Notion

La fonction composée

Q: C'est quoi une fonction composée ?

C'est une fonction emboîtée dans une autre, comme √(2x+1) ou (3x+1)². On a une fonction « intérieure » et une « extérieure ».

Q: Comment décomposer une fonction ?

On repère ce qui est « à l'intérieur » (la fonction intérieure f) et ce qui agit par-dessus (la fonction extérieure g). Pour (3x+1)² : f(x) = 3x+1, g(x) = x².

Q: Comment trouver le domaine ?

On applique les contraintes de la fonction extérieure : positif sous une racine, dénominateur non nul, etc. Pour √(2x+1), il faut 2x+1 ≥ 0.

Q: Comment reconnaître une fonction composée ?

Quand une fonction en contient une autre, comme √(2x + 1) : la fonction intérieure est 2x + 1 et l'extérieure est la racine carrée.

Q: Comment décomposer √(2x + 1) ?

On pose u(x) = 2x + 1 (intérieure) et v(X) = √X (extérieure) : la fonction est v∘u, c'est-à-dire v(u(x)).

Une fonction composée est une fonction obtenue en appliquant successivement deux fonctions : on note $g \circ u$ g∘ u la fonction qui à $x$ x associe $g (u (x))$ g(u(x)). On y reconnaît une fonction « extérieure » $g$ g appliquée à une fonction « intérieure » $u$ u. Par exemple, $2 x + 1$ √(2x+1) est la composée de $u (x) = 2 x + 1$ u(x)=2x+1 suivie de la racine, et $e^{x^{2}}$ e^(x²) celle de $x^{2}$ x² suivie de l'exponentielle. Savoir décomposer une fonction en fonctions simples est indispensable pour la dériver : la dérivée d'une composée est $(g \circ u)^{'} = u^{'} \times g^{'} (u)$ (g∘ u)'=u'× g'(u). Les fonctions composées apparaissent partout en terminale, dans l'étude de $ln (u)$ ln(u), $e^{u}$ e^(u), $u^{n}$ uⁿ ou $u$ √(u).

Définitions

Fonction composée: C'est une fonction de la forme $g (f (x))$ g(f(x)), composée d'une fonction intérieure $f$ f et d'une fonction extérieure $g$ g.
Fonction intérieure et extérieure: Dans $g \circ u$ g∘ u, $u$ u est la fonction intérieure (calculée en premier) et $g$ g l'extérieure. Pour $2 x + 1$ √(2x+1) : intérieure $u = 2 x + 1$ u=2x+1, extérieure la racine.

Formules

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Décomposition →

h (x) = g (f (x)) : f int \overset{e}{ˊ} rieure, g ext \overset{e}{ˊ} rieure

h(x) = g(f(x)) : f intérieure , g extérieureIdentifier la fonction du dedans et celle du dehors.

Méthodes

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Étudier une fonction composée →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Décomposer

Niveau 2 · Méthode complète

Décomposer

h (x) = (3 x + 1)^{2}

h(x) = (3x+1)².

Voir la correction

1.
$f (x) = 3 x + 1$ f(x) = 3x + 1 (intérieure), $g (x) = x^{2}$ g(x) = x² (extérieure).
→ Décomposition

Réponse :

f (x) = 3 x + 1

f(x) = 3x+1,

g (x) = x^{2}

g(x) = x².

Domaine avec racine

Niveau 2 · Méthode complète

Domaine de

h (x) = 2 x + 1

h(x) = √(2x+1).

Voir la correction

1.
On impose $2 x + 1 \geq 0$ 2x + 1 ≥ 0.
→ Décomposition
2.
$x \geq - \frac{1}{2}$ x ≥ -1/2, soit $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ [-1/2 ;+∞[.

Réponse :

[- \frac{1}{2}; + \infty [

[-1/2 ;+∞[.

Méthode utilisée : Domaine d'une racine : l'argument doit être $\geq 0$ ≥ 0.

Erreur fréquente : Inclure des valeurs où $2 x + 1 < 0$ 2x+1<0.

Faire les 10 exercices types sur fonction composée8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une fonction composée ?

C'est une fonction emboîtée dans une autre, comme √(2x+1) ou (3x+1)². On a une fonction « intérieure » et une « extérieure ».

Comment décomposer une fonction ?

On repère ce qui est « à l'intérieur » (la fonction intérieure f) et ce qui agit par-dessus (la fonction extérieure g). Pour (3x+1)² : f(x) = 3x+1, g(x) = x².

Comment trouver le domaine ?

On applique les contraintes de la fonction extérieure : positif sous une racine, dénominateur non nul, etc. Pour √(2x+1), il faut 2x+1 ≥ 0.

Comment reconnaître une fonction composée ?

Quand une fonction en contient une autre, comme √(2x + 1) : la fonction intérieure est 2x + 1 et l'extérieure est la racine carrée.

Comment décomposer √(2x + 1) ?

On pose u(x) = 2x + 1 (intérieure) et v(X) = √X (extérieure) : la fonction est v∘u, c'est-à-dire v(u(x)).