Ce que dit la formule
On calcule d'abord f', puis on dérive à nouveau pour obtenir f''.
Le signe de f'' donne la convexité : f'' ≥ 0 convexe, f'' ≤ 0 concave.
Il n'existe aucune formule directe : f'' se calcule en enchaînant deux dérivations, avec exactement les mêmes règles que la première.
Son signe se lit ensuite comme celui de n'importe quelle fonction, dans un tableau, pour conclure sur la convexité et repérer les points d'inflexion.
Exemple
f(x) = x³ : f'(x) = 3x², f''(x) = 6x.
Deuxième exemple
f(x) = e^(x) - x² : f'(x) = e^(x) - 2x, puis f''(x) = e^(x) - 2. f'' s'annule en changeant de signe pour x = ln 2, où la courbe change de convexité.
Piège à éviter
Bien dériver deux fois de suite (la dérivée de 3x² est 6x, pas 3x).
Questions fréquentes
Comment interpréter le signe de la dérivée seconde ?
f'' ≥ 0 sur un intervalle : f y est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. f'' ≤ 0 : f y est concave.
La dérivée seconde donne-t-elle les variations de f ?
Non, c'est f' qui donne les variations de f. f'' donne les variations de f', donc la convexité de f.
Que vaut la dérivée seconde d'une fonction affine ?
0. Pour f(x) = 3x+1, f'(x) = 3 puis f''(x) = 0 : la courbe est une droite, à la fois convexe et concave.
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