Notion

La composition de fonctions

Composer deux fonctions, c'est les appliquer l'une après l'autre : la composée $g \circ f$ g∘ f associe à $x$ x le nombre $g (f (x))$ g(f(x)). On calcule d'abord $f (x)$ f(x), puis on applique $g$ g au résultat. L'ordre est essentiel : en général $g \circ f \neq = f \circ g$ g∘ f≠ f∘ g. Le domaine de $g \circ f$ g∘ f est formé des $x$ x pour lesquels $f (x)$ f(x) existe et appartient au domaine de $g$ g. La composition sert à décrire des fonctions « emboîtées » comme $2 x + 1$ √(2x+1) ou $e^{x^{2}}$ e^(x²), et elle est au cœur de la dérivation d'une fonction composée. Savoir décomposer une fonction en fonctions simples est une compétence clé pour dériver et étudier une fonction.

Définitions

Composée g∘f: $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) : on calcule d'abord $f (x)$ f(x), puis on applique $g$ g à ce résultat.
Ordre de composition: Dans $g \circ f$ g∘ f, on applique $f$ f puis $g$ g : on lit « $g$ g rond $f$ f ». Inverser l'ordre change en général le résultat, car $g \circ f \neq = f \circ g$ g∘ f≠ f∘ g.

Formules

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Composée de deux fonctions →

(g \circ f) (x) = g (f (x))

(g ∘ f)(x) = g(f(x))On applique f puis g.

Méthodes

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Composer des fonctions →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Composée g∘f

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

f (x) = x + 1

f(x) = x + 1,

g (x) = x^{2}

g(x) = x², calculer

(g \circ f) (x)

(g ∘ f)(x).

Voir la correction

1.
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (x + 1)^{2}$ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (x+1)².
→ Composée de deux fonctions

Réponse :

(x + 1)^{2}

(x+1)².

Composée f∘g

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

f (x) = x + 1

f(x) = x + 1,

g (x) = x^{2}

g(x) = x², calculer

(f \circ g) (x)

(f ∘ g)(x).

Voir la correction

1.
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = x^{2} + 1$ (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = x² + 1.
→ Composée de deux fonctions

Réponse :

x^{2} + 1

x² + 1.

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Questions fréquentes

C'est quoi composer deux fonctions ?

C'est les enchaîner : (g∘f)(x) = g(f(x)) veut dire « on applique f, puis g au résultat ». Comme deux machines à la suite.

L'ordre compte-t-il ?

Oui ! g∘f et f∘g donnent en général des résultats différents. On applique toujours la fonction de droite en premier.

Comment lire g∘f ?

« g rond f ». On lit de droite à gauche : f agit d'abord, puis g. C'est un piège classique.

Comment calculer (g∘f)(x) ?

On applique d'abord f, puis g au résultat : (g∘f)(x) = g(f(x)). On commence par la fonction la plus à droite.

g∘f et f∘g sont-elles égales ?

En général non : l'ordre compte. Avec f(x) = x + 1 et g(x) = x², g∘f donne (x+1)² alors que f∘g donne x² + 1.

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