Décomposition : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour étudier $h (x) = g (f (x))$ h(x) = g(f(x)), on repère $f$ f (ce qui est « à l'intérieur ») et $g$ g (ce qui agit « par-dessus »). Le domaine de $h$ h dépend de celui de $f$ f et des contraintes de $g$ g.

Exemple : $2 x + 1$ √(2x+1) impose $2 x + 1 \geq 0$ 2x + 1 ≥ 0.

Décomposer, c'est faire le chemin inverse de la composition : on repère ce qui est écrit à l'intérieur — sous une racine, dans un exposant, au dénominateur — et ce qui agit par-dessus.

La décomposition sert surtout à deux choses : déterminer le domaine, en reportant les contraintes de la fonction extérieure sur $f (x)$ f(x), et dériver, via la formule de la dérivée d'une composée.

Exemple

h (x) = (3 x + 1)^{2}

h(x) = (3x+1)² :

f (x) = 3 x + 1

f(x) = 3x+1 (intérieure),

g (x) = x^{2}

g(x) = x² (extérieure).

Deuxième exemple

h (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}

h(x) = 1/(x²+1) : la fonction intérieure est

f (x) = x^{2} + 1

f(x) = x²+1, l'extérieure

g (x) = \frac{1}{x}

g(x) = 1/x. Comme

x^{2} + 1

x²+1 ne s'annule jamais,

h

h est définie sur

R

ℝ tout entier.

Piège à éviter

Le domaine se restreint selon

g

g (racine → positif, inverse → non nul).

Questions fréquentes

Comment repérer la fonction intérieure ?

C'est celle qui est écrite le plus profondément : sous la racine, dans l'exposant, ou au dénominateur.

Une même fonction peut-elle se décomposer de plusieurs façons ?

Oui.

h (x) = (2 x + 1)^{4}

h(x) = (2x+1)⁴ peut se voir comme

x \mapsto 2 x + 1

x ↦ 2x+1 suivi de

x \mapsto x^{4}

x ↦ x⁴, ou en trois étapes. On choisit la décomposition la plus utile au calcul.

Pourquoi décomposer avant de dériver ?

Parce que la dérivée d'une composée s'exprime à partir de

f

f et

g

g séparément : il faut donc les avoir identifiées.

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