Notion

L'homothétie

Q: Qu'est-ce qu'une homothétie en maths ?

C'est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe, le centre O. Chaque point M est envoyé sur un point M′ aligné avec O et M, avec OM′ = |k| × OM. C'est ce que fait un vidéoprojecteur : l'image sur le mur est un agrandissement de celle de l'écran, à partir de l'objectif.

Q: Comment savoir si une homothétie agrandit ou réduit une figure ?

On regarde la valeur absolue du rapport k. Si |k| > 1, la figure est agrandie ; si |k| < 1, elle est réduite. Le signe de k ne joue pas : les rapports 3 et −3 agrandissent tous les deux trois fois.

Q: Quelle différence entre une homothétie et une symétrie centrale ?

La symétrie centrale est une homothétie particulière, de rapport −1 : elle retourne la figure autour du centre sans changer sa taille. Une homothétie de rapport −2 la retourne aussi, mais double ses longueurs.

Q: Que conserve une homothétie ?

Les angles, l'alignement, le parallélisme et les proportions : la figure image a la même forme que la figure de départ. Les longueurs, elles, sont multipliées par |k|, sauf si k = 1 ou k = −1.

Q: Quel est le lien entre homothétie et théorème de Thalès ?

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle est l'image du grand par une homothétie dont le centre est le sommet commun. Les égalités de rapports de Thalès disent justement que toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre |k|.

Q: L'homothétie est-elle au programme de 3e ?

Oui. En Troisième, on construit l'image d'une figure par une homothétie de rapport positif ou négatif, et on l'utilise pour agrandir ou réduire une figure en calculant l'effet sur les longueurs, les aires et les volumes.

Une homothétie agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe, son centre $O$ O. Elle est définie par un nombre non nul $k$ k, son rapport : l'image d'un point $M$ M est le point $M^{'}$ M' de la droite $(O M)$ (OM) tel que $O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M$ OM' = |k| × OM, placé du même côté que $M$ M si $k > 0$ k>0 et de l'autre côté du centre si $k < 0$ k<0. Si $∣ k ∣ > 1$ |k|>1, la figure est agrandie ; si $∣ k ∣ < 1$ |k|<1, elle est réduite ; avec $k = - 1$ k=-1, on retrouve la symétrie centrale. Une homothétie conserve les angles, l'alignement et le parallélisme : la figure image a la même forme. Les longueurs sont multipliées par $∣ k ∣$ |k|, les aires par $k^{2}$ k² et les volumes par $∣ k ∣^{3}$ |k|³. C'est l'outil des maquettes, des plans à l'échelle et de la configuration de Thalès.

Définitions

Homothétie de centre O et de rapport k: Pour $k \neq = 0$ k ≠ 0, elle associe à tout point $M$ M le point $M^{'}$ M' de la droite $(O M)$ (OM) tel que $O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M$ OM' = |k| × OM, du même côté que $M$ M par rapport à $O$ O si $k > 0$ k>0, de l'autre côté si $k < 0$ k<0. Le centre $O$ O est sa propre image.
Agrandissement ou réduction: Si $∣ k ∣ > 1$ |k|>1, la figure image est un agrandissement de la figure de départ ; si $0 < ∣ k ∣ < 1$ 0<|k|<1, c'est une réduction. L'homothétie de rapport $1$ 1 ne déplace aucun point, celle de rapport $- 1$ -1 est la symétrie centrale de centre $O$ O.
Ce que conserve une homothétie: Elle conserve l'alignement, les angles et le parallélisme : l'image d'une droite est une droite parallèle. Elle multiplie les longueurs par $∣ k ∣$ |k| ; ce n'est donc pas une isométrie, sauf si $k = 1$ k=1 ou $k = - 1$ k=-1.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Rapport d'une homothétie →

O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \times A B

OM' = |k| × OM A'B' = |k| × ABOM′ = |k| × OM et A′B′ = |k| × ABToutes les longueurs sont multipliées par la valeur absolue du rapport.Formule des aires et volumes par homothétie →

A^{'} = k^{2} \times A V^{'} = ∣ k ∣^{3} \times V

A ' = k² × A V ' = |k|³ × Vaire de l'image = k² × aire ; volume de l'image = |k|³ × volumeLes aires sont multipliées par k², les volumes par |k|³.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Tracer l'image d'une figure par homothétie →

4 étapes · exemple corrigé

Trouver le rapport d'une homothétie →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Calculer une distance image

Niveau 1 · Application directe

On considère l'homothétie de centre

O

O et de rapport

4

4. On a

O M = 2, 5

OM = 2,5 cm. Calculer

O M^{'}

OM'.

Voir la correction

1.
$O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M = 4 \times 2, 5$ OM' = |k| × OM = 4 × 2,5.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$O M^{'} = 10$ OM' = 10 cm, et $M^{'}$ M' est sur la demi-droite $[O M)$ [OM) car $k > 0$ k>0.

Réponse :

O M^{'} = 10

OM' = 10 cm.

Rapport négatif

Niveau 1 · Application directe

On considère l'homothétie de centre

O

O et de rapport

- 3

-3, avec

O A = 1, 2

OA = 1,2 cm. Calculer

O A^{'}

OA' et préciser la position de

A^{'}

A'.

Voir la correction

1.
$O A^{'} = ∣ - 3∣ \times 1, 2 = 3 \times 1, 2 = 3, 6$ OA' = |-3| × 1,2 = 3 × 1,2 = 3,6 cm.
→ Rapport d'une homothétie
2.
$k < 0$ k<0 : $A^{'}$ A' est sur la droite $(O A)$ (OA), de l'autre côté de $O$ O par rapport à $A$ A.

Réponse :

O A^{'} = 3, 6

OA' = 3,6 cm,

A^{'}

A' à l'opposé de

A

A par rapport à

O

Erreur fréquente : La distance vaut $3, 6$ 3,6 cm, pas $- 3, 6$ -3,6 : une longueur est toujours positive.

Faire les 13 exercices types sur homothétie11 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une homothétie en maths ?

C'est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe, le centre O. Chaque point M est envoyé sur un point M′ aligné avec O et M, avec OM′ = |k| × OM. C'est ce que fait un vidéoprojecteur : l'image sur le mur est un agrandissement de celle de l'écran, à partir de l'objectif.

Comment savoir si une homothétie agrandit ou réduit une figure ?

On regarde la valeur absolue du rapport k. Si |k| > 1, la figure est agrandie ; si |k| < 1, elle est réduite. Le signe de k ne joue pas : les rapports 3 et −3 agrandissent tous les deux trois fois.

Quelle différence entre une homothétie et une symétrie centrale ?

La symétrie centrale est une homothétie particulière, de rapport −1 : elle retourne la figure autour du centre sans changer sa taille. Une homothétie de rapport −2 la retourne aussi, mais double ses longueurs.

Que conserve une homothétie ?

Les angles, l'alignement, le parallélisme et les proportions : la figure image a la même forme que la figure de départ. Les longueurs, elles, sont multipliées par |k|, sauf si k = 1 ou k = −1.

Quel est le lien entre homothétie et théorème de Thalès ?

Dans une configuration de Thalès, le petit triangle est l'image du grand par une homothétie dont le centre est le sommet commun. Les égalités de rapports de Thalès disent justement que toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre |k|.

L'homothétie est-elle au programme de 3e ?

Oui. En Troisième, on construit l'image d'une figure par une homothétie de rapport positif ou négatif, et on l'utilise pour agrandir ou réduire une figure en calculant l'effet sur les longueurs, les aires et les volumes.

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