1,4 fois pire » qu'une magnitude $4,5$4,5, mais cent fois plus ample et mille fois plus énergétique.

Rappel de cours : Une échelle logarithmique transforme un facteur multiplicatif en écart ADDITIF : $+1$+1 de magnitude, c'est $\times 10$× 10 sur l'amplitude.

Erreur fréquente : Comparer les magnitudes par différence relative ($\frac{6,5}{4,5}\approx 1,4$6,5/4,5 ≈ 1,4) : sur une échelle logarithmique, seule la DIFFÉRENCE a un sens.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{U_s}{U_e}=\frac{1,5}{0,05}=30$U_s/Uₑ = 1,5/0,05 = 30, donc $G=20\log 30$G = 20log 30.

2. 2

   $\log 30=\log 3+\log 10\approx 0,477+1=1,477$log 30 = log 3 + log 10 ≈ 0,477 + 1 = 1,477, donc $G\approx 20\times 1,477\approx 29,5$G ≈ 20 × 1,477 ≈ 29,5 dB.

3. 3

   Pour une chaîne, les tensions se MULTIPLIENT, donc les gains en décibels s'ADDITIONNENT : $G_{\text{total}}=18+24-6=36$G_total = 18 + 24 - 6 = 36 dB.

4. 4

   C'est la grande commodité des décibels : une multiplication de facteurs devient une addition de gains.

5. 5

   Facteur d'amplification : $36=20\log k$36 = 20log k donne $\log k=1,8$log k = 1,8, donc $k=10^{1,8}\approx 63,1$k = 10^(1,8) ≈ 63,1.

6. 6

   La tension est donc multipliée par environ $63$63.

7. 7

   Contrôle : les trois étages multiplient respectivement par $10^{0,9}\approx 7,94$10^(0,9) ≈ 7,94, $10^{1,2}\approx 15,85$10^(1,2) ≈ 15,85 et $10^{-0,3}\approx 0,501$10^(-0,3) ≈ 0,501.

   Produit : $7,94\times 15,85\times 0,501\approx 63,1$7,94× 15,85× 0,501 ≈ 63,1 ✔.

8. 8

   Tension divisée par deux : $G=20\log 0,5\approx 20\times (-0,301)\approx -6,02$G = 20log 0,5 ≈ 20 × (-0,301) ≈ -6,02 dB.

9. 9

   D'où le repère universel en électronique : $-6$-6 dB, c'est « moitié de la tension » (et $-3$-3 dB, moitié de la PUISSANCE, car la puissance utilise le facteur $10$10 et non $20$20).

Rappel de cours : Gains en cascade : les décibels s'ADDITIONNENT. $G=20\log k⟺k=10^{G/20}$G = 20log k ⇔ k = 10^(G/20).

Erreur fréquente : Multiplier les gains en décibels : $18\times 24\times (-6)$18 × 24 × (-6) n'a aucun sens. Ce sont les FACTEURS qui se multiplient, les décibels qui s'ajoutent.

Correction détaillée

1. 1

   Demi-vie de $74$74 jours : $A(t)=3700\times 0,5^{t/74}$A(t) = 3 700 × 0,5^(t/74) MBq.

2. 2

   Coefficient journalier : $a=0,5^{1/74}$a = 0,5^(1/74).

   Comme $\log a=\frac{\log 0,5}{74}\approx \frac{-0,30103}{74}\approx -0,004068$log a = (log 0,5)/74 ≈ (-0,301 03)/74 ≈ -0,004 068, on a $a\approx 10^{-0,004068}\approx 0,99068$a ≈ 10^(-0,004 068) ≈ 0,990 68.

3. 3

   Soit une baisse d'environ $0,93\%$0,93% par jour.

4. 4

   Âge de la source : on résout $3700\times 0,5^{t/74}=950$3 700 × 0,5^(t/74) = 950, soit $0,5^{t/74}=\frac{950}{3700}\approx 0,25676$0,5^(t/74) = 950/(3 700) ≈ 0,256 76.

5. 5

   En prenant le logarithme : $\frac{t}{74}\log 0,5=\log 0,25676$t/74log 0,5 = log 0,256 76.

6. 6

   $\log 0,25676\approx -0,5905$log 0,256 76 ≈ -0,590 5, donc $\frac{t}{74}=\frac{-0,5902}{-0,30103}\approx 1,962$t/74 = (-0,590 2)/(-0,301 03) ≈ 1,962.

7. 7

   $t\approx 1,962\times 74\approx 145,2$t ≈ 1,962 × 74 ≈ 145,2 jours.

   La source a donc été fabriquée il y a environ $145$145 jours.

8. 8

   Contrôle : $1,96$1,96 demi-vie, c'est un peu moins de deux, et $\frac{3700}{4}=925$(3 700)/4 = 925 MBq après exactement deux demi-vies ✔ cohérent avec les $950$950 MBq mesurés.

9. 9

   Passage sous $100$100 MBq : $0,5^{t/74}<\frac{100}{3700}\approx 0,027027$0,5^(t/74) < 100/(3 700) ≈ 0,027 027.

10. 10

    $\frac{t}{74}>\frac{\log 0,027027}{\log 0,5}=\frac{-1,5682}{-0,30103}\approx 5,209$t/74 > (log 0,027 027)/(log 0,5) = (-1,568 2)/(-0,301 03) ≈ 5,209, donc $t>385,5$t > 385,5 jours.

11. 11

    L'activité passera sous $100$100 MBq au bout d'environ $385$385 jours après la fabrication, soit dans $385-145=240$385 - 145 = 240 jours environ.

Rappel de cours : Modèle à demi-vie $T$T : $A(t)=A_{0}0,5^{t/T}$A(t) = A₀ 0,5^(t/T), et $\frac{t}{T}=\frac{\log (A/A_0)}{\log 0,5}$t/T = (log(A/A₀))/(log 0,5) donne le nombre de demi-vies écoulées.

Erreur fréquente : Oublier de multiplier par $74$74 à la fin : on annoncerait un âge de $1,96$1,96 jour au lieu de $145$145 jours.

Correction détaillée

1. 1

   Si $P_r=0,01P_e$P_r = 0,01 Pₑ, alors $\frac{P_e}{P_r}=100$Pₑ/P_r = 100, donc $A=10\log 100=20$A = 10log 100 = 20 dB.

2. 2

   L'atténuation admissible est donc de $20$20 dB au maximum.

3. 3

   Longueur maximale : $\frac{20}{0,25}=80$20/0,25 = 80 km.

4. 4

   Pour $60$60 km : $A=0,25\times 60=15$A = 0,25 × 60 = 15 dB.

5. 5

   On inverse la formule : $15=10\log \frac{P_e}{P_r}$15 = 10logPₑ/P_r donne $\frac{P_e}{P_r}=10^{1,5}\approx 31,62$Pₑ/P_r = 10^(1,5) ≈ 31,62.

6. 6

   Donc $\frac{P_r}{P_e}=\frac{1}{31,62}\approx 0,0316$P_r/Pₑ = 1/31,62 ≈ 0,031 6, soit environ $3,16\%$3,16% de la puissance émise.

7. 7

   Ce résultat est bien supérieur au $1\%$1% exigé ✔ la liaison est exploitable avec une marge de $5$5 dB.

8. 8

   Avec deux épissures : $A=15+0,3+0,3=15,6$A = 15 + 0,3 + 0,3 = 15,6 dB, toujours inférieur aux $20$20 dB admissibles.

9. 9

   Puissance reçue : $10^{1,56}\approx 36,31$10^(1,56) ≈ 36,31, donc $\frac{P_r}{P_e}\approx 2,75\%$P_r/Pₑ ≈ 2,75% — encore au-dessus du $1\%$1% requis.

10. 10

    Conclusion : la liaison reste exploitable, avec une marge de $20-15,6=4,4$20 - 15,6 = 4,4 dB.

    On pourrait ajouter jusqu'à $14$14 épissures supplémentaires ($4,4÷0,3\approx 14,7$4,4 ÷ 0,3 ≈ 14,7) avant d'atteindre la limite.