La convexité — exercices types corrigés

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x) = 6x.

   → Convexité et dérivée seconde
2. 2.
   Concave pour $x<0$x < 0, convexe pour $x>0$x > 0.

Méthode utilisée : On étudie le signe de $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x.

Erreur fréquente : Oublier que la convexité change en $0$0.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=2>0$f''(x) = 2 > 0 partout.

   → Convexité et dérivée seconde
2. 2.
   $f$f est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }(x)=2>0$f''(x)=2>0 : convexe.

Erreur fréquente : Confondre « convexe » et « croissant ».

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$f''(x) = 12x² ≥ 0 pour tout $x$x.

   → Convexité et dérivée seconde
2. 2.
   $f$f est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$f''(x)=12x²≥ 0 : convexe partout.

Erreur fréquente : Croire qu'il y a un point d'inflexion en $0$0 : $f^{\prime \prime }$f'' s'y annule mais ne change pas de signe.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=2>0$f''(x)=2>0 : $f$f est convexe.

Méthode utilisée : Signe de $f^{\prime \prime }$f'' : positif $\Rightarrow$⇒ convexe.

Erreur fréquente : Confondre convexe et croissant.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=-2<0$f''(x)=-2<0 : $f$f est concave.

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }<0\Rightarrow$f''<0⇒ concave.

Erreur fréquente : Dire « convexe » par habitude.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x : négatif avant $0$0, positif après.

Méthode utilisée : On étudie le signe de $f^{\prime \prime }$f''.

Erreur fréquente : Oublier le changement de convexité en $0$0.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$f''(x)=6x-6 : positif pour $x>1$x>1.

Méthode utilisée : Signe de $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$f''(x)=6x-6.

Erreur fréquente : Se tromper sur le sens de l'inégalité.

1. 1.
   $C^{\prime \prime }(x)=6x-12>0\Rightarrow x>2$C''(x)=6x-12>0⇒ x>2.

Méthode utilisée : Signe de la dérivée seconde.

Erreur fréquente : Étudier $C^{\prime }$C' au lieu de $C^{\prime \prime }$C''.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$f''(x)=12x²≥ 0 : convexe.

   → Convexité et dérivée seconde

Méthode utilisée : Signe de $f^{\prime \prime }$f''.

Erreur fréquente : Confondre avec les variations.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$f''(x)=6x-12, positif pour $x>2$x>2.

   → Convexité et dérivée seconde

Méthode utilisée : Signe de $f^{\prime \prime }$f''.

Erreur fréquente : Étudier $f^{\prime }$f'.