Formule : Produit scalaire avec les coordonnées

Avec $\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ;y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ;y'), le produit scalaire est $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v = x x' + y y' : on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne.

Le résultat est un nombre, qui peut être positif, négatif ou nul.

Cette expression par les coordonnées suppose un repère orthonormé. C'est la formule de calcul, à distinguer de la définition géométrique par les longueurs et le cosinus de l'angle.

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même redonne le carré de sa norme : $\vec{u}\cdot \vec{u}=x^2+y^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = x² + y² = ‖ vecteur u ‖².