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Notion

La dérivée seconde

La dérivée seconde d'une fonction f, notée f'', est la dérivée de sa dérivée f' : on dérive donc deux fois de suite. Elle mesure comment varie la pente de la courbe et renseigne sur sa convexité : là où f''(x)≥0, la fonction est convexe (courbe tournée vers le haut) ; là où f''(x)≤0, elle est concave. Un point où f'' s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion, où la courbe traverse sa tangente. La dérivée seconde intervient aussi en physique — l'accélération est la dérivée seconde de la position — et pour affiner l'étude d'une fonction au-delà de ses simples variations.

Définitions

Dérivée seconde
C'est la dérivée de f', notée f''. On dérive donc deux fois la fonction de départ.
Convexité et concavité
f est convexe sur un intervalle où f''≥0 et concave où f''≤0. Le signe de f'' donne donc directement la convexité, comme le signe de f' donne les variations.

Formules

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Dérivée seconde →f'' = (f')'On dérive deux fois la fonction.

Méthodes

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Calculer une dérivée seconde →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Dérivée seconde de x³

Niveau 1 · Application directe
Calculer f'' pour f(x) = x³.
Voir la correction
  1. 1.
    f'(x) = 3x².
    → Dérivée seconde
  2. 2.
    f''(x) = 6x.
Réponse : f''(x) = 6x.
2

Dérivée seconde de x⁴

Niveau 2 · Méthode complète
Calculer f'' pour f(x) = x⁴.
Voir la correction
  1. 1.
    f'(x) = 4x³.
    → Dérivée seconde
  2. 2.
    f''(x) = 12x².
Réponse : f''(x) = 12x².
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Questions fréquentes

C'est quoi la dérivée seconde ?

C'est la dérivée de la dérivée : on dérive la fonction, puis on dérive encore le résultat. On la note f''.

À quoi sert-elle ?

Surtout à étudier la convexité : le signe de f'' dit si la courbe est tournée vers le haut (convexe) ou vers le bas (concave).

Comment la calculer ?

On calcule f', puis on dérive f'. Pour f(x) = x³ : f'(x) = 3x², puis f''(x) = 6x.

Comment calcule-t-on la dérivée seconde ?

On dérive une première fois pour obtenir f', puis on dérive f' à nouveau : f'' = (f')'.

Que dit le signe de la dérivée seconde ?

Il donne la convexité : f'' > 0 signifie f convexe, f'' < 0 signifie f concave. Un changement de signe indique un point d'inflexion.

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