Le point d'inflexion — exercices types corrigés

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x) = 6x s'annule en $0$0 en changeant de signe.

   → Condition d'inflexion
2. 2.
   $f(0)=0$f(0) = 0 : point d'inflexion $(0;0)$(0 ;0).

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }$f'' s'annule en changeant de signe.

Erreur fréquente : Croire que $0$0 est un extremum.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$f''(x) = 12x² ≥ 0, nul en $0$0 mais sans changement de signe.

   → Condition d'inflexion
2. 2.
   Pas de point d'inflexion.

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$f''(x)=12x² s'annule en $0$0 mais ne change pas de signe.

Erreur fréquente : Conclure « point d'inflexion » dès que $f^{\prime \prime }=0$f''=0.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$f'(x) = 3x² - 6x, $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$f''(x) = 6x - 6, nul en $x=1$x = 1.

   → Condition d'inflexion
2. 2.
   $f^{\prime \prime }$f'' change de signe en $1$1 ; $f(1)=1-3=-2$f(1) = 1 - 3 = -2 : inflexion $(1;-2)$(1 ;-2).

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }(x)=0$f''(x)=0, puis on calcule l'ordonnée $f(x)$f(x).

Erreur fréquente : Donner seulement l'abscisse et oublier l'ordonnée.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x s'annule et change de signe en $0$0.

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }$f'' s'annule en changeant de signe.

Erreur fréquente : Croire que $0$0 est un extremum.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$f''(x)=6x-6=0⇒ x=1, changement de signe.
2. 2.
   $f(1)=1-3=-2$f(1)=1-3=-2.

Méthode utilisée : On résout $f^{\prime \prime }(x)=0$f''(x)=0 puis on calcule $f$f.

Erreur fréquente : Donner seulement $x=1$x=1 sans l'ordonnée.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2$f''(x)=6x-12=0⇒ x=2, changement de signe.

Méthode utilisée : Annulation avec changement de signe de $f^{\prime \prime }$f''.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier le changement de signe.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$f'(x)=3x²≥ 0 : $f^{\prime }$f' ne change pas de signe, donc pas d'extremum.
2. 2.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x change de signe : c'est un point d'inflexion.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0 n'implique pas un extremum : il faut un changement de signe de $f^{\prime }$f'.

Erreur fréquente : Conclure « extremum » dès que $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$f''(x)=6x-6=0⇒ x=1, $f(1)=-2$f(1)=-2.

Méthode utilisée : Abscisse via $f^{\prime \prime }=0$f''=0, ordonnée via $f$f.

Erreur fréquente : Donner l'ordonnée $f^{\prime \prime }(1)$f''(1) au lieu de $f(1)$f(1).

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x=0\Rightarrow x=0$f''(x)=6x=0⇒ x=0, $f(0)=0$f(0)=0.

   → Condition d'inflexion

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }=0$f''=0 avec changement de signe.

Erreur fréquente : Croire à un extremum.

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2$f''(x)=6x-12=0⇒ x=2.

   → Condition d'inflexion

Méthode utilisée : $f^{\prime \prime }(x)=0$f''(x)=0, changement de signe.

Erreur fréquente : Utiliser $f^{\prime }$f'.