Notion

La dérivée d'une fonction composée

La dérivée d'une fonction composée se calcule avec la règle de la chaîne : si $f = g \circ u$ f=g∘ u, c'est-à-dire $f (x) = g (u (x))$ f(x)=g(u(x)), alors $f^{'} (x) = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x))$ f'(x)=u'(x)× g'(u(x)). Autrement dit, on dérive la fonction extérieure $g$ g en gardant l'intérieure $u$ u, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieure. On en déduit les formules usuelles : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (e^(u))'=u'e^(u), $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)'=u'/u, $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (√(u))'=u'/2√(u) et $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ (uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹. Reconnaître la fonction intérieure est la clé pour dériver des expressions comme $e^{x^{2}}$ e^(x²), $ln (3 x + 1)$ ln(3x+1) ou $x^{2} + 1$ √(x²+1). C'est un outil central de l'étude des fonctions en terminale.

Définitions

Règle de dérivation: La dérivée de $g (f (x))$ g(f(x)) est $f^{'} (x) \times g^{'} (f (x))$ f'(x)× g'(f(x)) : on dérive la fonction extérieure (en gardant l'intérieur), puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Règle de la chaîne: $(g \circ u)^{'} = u^{'} \times g^{'} (u)$ (g∘ u)'=u'× g'(u) : la dérivée de l'intérieure multipliée par la dérivée de l'extérieure évaluée en $u$ u.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Règle de la chaîne →

(g \circ f)^{'} (x) = f^{'} (x) \times g^{'} (f (x)) (u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1} (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}

(g ∘ f)'(x) = f'(x)× g'(f(x)) (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ (√(u))' = u'/2√(u)Dériver l'extérieur, multiplier par la dérivée de l'intérieur.

Méthodes

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Calculer la dérivée d'une composée →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Carré d'une affine

Niveau 2 · Méthode complète

Dériver

h (x) = (3 x + 1)^{2}

h(x) = (3x+1)².

Voir la correction

1.
$u = 3 x + 1$ u = 3x+1, $u^{'} = 3$ u' = 3. $(u^{2})^{'} = 2 u^{'} u$ (u²)' = 2u'u.
→ Règle de la chaîne
2.
$h^{'} (x) = 6 (3 x + 1)$ h'(x) = 6(3x+1).

Réponse :

6 (3 x + 1)

6(3x+1).

Méthode utilisée : $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ (uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹.

Erreur fréquente : Oublier le facteur $u^{'} = 3$ u'=3.

Puissance 3

Niveau 2 · Méthode complète

Dériver

h (x) = (2 x - 5)^{3}

h(x) = (2x-5)³.

Voir la correction

1.
$u = 2 x - 5$ u = 2x-5, $u^{'} = 2$ u' = 2. $(u^{3})^{'} = 3 u^{'} u^{2}$ (u³)' = 3u'u².
→ Règle de la chaîne
2.
$h^{'} (x) = 6 (2 x - 5)^{2}$ h'(x) = 6(2x-5)².

Réponse :

6 (2 x - 5)^{2}

6(2x-5)².

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Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée ?

Avec la règle de la chaîne : (g∘f)'(x) = f'(x) × g'(f(x)). On dérive l'extérieur en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Quelle est l'erreur la plus fréquente ?

Oublier de multiplier par u' (la dérivée de l'intérieur). La dérivée de (3x+1)² est 6(3x+1), pas 2(3x+1).

Quels sont les cas usuels ?

(uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹, (√u)' = u'/(2√u), (eᵘ)' = u'·eᵘ. À chaque fois, le facteur u' apparaît.

Quelle est la formule de la dérivée d'une composée ?

(v∘u)'(x) = u'(x) × v'(u(x)). On dérive l'extérieure appliquée à l'intérieure, multipliée par la dérivée de l'intérieure.

Comment dériver (3x + 1)⁵ ?

Avec u = 3x + 1 et u' = 3 : la dérivée est 5 × 3 × (3x + 1)⁴ = 15(3x + 1)⁴.

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