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Notion

La convexité

La convexité décrit la façon dont une courbe se courbe. Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe tourne vers le haut, en forme de cuvette, et reste au-dessus de chacune de ses tangentes ; elle est concave quand la courbe tourne vers le bas et passe sous ses tangentes. L'outil de référence est la dérivée seconde : f est convexe là où f''≥0, concave là où f''≤0. Un point où f'' s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion, où la courbe change de convexité. La convexité affine l'étude d'une fonction et fournit des inégalités classiques comme e^(x)≥ x+1.

Définitions

Fonction convexe
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est tournée vers le haut (au-dessus de ses tangentes). Cela correspond à f'' ≥ 0.
Fonction concave
Une fonction est concave si sa courbe est tournée vers le bas (en dessous de ses tangentes). Cela correspond à f'' ≤ 0.

Formules

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Convexité et dérivée seconde →f'' ≥ 0 ⇒ f convexe f'' ≤ 0 ⇒ f concaveLe signe de f'' donne la convexité.Position par rapport aux tangentes et aux cordes →f convexe ⇒ courbe au-dessus de ses tangentesUne fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.

Méthodes

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Étudier la convexité →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Convexité de x³

Niveau 2 · Méthode complète
Étudier la convexité de f(x) = x³.
Voir la correction
  1. 1.
    f''(x) = 6x.
    → Convexité et dérivée seconde
  2. 2.
    Concave pour x < 0, convexe pour x > 0.
Réponse : Concave sur ]-∞ ;0], convexe sur [0 ;+∞[.

Méthode utilisée : On étudie le signe de f''(x)=6x.

Erreur fréquente : Oublier que la convexité change en 0.

2

Toujours convexe

Niveau 1 · Application directe
La fonction f(x) = x² est-elle convexe ?
Voir la correction
  1. 1.
    f''(x) = 2 > 0 partout.
    → Convexité et dérivée seconde
  2. 2.
    f est convexe sur ℝ.
Réponse : Oui, convexe sur ℝ.

Méthode utilisée : f''(x)=2>0 : convexe.

Erreur fréquente : Confondre « convexe » et « croissant ».

Faire les 10 exercices types sur convexité8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une fonction convexe, simplement ?

Sa courbe est tournée vers le haut, comme un bol qui retient l'eau. Concave, c'est l'inverse : tournée vers le bas, comme un dôme.

Comment étudier la convexité ?

On regarde le signe de la dérivée seconde f''. f'' ≥ 0 → convexe, f'' ≤ 0 → concave.

Quelle différence avec les variations ?

Les variations (monter/descendre) se lisent sur f'. La convexité (forme de la courbe) se lit sur f''. Ce sont deux choses différentes.

Comment savoir si une fonction est convexe avec la dérivée seconde ?

Si f''(x) ≥ 0 sur un intervalle, f est convexe (courbe tournée vers le haut) ; si f''(x) ≤ 0, f est concave.

C'est quoi une fonction concave ?

Une fonction dont la courbe est tournée vers le bas (comme une colline) : elle est au-dessus de ses cordes, et f''(x) ≤ 0.

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