Homothéties en Troisième

Les homothéties en 3ème : cours complet

L'homothétie est une nouvelle transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de réduire une figure tout en gardant sa forme. Elle complète la liste des transformations vues en collège (symétries, translation, rotation).

Définition

Définition

Soit $O$O un point fixe et $k$k un nombre réel non nul. L'homothétie de centre $O$O et de rapport $k$k est la transformation qui, à tout point $M$M du plan, associe le point $M^{\prime }$M' tel que :

$$\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\times \overrightarrow{OM}$$vecteur OM' = k × vecteur OM

En clair

Pour construire $M^{\prime }$M' :

• Si $k>0$k > 0 : $M^{\prime }$M' est du même côté que $M$M par rapport à $O$O, à une distance $|k|\times OM$|k| × OM.
• Si $k<0$k < 0 : $M^{\prime }$M' est du côté opposé à $M$M par rapport à $O$O, à une distance $|k|\times OM$|k| × OM.

Cas particuliers

• $k=1$k = 1 : transformation identique (rien ne change).
• $k=-1$k = -1 : c'est la symétrie centrale de centre $O$O.
• $k>0$k > 0 : agrandissement (ou réduction) sans retournement.
• $k<0$k < 0 : agrandissement (ou réduction) avec retournement.

Construire le point image

Cas $k>0$k > 0

1. Tracer la demi-droite $[OM)$[OM).
2. Mesurer $OM$OM, multiplier par $k$k pour obtenir $O{M}^{\prime }$OM'.
3. Placer $M^{\prime }$M' sur la demi-droite à cette distance.

Cas $k<0$k < 0

1. Tracer la droite $(OM)$(OM).
2. $M^{\prime }$M' est de l'autre côté de $O$O.
3. $O{M}^{\prime }=|k|\times OM$OM' = |k| × OM.

Exemple

Homothétie de centre $O$O et rapport $k=2$k = 2. Si $OM=3$OM = 3 cm, alors $O{M}^{\prime }=6$OM' = 6 cm (du même côté).

Homothétie de centre $O$O et rapport $k=-1,5$k = -1,5. Si $OM=4$OM = 4 cm, alors $O{M}^{\prime }=6$OM' = 6 cm (du côté opposé).

Effet sur les longueurs

L'homothétie de rapport $k$k multiplie toutes les longueurs par $|k|$|k|.

$$A^{\prime }{B}^{\prime }=|k|\times AB$$A'B' = |k| × AB

Conséquences

• $|k|>1$|k| > 1 : agrandissement.
• $|k|<1$|k| < 1 : réduction.
• $|k|=1$|k| = 1 : conservation des longueurs (cas particulier : $k=1$k = 1 identité, $k=-1$k = -1 symétrie centrale).

Effet sur les aires et volumes

L'aire est multipliée par $k^2$k², le volume par $|k{|}^3$|k|³.

$$\text{Aire image}=k^2\times \text{aire de deˊpart}$$Aire image = k² × aire de départ

$$\text{Volume image}=|k{|}^3\times \text{volume de deˊpart}$$Volume image = |k|³ × volume de départ

Exemple

Triangle d'aire $24$24 cm² agrandi avec un rapport $3$3 : aire du triangle image $=24\times 9=216$= 24 × 9 = 216 cm².

Propriétés conservées et modifiées

Conservées

• Alignement des points.
• Parallélisme des droites.
• Perpendicularité.
• Angles (mesure).
• Milieux des segments.

Modifiées

• Longueurs (multipliées par $|k|$|k|).
• Aires (multipliées par $k^2$k²).
• Volumes (multipliés par $|k{|}^3$|k|³).

Image d'une figure

Pour construire l'image d'une figure :

1. Construire l'image de chacun de ses sommets / points caractéristiques.
2. Relier les images dans le même ordre.

Image d'un cercle

Image d'un cercle de centre $A$A et rayon $r$r par une homothétie de rapport $k$k : c'est un cercle de centre $A^{\prime }$A' (image de $A$A) et de rayon $|k|\times r$|k| × r.

Image d'une droite

L'image d'une droite par homothétie est une droite parallèle à la droite de départ (ou confondue si la droite passe par le centre).

Tableau récapitulatif des transformations

Lien avec Thalès

L'homothétie est l'outil géométrique derrière le théorème de Thalès : les triangles obtenus par homothétie sont semblables, et les rapports sont égaux à $|k|$|k|.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre rapport et coefficient : $k$k peut être négatif (avec retournement) ou positif.
• Oublier que $k^2$k² pour les aires : ne pas dire « aire multipliée par $k$k ».
• Mal construire : bien respecter la direction et le sens (selon le signe de $k$k).
• Confondre $k=-1$k = -1 et la symétrie axiale : non, $k=-1$k = -1 correspond à la symétrie centrale.

FAQ — Les homothéties

À quoi sert l'homothétie ?

À agrandir ou réduire une figure (en architecture, en art, dans les cartes, dans les zoom photo numériques).

Comment savoir si la figure va être inversée ?

Si $k>0$k > 0 : pas de retournement (même orientation). Si $k<0$k < 0 : retournement (sens contraire).

Pourquoi les aires sont multipliées par $k^2$k² ?

Parce qu'une aire dépend de deux dimensions (longueur × largeur). Multiplier chaque dimension par $k$k multiplie l'aire par $k\times k=k^2$k × k = k².

L'homothétie est-elle une isométrie ?

Non, sauf cas particuliers ($k=\pm 1$k = ± 1). Une isométrie conserve les longueurs ; l'homothétie les multiplie par $|k|$|k|.