Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur (sa norme), mais pas de position fixe. On le note vecteur u ou vecteur AB (déplacement du point A vers le point B). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur, même situés à des endroits différents. On additionne les vecteurs avec la relation de Chasles vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, et on les multiplie par un nombre. Dans un repère, un vecteur se décrit par ses coordonnées. Les vecteurs servent à étudier l'alignement, le parallélisme, les milieux et à repérer des points ; ils sont fondamentaux en géométrie.
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Méthode utilisée : vecteur AB =(x_B-x_A ;y_B-y_A) ; norme =√(x²+y²).
Erreur fréquente : Calculer A-B au lieu de B-A.
Méthode utilisée : Colinéaires ⇔ déterminant xy'-x'y=0.
Erreur fréquente : Conclure « non colinéaires » car les coordonnées sont différentes.
C'est une flèche qui indique un déplacement : une direction, un sens et une longueur. Par exemple « avancer de 3 cases à droite et 4 vers le haut » est un vecteur de coordonnées (3 ; 4).
On fait « arrivée moins départ » : (x_B − x_A ; y_B − y_A). Pour A(1 ; 2) et B(4 ; 6), le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 4).
C'est sa longueur. On la calcule avec √(x² + y²), grâce au théorème de Pythagore. La distance entre deux points, c'est la norme du vecteur qui les relie.
Qu'ils ont la même direction : l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre (éventuellement en sens opposé). C'est l'outil pour prouver que des points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.
On vérifie que les vecteurs AB et AC sont colinéaires, avec le test du déterminant xy' − yx' = 0. Si c'est nul, les trois points sont sur une même droite.
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