Ce que dit la formule
On calcule la dérivée seconde f''. Là où f'' ≥ 0, la fonction est convexe ; là où f'' ≤ 0, elle est concave.
Un changement de signe de f'' donne un point d'inflexion.
Convexe se lit « creux vers le haut » : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, et toute corde reliant deux de ses points passe au-dessus d'elle. Concave, c'est exactement l'inverse.
La convexité ne dit rien du sens de variation. Une fonction peut être convexe et décroissante, comme la fonction inverse sur ]0 ;+∞[.
Exemple
f(x) = x³ : f''(x) = 6x, convexe pour x > 0, concave pour x < 0.
Deuxième exemple
f(x) = e^(x) a pour dérivée seconde f''(x) = e^(x), toujours strictement positive : la fonction exponentielle est convexe sur ℝ tout entier, sans aucun point d'inflexion.
Piège à éviter
La convexité se lit sur f'', pas sur f' (qui donne les variations).
Les autres formules de la convexité
Questions fréquentes
Comment reconnaître visuellement une fonction convexe ?
Sa courbe forme un creux vers le haut, et une corde reliant deux de ses points reste au-dessus d'elle.
Convexe signifie-t-il croissante ?
Non, les deux notions sont indépendantes. La fonction inverse est convexe sur ]0 ;+∞[ tout en y étant décroissante.
Une fonction peut-elle être convexe partout ?
Oui : l'exponentielle et la fonction carré le sont sur ℝ entier, car leur dérivée seconde ne change jamais de signe.
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