Formule des aires et volumes par homothétie : énoncé et exemple

En écriture simple : aire de l'image = k² × aire ; volume de l'image = |k|³ × volume

Ce que dit la formule

Les longueurs sont multipliées par $∣ k ∣$ |k|. Une aire se calcule avec deux longueurs (longueur et largeur, base et hauteur) : elle est donc multipliée par $∣ k ∣ \times ∣ k ∣ = k^{2}$ |k| × |k| = k².

Un volume se calcule avec trois longueurs : il est multiplié par $∣ k ∣^{3}$ |k|³. C'est la règle d'agrandissement-réduction des maquettes et des sections de pyramides ou de cônes par un plan parallèle à la base.

Les angles ne changent pas : une homothétie garde la forme de la figure, seule sa taille varie.

Pour une réduction, l'effet s'accentue : avec $k = 0, 5$ k=0,5, les longueurs sont divisées par $2$ 2, les aires par $4$ 4 et les volumes par $8$ 8.

Exemple

Un triangle de

6

6 cm² est transformé par une homothétie de rapport

3

3 : son image a une aire de

3^{2} \times 6 = 9 \times 6 = 54

3² × 6 = 9 × 6 = 54 cm².

Deuxième exemple

Un cube de

40

40 cm³ est réduit par une homothétie de rapport

0, 5

0,5 : son volume devient

0, 5^{3} \times 40 = 0, 125 \times 40 = 5

0,5³ × 40 = 0,125 × 40 = 5 cm³.

Piège à éviter

Doubler les longueurs ne double pas l'aire : elle est multipliée par

4

4, et le volume par

8

Les autres formules de l'homothétie

Rapport d'une homothétie →

O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \times A B

OM' = |k| × OM A'B' = |k| × AB

Questions fréquentes

Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et pas par k ?

Parce qu'une aire se calcule avec deux longueurs, et chacune est multipliée par

∣ k ∣

|k|. Le coefficient s'applique deux fois :

∣ k ∣ \times ∣ k ∣ = k^{2}

|k| × |k| = k².

Le signe du rapport change-t-il l'aire de l'image ?

Non.

k^{2}

k² est toujours positif : une homothétie de rapport

- 2

-2 multiplie les aires par

4

4, exactement comme celle de rapport

2

Comment retrouver le rapport à partir de deux aires ?

On divise l'aire de l'image par l'aire de départ, puis on prend la racine carrée : si l'aire passe de

5

5 à

45

45 cm²,

k^{2} = 9

k² = 9, donc

∣ k ∣ = 3

|k| = 3.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur transformations du plan

Symétries, translations, rotations et homothéties : les transformations du plan de la 6ᵉ à la 3ᵉ.

Le cours

Les notions du thème

Homothétie

S'entraîner

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

L'homothétie →