Rapport d'une homothétie : la formule et un exemple

Q: Pourquoi utilise-t-on la valeur absolue de k pour les longueurs ?

Parce qu'une longueur est toujours positive. Le signe de k indique seulement de quel côté du centre se trouve l'image ; l'échelle, elle, est donnée par |k|.

Q: Que se passe-t-il si le rapport vaut 1 ?

Chaque point est sa propre image : l'homothétie de rapport 1 ne déplace rien. Avec k=-1, on obtient la symétrie centrale de centre O.

Q: Le rapport d'une homothétie peut-il être nul ?

Non. Avec k=0, tous les points seraient envoyés sur le centre et la figure disparaîtrait : on impose toujours k ≠ 0.

Ce que dit la formule

Le rapport $k$ k donne à la fois l'échelle et le sens : $∣ k ∣$ |k| est le coefficient d'agrandissement ou de réduction, et le signe de $k$ k indique si l'image est du même côté que le point de départ ( $k > 0$ k>0) ou de l'autre côté du centre ( $k < 0$ k<0).

L'égalité $A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \times A B$ A'B' = |k| × AB vaut pour n'importe quel segment de la figure, pas seulement pour ceux qui partent du centre : le triangle image est un agrandissement ou une réduction du triangle de départ, de coefficient $∣ k ∣$ |k|.

Pour retrouver le rapport, on divise une longueur image par la longueur correspondante : $∣ k ∣ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ |k| = A'B'/AB. On choisit ensuite le signe en regardant la position des points par rapport au centre.

Une homothétie de rapport $- 1$ -1 est une symétrie centrale : les longueurs sont conservées et la figure est retournée autour du centre.

Exemple

Homothétie de centre

O

O et de rapport

3

3 : si

O M = 2

OM = 2 cm, alors

O M^{'} = 3 \times 2 = 6

OM' = 3 × 2 = 6 cm, et

M^{'}

M' est sur la demi-droite

[O M)

[OM).

Deuxième exemple

Homothétie de rapport

- 0, 5

-0,5 : un segment

[A B]

[AB] de

8

8 cm a pour image un segment

[A^{'} B^{'}]

[A'B'] de

0, 5 \times 8 = 4

0,5 × 8 = 4 cm, situé de l'autre côté du centre.

Piège à éviter

Une longueur n'est jamais négative : avec

k = - 2

k=-2, on multiplie les longueurs par

2

2, pas par

- 2

-2. Le signe ne sert qu'à placer le point.

Les autres formules de l'homothétie

Formule des aires et volumes par homothétie →

A^{'} = k^{2} \times A V^{'} = ∣ k ∣^{3} \times V

A ' = k² × A V ' = |k|³ × V

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on la valeur absolue de k pour les longueurs ?

Parce qu'une longueur est toujours positive. Le signe de

k

k indique seulement de quel côté du centre se trouve l'image ; l'échelle, elle, est donnée par

∣ k ∣

|k|.

Que se passe-t-il si le rapport vaut 1 ?

Chaque point est sa propre image : l'homothétie de rapport

1

1 ne déplace rien. Avec

k = - 1

k=-1, on obtient la symétrie centrale de centre

O

Le rapport d'une homothétie peut-il être nul ?

Non. Avec

k = 0

k=0, tous les points seraient envoyés sur le centre et la figure disparaîtrait : on impose toujours

k \neq = 0

k ≠ 0.

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