Compléments sur la dérivation en Terminale spé maths

Compléments sur la dérivation en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu enrichis ton arsenal de dérivation : dérivée d'une composée, dérivée seconde et convexité, applications avancées à l'étude de fonctions.

Rappels

Dérivées usuelles

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1};(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}};(e^x{)}^{\prime }=e^x;(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ ; (√(x))' = 1/2√(x) ; (e^(x))' = e^(x) ; (ln x)' = 1/x

Opérations

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$(uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v - uv')/v²

Dérivée d'une fonction composée

Théorème

$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\times f^{\prime }(g(x))$$(f ∘ g)'(x) = g'(x) × f'(g(x))

Souvent noté :

$$(f(u){)}^{\prime }=u^{\prime }\times f^{\prime }(u)$$(f(u))' = u' × f'(u)

Cas usuels

Exemples

$$((3x+1{)}^5{)}^{\prime }=5(3x+1{)}^4\times 3=15(3x+1{)}^4$$((3x + 1)⁵)' = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴

$$(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x\times e^{x^2}$$(e^(x²))' = 2x × e^(x²)

$$(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$(ln(x² + 1))' = 2x/(x² + 1)

$$(\sqrt{2x+3}{)}^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$$(√(2x + 3))' = 2/(2 √(2x + 3)) = 1/(√(2x + 3))

Dérivée seconde

Définition

$$f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x)$$f''(x) = (f')'(x)

C'est la dérivée de la dérivée.

Notation alternative

$$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$$(d² f)/dx²

Exemple

$f(x)=x^3⟹f^{\prime }(x)=3x^2⟹f^{\prime \prime }(x)=6x$f(x) = x³ ⇒ f'(x) = 3x² ⇒ f''(x) = 6x.

Convexité

Définitions

• $f$f est convexe sur $I$I si sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$I.
• $f$f est concave si sa courbe est en-dessous de ses tangentes.

Caractérisation par la dérivée seconde

Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en ce point.

Exemples

• $x^2$x² est convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.
• $\ln (x)$ln(x) est concave sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.
• $x^3$x³ a un point d'inflexion en $0$0 (concave avant, convexe après).

Tangente et position relative

Équation de la tangente en $a$a

$$T:y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$T : y = f'(a)(x - a) + f(a)

Position relative

Pour étudier la position de la courbe par rapport à la tangente, on étudie le signe de $f(x)-T(x)$f(x) - T(x).

Étude complète d'une fonction

1. Domaine $D_f$D_f.
2. Limites aux bornes (asymptotes éventuelles).
3. Dérivée $f^{\prime }$f', signe de $f^{\prime }$f'.
4. Tableau de variations.
5. Extremums.
6. Dérivée seconde, convexité, points d'inflexion.
7. Asymptotes, intersections avec les axes.
8. Tracé de la courbe.

Inégalités classiques

À partir de la convexité

Pour la fonction $e^x$e^(x) (convexe) : $e^x\ge 1+x$e^(x) ≥ 1 + x pour tout $x$x (tangente en $0$0).

Pour la fonction $\ln (x)$ln(x) (concave) : $\ln (x)\le x-1$ln(x) ≤ x - 1 pour tout $x>0$x > 0.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier $u^{\prime }$u' dans la dérivée composée.
• Confondre convexité et croissance : convexité concerne $f^{\prime \prime }$f'', croissance concerne $f^{\prime }$f'.
• Mauvais signe de $f^{\prime \prime }$f'' → mauvaise convexité.
• Confondre tangente et droite quelconque.

FAQ — Compléments sur la dérivation

Pourquoi étudier la convexité ?

Elle complète l'étude des variations et permet de prouver des inégalités, d'identifier les points d'inflexion.

Comment retenir la dérivée d'une composée ?

« Dérivée de l'extérieure, gardant l'intérieure, puis dérivée de l'intérieure. »

À quoi servent les points d'inflexion ?

Ils marquent les changements de comportement d'une fonction : passage de « creux » à « bossu », ou inversement.

Une fonction peut-elle être à la fois convexe et concave ?

Oui, mais seulement sur un intervalle où elle est affine ($f^{\prime \prime }(x)=0$f''(x) = 0).