Exercices types · Troisième

L'homothétie — exercices types corrigés

13 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Calculer une distance image

Niveau 1 · Application directe

On considère l'homothétie de centre

O

O et de rapport

4

4. On a

O M = 2, 5

OM = 2,5 cm. Calculer

O M^{'}

OM'.

Voir la correction

1.
$O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M = 4 \times 2, 5$ OM' = |k| × OM = 4 × 2,5.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$O M^{'} = 10$ OM' = 10 cm, et $M^{'}$ M' est sur la demi-droite $[O M)$ [OM) car $k > 0$ k>0.

Réponse :

O M^{'} = 10

OM' = 10 cm.

Rapport négatif

Niveau 1 · Application directe

On considère l'homothétie de centre

O

O et de rapport

- 3

-3, avec

O A = 1, 2

OA = 1,2 cm. Calculer

O A^{'}

OA' et préciser la position de

A^{'}

A'.

Voir la correction

1.
$O A^{'} = ∣ - 3∣ \times 1, 2 = 3 \times 1, 2 = 3, 6$ OA' = |-3| × 1,2 = 3 × 1,2 = 3,6 cm.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$k < 0$ k<0 : $A^{'}$ A' est sur la droite $(O A)$ (OA), de l'autre côté de $O$ O par rapport à $A$ A.

Réponse :

O A^{'} = 3, 6

OA' = 3,6 cm,

A^{'}

A' à l'opposé de

A

A par rapport à

O

Erreur fréquente : La distance vaut $3, 6$ 3,6 cm, pas $- 3, 6$ -3,6 : une longueur est toujours positive.

Agrandissement ou réduction ?

Niveau 1 · Application directe

Pour chaque rapport, dire si l'homothétie agrandit ou réduit la figure :

k_{1} = 2, 5

k₁ = 2,5 ;

k_{2} = 0, 8

k₂ = 0,8 ;

k_{3} = - 0, 5

k₃ = -0,5 ;

k_{4} = - 4

k₄ = -4.

Voir la correction

1.
On compare $∣ k ∣$ |k| à $1$ 1.
2.
$∣ k_{1} ∣ = 2, 5 > 1$ |k₁| = 2,5 > 1 : agrandissement. $∣ k_{2} ∣ = 0, 8 < 1$ |k₂| = 0,8 < 1 : réduction.
3.
$∣ k_{3} ∣ = 0, 5 < 1$ |k₃| = 0,5 < 1 : réduction. $∣ k_{4} ∣ = 4 > 1$ |k₄| = 4 > 1 : agrandissement.

Réponse : Agrandissements :

k_{1}

k₁ et

k_{4}

k₄. Réductions :

k_{2}

k₂ et

k_{3}

k₃.

Erreur fréquente : Un rapport négatif n'est pas forcément une réduction : c'est la valeur absolue qui compte.

Côtés d'un triangle image

Niveau 1 · Application directe

Un triangle

A B C

ABC a des côtés de

3

3 cm,

4

4 cm et

5

5 cm. Calculer les longueurs des côtés de son image par une homothétie de rapport

1, 5

1,5.

Voir la correction

1.
Chaque longueur est multipliée par $1, 5$ 1,5.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$1, 5 \times 3 = 4, 5$ 1,5 × 3 = 4,5 ; $1, 5 \times 4 = 6$ 1,5 × 4 = 6 ; $1, 5 \times 5 = 7, 5$ 1,5 × 5 = 7,5.

Réponse :

4, 5

4,5 cm,

6

6 cm et

7, 5

7,5 cm.

Trouver le rapport

Niveau 2 · Méthode complète

Les points

O

B

B et

B^{'}

B' sont alignés,

B

B et

B^{'}

B' sont du même côté de

O

O, avec

O B = 3

OB = 3 cm et

O B^{'} = 7, 5

OB' = 7,5 cm. Déterminer le rapport de l'homothétie de centre

O

O qui transforme

B

B en

B^{'}

B'.

Voir la correction

1.
$∣ k ∣ = \frac{O B ^{'}}{O B} = \frac{7 , 5}{3} = 2, 5$ |k| = OB'/OB = 7,5/3 = 2,5.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$B$ B et $B^{'}$ B' sont du même côté de $O$ O : $k > 0$ k>0.

Réponse :

k = 2, 5

k = 2,5.

Retrouver un rapport négatif

Niveau 2 · Méthode complète

Le point

O

O appartient au segment

[C C^{'}]

[CC'], avec

O C = 6

OC = 6 cm et

O C^{'} = 2

OC' = 2 cm. Quel est le rapport de l'homothétie de centre

O

O qui envoie

C

C sur

C^{'}

C' ?

Voir la correction

1.
$∣ k ∣ = \frac{O C ^{'}}{O C} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ |k| = OC'/OC = 2/6 = 1/3.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$O$ O est entre $C$ C et $C^{'}$ C' : les deux points sont de part et d'autre du centre, donc $k < 0$ k<0.

Réponse :

k = - \frac{1}{3}

k = -1/3.

Erreur fréquente : Diviser dans le mauvais sens donnerait $- 3$ -3 : c'est le rapport de l'homothétie qui ramène $C^{'}$ C' sur $C$ C.

Aire d'un rectangle agrandi

Niveau 2 · Méthode complète

Un rectangle de

12

12 cm² est agrandi par une homothétie de rapport

3

3. Quelle est l'aire du rectangle image ?

Voir la correction

1.
Les aires sont multipliées par $k^{2} = 3^{2} = 9$ k² = 3² = 9.
→ Formule des aires et volumes par homothétie
2.
$9 \times 12 = 108$ 9 × 12 = 108 cm².

Réponse :

108

108 cm².

Erreur fréquente : Multiplier l'aire par $3$ 3 donnerait $36$ 36 cm² : faux, car une aire dépend de deux longueurs.

Aire et rapport négatif

Niveau 2 · Méthode complète

Un disque de

20

20 cm² a pour image un disque par l'homothétie de rapport

- 0, 5

-0,5. Quelle est l'aire du disque image ?

Voir la correction

1.
Coefficient des aires : $k^{2} = (- 0, 5)^{2} = 0, 25$ k² = (-0,5)² = 0,25.
→ Formule des aires et volumes par homothétie
2.
$0, 25 \times 20 = 5$ 0,25 × 20 = 5 cm².

Réponse :

5

5 cm².

Problème : agrandir une photo

Niveau 2 · Méthode complète

Une photo de

10

10 cm sur

15

15 cm est agrandie par une homothétie de rapport

2

2. Donner les dimensions et l'aire du tirage. Par combien l'aire a-t-elle été multipliée ?

Voir la correction

1.
Dimensions : $2 \times 10 = 20$ 2 × 10 = 20 cm et $2 \times 15 = 30$ 2 × 15 = 30 cm.
→ Rapport d'une homothétie
2.
Aire du tirage : $20 \times 30 = 600$ 20 × 30 = 600 cm², contre $10 \times 15 = 150$ 10 × 15 = 150 cm² au départ.
3.
$600 \div 150 = 4 = 2^{2}$ 600 ÷ 150 = 4 = 2² : l'aire est multipliée par $4$ 4.
→ Formule des aires et volumes par homothétie

Réponse : Tirage de

20

20 cm sur

30

30 cm,

600

600 cm² : l'aire est multipliée par

4

Retrouver le rapport avec les aires

Niveau 3 · Type contrôle

Par une homothétie de rapport positif, un triangle d'aire

8

8 cm² a pour image un triangle d'aire

72

72 cm². Déterminer le rapport.

Voir la correction

1.
$k^{2} = \frac{72}{8} = 9$ k² = 72/8 = 9.
→ Formule des aires et volumes par homothétie
2.
Le rapport est positif : $k = 9 = 3$ k = √(9) = 3.

Réponse :

k = 3

k = 3.

Méthode utilisée : Les aires sont multipliées par $k^{2}$ k² : on remonte au rapport avec une racine carrée.

Problème : volume d'une maquette

Niveau 3 · Type contrôle

Une maquette est une réduction d'un hangar de rapport

\frac{1}{50}

1/50. Le hangar a un volume de

2500

2 500 m³. Quel est le volume de la maquette, en litres ?

Voir la correction

1.
Les volumes sont multipliés par $(\frac{1}{50})^{3} = \frac{1}{125 000}$ (1/50)³ = 1/(125 000).
→ Formule des aires et volumes par homothétie
2.
$2500 \div 125000 = 0, 02$ 2 500 ÷ 125 000 = 0,02 m³.
3.
$1$ 1 m³ $= 1000$ = 1 000 L, donc $0, 02$ 0,02 m³ $= 20$ = 20 L.

Réponse :

20

20 L.

Erreur fréquente : Diviser le volume par $50$ 50 seulement donnerait $50$ 50 m³ : le rapport s'applique trois fois, une fois par dimension.

Pyramide coupée par un plan parallèle

Niveau 4 · Type brevet/bac

Une pyramide de hauteur

12

12 cm a un volume de

270

270 cm³. On la coupe par un plan parallèle à sa base, à

4

4 cm du sommet : la petite pyramide obtenue est une réduction de la grande. Calculer son volume.

Voir la correction

1.
La petite pyramide est l'image de la grande par l'homothétie de centre le sommet et de rapport $k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ k = 4/12 = 1/3.
→ Rapport d'une homothétie
2.
Les volumes sont multipliés par $(\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27}$ (1/3)³ = 1/27.
→ Formule des aires et volumes par homothétie
3.
$270 \div 27 = 10$ 270 ÷ 27 = 10 cm³.

Réponse :

10

10 cm³.

Erreur fréquente : Le rapport se lit sur les hauteurs mesurées depuis le sommet ( $4$ 4 et $12$ 12 cm), pas sur la distance entre les deux plans ( $8$ 8 cm).

Homothétie et configuration de Thalès

Niveau 4 · Type brevet/bac

Dans un triangle

O A B

OAB, on a

O A = 10

OA = 10 cm et

A B = 7

AB = 7 cm. Le point

A^{'}

A' est sur

[O A]

[OA] avec

O A^{'} = 4

OA' = 4 cm, et

B^{'}

B' est l'image de

B

B par l'homothétie de centre

O

O qui envoie

A

A sur

A^{'}

A'. Calculer

A^{'} B^{'}

A'B' et justifier que les droites

(A^{'} B^{'})

(A'B') et

(A B)

(AB) sont parallèles.

Voir la correction

1.
$k = \frac{O A ^{'}}{O A} = \frac{4}{10} = 0, 4$ k = OA'/OA = 4/10 = 0,4, positif car $A^{'}$ A' est sur $[O A]$ [OA].
→ Rapport d'une homothétie
2.
$A^{'} B^{'} = 0, 4 \times 7 = 2, 8$ A'B' = 0,4 × 7 = 2,8 cm.
3.
Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : $(A^{'} B^{'})$ (A'B') est parallèle à $(A B)$ (AB).

Réponse :

A^{'} B^{'} = 2, 8

A'B' = 2,8 cm, et

(A^{'} B^{'})

(A'B') est parallèle à

(A B)

(AB).

Méthode utilisée : C'est la configuration de Thalès lue comme une réduction de centre $O$ O : les rapports de Thalès valent tous $∣ k ∣$ |k|.

Tout sur transformations du plan

Symétries, translations, rotations et homothéties : les transformations du plan de la 6ᵉ à la 3ᵉ.

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Homothétie

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