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Méthode · Première spé maths

Calculer un produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs se calcule le plus simplement à partir de leurs coordonnées : on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne. Le résultat est un nombre, jamais un vecteur. Son signe a un sens géométrique : positif les vecteurs pointent globalement dans la même direction, négatif ils s'opposent, nul ils sont perpendiculaires. C'est ce dernier cas qui en fait l'outil de référence pour démontrer un angle droit.

Les étapes

  1. 1

    Relever les coordonnées

    On détermine les coordonnées de vecteur u (x ;y) et vecteur v (x' ;y').
  2. 2

    Appliquer la formule

    On calcule vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.
  3. 3

    Interpréter

    Si le résultat est 0, les vecteurs sont orthogonaux. Pour un angle, on utilise cos(θ) = (vecteur u · vecteur v)/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

Exemple corrigé

Calculer le produit scalaire de vecteur u (2 ;3) et vecteur v (4 ;1).

  1. 1.Coordonnées : vecteur u (2 ;3), vecteur v (4 ;1).
  2. 2.vecteur u · vecteur v = 2× 4 + 3× 1 = 8 + 3.
  3. 3.vecteur u · vecteur v = 11 (non nul : les vecteurs ne sont pas orthogonaux).
Résultat : vecteur u · vecteur v = 11.

Deuxième exemple

Calculer le produit scalaire de vecteur u (-3 ;4) et vecteur v (4 ;3).

  1. 1.On multiplie les abscisses : -3 × 4 = -12.
  2. 2.On multiplie les ordonnées : 4 × 3 = 12.
  3. 3.On additionne : -12 + 12 = 0.
Résultat : vecteur u · vecteur v = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.

Piège à éviter

Vérifier qu'on utilise les bonnes coordonnées : pour vecteur AB, on calcule d'abord « arrivée moins départ ».

Questions fréquentes

Que signifie un produit scalaire négatif ?
Que l'angle entre les deux vecteurs est obtus : ils pointent globalement dans des directions opposées.
Le résultat est-il un vecteur ?
Non, c'est un nombre réel. C'est ce que signifie le mot « scalaire ».
Comment calculer un produit scalaire sans coordonnées ?
Avec la formule vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ, utile quand on connaît les longueurs et l'angle.

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