Ce que dit la formule
En un point d'inflexion d'abscisse x₀, la dérivée seconde f'' s'annule et change de signe (la convexité change).
f''(x₀) = 0 seul ne suffit pas : il faut le changement de signe.
Un point d'inflexion est l'endroit où la courbe bascule : elle passe de convexe à concave, ou l'inverse. En ce point, la courbe traverse sa tangente au lieu de rester d'un seul côté.
L'annulation de f'' est nécessaire mais pas suffisante. C'est le changement de signe qui fait l'inflexion, exactement comme le changement de signe de f' fait l'extremum.
Exemple
f(x) = x³ : f''(x) = 6x s'annule en 0 en changeant de signe : point d'inflexion en (0 ;0).
Deuxième exemple
f(x) = x³ - 3x² : f''(x) = 6x - 6 s'annule en 1 en changeant de signe. Le point d'inflexion a pour coordonnées (1 ;f(1)) = (1 ;-2).
Piège à éviter
f''(x₀) = 0 sans changement de signe ne donne pas d'inflexion (ex. x⁴ en 0).
Les autres formules de le point d'inflexion
Questions fréquentes
Que se passe-t-il géométriquement en un point d'inflexion ?
La courbe traverse sa tangente : elle passe d'un côté à l'autre, alors qu'ailleurs elle reste du même côté.
Un point d'inflexion peut-il avoir une tangente horizontale ?
Oui : pour f(x) = x³, l'inflexion en 0 a une tangente horizontale, sans qu'il y ait d'extremum.
Combien une fonction peut-elle avoir de points d'inflexion ?
Autant de fois que f'' change de signe : aucun pour l'exponentielle, un pour un polynôme de degré 3, une infinité pour une fonction trigonométrique.
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