Comment étudier la convexité ? Méthode et exemples

Q: Peut-on lire la convexité sans calculer f'' ?

Sur une courbe déjà tracée, oui : là où elle forme un creux vers le haut elle est convexe. Pour une démonstration, le calcul de f'' reste indispensable.

Q: Une fonction peut-elle changer plusieurs fois de convexité ?

Oui, autant de fois que f'' change de signe. Un polynôme de degré 4 peut ainsi présenter deux points d'inflexion.

Q: Comment présenter la conclusion ?

Par intervalles, en précisant convexe ou concave sur chacun, puis en donnant les abscisses des points d'inflexion.

Les étapes pour étudier la convexité

1
Calculer f''
On dérive deux fois.
2
Étudier le signe de f''
Convexe si $f^{''} \geq 0$ f'' ≥ 0, concave si $f^{''} \leq 0$ f'' ≤ 0.
3
Repérer les inflexions
Là où $f^{''}$ f'' change de signe.

Exemple corrigé : étudier la convexité

Étudier la convexité de $f (x) = x^{3}$ f(x) = x³.

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ f'(x) = 3x², $f^{''} (x) = 6 x$ f''(x) = 6x.
2. $f^{''} (x) > 0$ f''(x) > 0 pour $x > 0$ x > 0 (convexe), $< 0$ < 0 pour $x < 0$ x < 0 (concave).
3.Point d'inflexion en $x = 0$ x = 0.

Résultat : Concave sur

] - \infty; 0]

]-∞ ;0], convexe sur

[0; + \infty [

[0 ;+∞[.

Deuxième exemple

Étudier la convexité de $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ f(x) = x⁴ - 6x².

1. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x$ f'(x) = 4x³ - 12x, puis $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12$ f''(x) = 12x² - 12.
2. $f^{''} (x) = 12 (x^{2} - 1)$ f''(x) = 12(x² - 1) s'annule en $- 1$ -1 et $1$ 1, et reste négative entre les deux.
3.Donc $f$ f est convexe sur $] - \infty; - 1]$ ]-∞ ;-1] et sur $[1; + \infty [$ [1 ;+∞[, concave sur $[- 1; 1]$ [-1 ;1].

Résultat : Deux points d'inflexion, en

x = - 1

x = -1 et

x = 1

x = 1.

Piège à éviter avec la convexité

Ne pas confondre convexité (

f^{''}

f'') et variations (

f^{'}

f').

Questions fréquentes sur la convexité

Peut-on lire la convexité sans calculer f'' ?

Sur une courbe déjà tracée, oui : là où elle forme un creux vers le haut elle est convexe. Pour une démonstration, le calcul de

f^{''}

f'' reste indispensable.

Une fonction peut-elle changer plusieurs fois de convexité ?

Oui, autant de fois que

f^{''}

f'' change de signe. Un polynôme de degré

4

4 peut ainsi présenter deux points d'inflexion.

Comment présenter la conclusion ?

Par intervalles, en précisant convexe ou concave sur chacun, puis en donnant les abscisses des points d'inflexion.

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