Formule · Terminale spé maths

Formule : Primitives des fonctions usuelles

Le tableau des primitives à connaître (à une constante près).

\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1) \int \frac{1}{x} = ln x \int e^{x} = e^{x}

∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ -1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)

Ce que dit la formule

Les primitives de référence : $x^{n}$ xⁿ a pour primitive $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ xⁿ⁺¹/(n+1) (si $n \neq = - 1$ n ≠ -1), $\frac{1}{x}$ 1/x a pour primitive $ln x$ ln x (sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[), et $e^{x}$ e ^(x) est sa propre primitive.

Une constante $k$ k a pour primitive $k x$ kx. Toutes ces primitives sont à écrire « $+ C$ + C ».

Exemple

Une primitive de

x^{2}

x² est

\frac{x ^{3}}{3}

x³/3 ; une primitive de

\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}

1/x² = x⁻² est

\frac{x ^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x}

x⁻¹/(-1) = -1/x.

Piège à éviter

La règle

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

xⁿ⁺¹/(n+1) ne marche pas pour

n = - 1

n = -1 : la primitive de

\frac{1}{x}

1/x est

ln x

ln x, pas une puissance.

Les autres formules de les primitives

Tableau des primitives →

\int k = k x \int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} \int \frac{1}{x} = ln x \int e^{x} = e^{x}

∫ k = kx ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)Définition : F' = f →

F primitive de f ⟺ F^{'} = f

F primitive de f ⇔ F' = f Linéarité (somme et multiple) →

\int (u + v) = \int u + \int v \int k u = k \int u

∫ (u + v) = ∫ u + ∫ v ∫ k u = k∫ u

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