Symétrie centrale en Cinquième

La symétrie centrale en 5ème : cours complet

La symétrie centrale est une transformation géométrique différente de la symétrie axiale : au lieu d'avoir un axe (une droite), on a un centre (un point). C'est comme un demi-tour autour de ce point.

Définition de la symétrie centrale

Définition

La symétrie de centre $O$O est la transformation qui, à tout point $M$M du plan, associe le point $M^{\prime }$M' tel que $O$O soit le milieu du segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

Conséquences

• $M$M, $O$O et $M^{\prime }$M' sont alignés.
• $OM=O{M}^{\prime }$OM = OM' : $O$O est à égale distance de $M$M et de $M^{\prime }$M'.

Si $M$M est confondu avec $O$O

Le symétrique de $O$O par la symétrie de centre $O$O est $O$O lui-même : $O$O est invariant.

Différence avec la symétrie axiale

Concrètement, si on prend une figure et qu'on la fait tourner de $180°$180° autour d'un point, on obtient son symétrique central.

Construire le symétrique d'un point

Méthode au compas

Pour construire $M^{\prime }$M', symétrique de $M$M par rapport à $O$O :

1. Trace la demi-droite $[MO)$[MO).
2. Avec le compas, reporte la longueur $OM$OM sur cette demi-droite, à partir de $O$O, au-delà de $O$O.
3. Le point obtenu est $M^{\prime }$M'.

Vérification

$O$O doit être le milieu de $[M{M}^{\prime }]$[MM'], donc $OM=O{M}^{\prime }$OM = OM' et les trois points sont alignés.

Construire le symétrique d'une figure

Comme pour la symétrie axiale, on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie dans le même ordre.

Cas particulier — le cercle

Le symétrique d'un cercle de centre $A$A et de rayon $r$r par rapport à $O$O est un cercle de centre $A^{\prime }$A' (symétrique de $A$A) et de même rayon $r$r.

Cas particulier — la droite

Le symétrique d'une droite par rapport à $O$O est une droite parallèle à la droite de départ (ou confondue si la droite passe par $O$O).

Propriétés conservées

La symétrie centrale conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les aires ;
• l'alignement des points ;
• le parallélisme ;
• la perpendicularité.

Elle conserve aussi l'orientation (contrairement à la symétrie axiale).

Centre de symétrie d'une figure

Une figure admet un centre de symétrie $O$O si elle est invariante par la symétrie de centre $O$O — autrement dit, si elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de $O$O.

Exemples

Différence avec un axe de symétrie

Un triangle équilatéral a trois axes mais aucun centre de symétrie. Un parallélogramme quelconque a un centre mais aucun axe.

Propriétés du parallélogramme

Le parallélogramme est la figure-clé liée à la symétrie centrale. Il possède :

• ses côtés opposés parallèles ;
• ses côtés opposés de même longueur ;
• ses diagonales qui se coupent en leur milieu ;
• un centre de symétrie : le point d'intersection des diagonales.

Reconnaître un parallélogramme

Un quadrilatère est un parallélogramme si :

• ses diagonales se coupent en leur milieu, OU
• ses côtés opposés sont parallèles, OU
• ses côtés opposés sont de même longueur, OU
• deux côtés opposés sont parallèles ET de même longueur.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre symétrie axiale et symétrie centrale : axe (droite) vs centre (point).
• Penser qu'une figure avec un axe a forcément un centre : ce n'est pas le cas (triangle équilatéral).
• Mal construire le symétrique : $O$O doit être le milieu du segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'] (pas juste un point quelconque entre les deux).
• Oublier l'alignement : $M$M, $O$O, $M^{\prime }$M' doivent être alignés.

FAQ — La symétrie centrale

Comment savoir si une figure a un centre de symétrie ?

Tu fais tourner la figure de $180°$180° (à l'envers) autour d'un point : si elle se superpose exactement à elle-même, c'est qu'elle a un centre de symétrie en ce point.

La symétrie centrale conserve-t-elle les angles ?

Oui : les angles ont la même mesure. Les longueurs, aires, parallélismes sont aussi conservés.

Quelle est la différence entre symétrie centrale et rotation ?

La symétrie centrale est une rotation particulière de $180°$180°. Toute symétrie centrale est une rotation, mais toutes les rotations ne sont pas des symétries centrales (par exemple une rotation de $90°$90° n'en est pas une).

À quoi sert la symétrie centrale ?

À reconnaître des figures (parallélogrammes), à construire des frises et des pavages, à comprendre des phénomènes naturels (cristallographie, biologie).