La dérivée seconde — exercices types corrigés

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2$f'(x) = 3x².

   → Dérivée seconde
2. 2.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x) = 6x.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=4x^3$f'(x) = 4x³.

   → Dérivée seconde
2. 2.
   $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$f''(x) = 12x².

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-4x$f'(x) = 3x² - 4x.

   → Dérivée seconde
2. 2.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-4$f''(x) = 6x - 4.

Méthode utilisée : On dérive deux fois.

Erreur fréquente : La dérivée seconde de la constante $+5$+5 est $0$0 (ne pas la traîner).

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2$f'(x)=3x², $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x.

Méthode utilisée : On dérive deux fois.

Erreur fréquente : S'arrêter à $f^{\prime }$f'.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x)=2x-4, $f^{\prime \prime }(x)=2$f''(x)=2.

Méthode utilisée : Double dérivation.

Erreur fréquente : Garder un terme en $x$x.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=4x^3$f'(x)=4x³, $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$f''(x)=12x².

Méthode utilisée : On applique deux fois la dérivée d'une puissance.

Erreur fréquente : Écrire $f^{\prime \prime }(x)=4x^2$f''(x)=4x².

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$f'(x)=3x²-6x+2, $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$f''(x)=6x-6.

Méthode utilisée : Dérivation terme à terme, deux fois.

Erreur fréquente : Oublier de dériver le terme $+2x$+2x une seconde fois (sa dérivée seconde est $0$0).

1. 1.
   $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$f''(x)=6x-6, négatif avant $1$1, positif après.

Méthode utilisée : Signe de $f^{\prime \prime }$f'' pour la convexité.

Erreur fréquente : Confondre $f^{\prime }$f' et $f^{\prime \prime }$f''.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=15x^2-2$f'(x)=15x²-2, $f^{\prime \prime }(x)=30x$f''(x)=30x.

   → Dérivée seconde

Méthode utilisée : Dériver deux fois.

Erreur fréquente : S'arrêter à $f^{\prime }$f'.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=4x^3-2x$f'(x)=4x³-2x, $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-2$f''(x)=12x²-2.

   → Dérivée seconde

Méthode utilisée : Double dérivation.

Erreur fréquente : Mal dériver $4x^3$4x³.