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Méthode · Terminale spé maths

Étudier la convexité

Étudier la convexité d'une fonction, c'est déterminer où sa courbe est tournée vers le haut et où elle l'est vers le bas. Tout passe par la dérivée seconde : on dérive deux fois, on étudie le signe de f'', et on conclut — positive la fonction est convexe, négative elle est concave. Les valeurs où f'' change de signe donnent les points d'inflexion. Le piège permanent est de confondre les deux étages : f' gouverne les variations, f'' la convexité, et les deux sont indépendantes.

Les étapes

  1. 1

    Calculer f''

    On dérive deux fois.
  2. 2

    Étudier le signe de f''

    Convexe si f'' ≥ 0, concave si f'' ≤ 0.
  3. 3

    Repérer les inflexions

    Là où f'' change de signe.

Exemple corrigé

Étudier la convexité de f(x) = x³.

  1. 1.f'(x) = 3x², f''(x) = 6x.
  2. 2.f''(x) > 0 pour x > 0 (convexe), < 0 pour x < 0 (concave).
  3. 3.Point d'inflexion en x = 0.
Résultat : Concave sur ]-∞ ;0], convexe sur [0 ;+∞[.

Deuxième exemple

Étudier la convexité de f(x) = x⁴ - 6x².

  1. 1.f'(x) = 4x³ - 12x, puis f''(x) = 12x² - 12.
  2. 2.f''(x) = 12(x² - 1) s'annule en -1 et 1, et reste négative entre les deux.
  3. 3.Donc f est convexe sur ]-∞ ;-1] et sur [1 ;+∞[, concave sur [-1 ;1].
Résultat : Deux points d'inflexion, en x = -1 et x = 1.

Piège à éviter

Ne pas confondre convexité (f'') et variations (f').

Questions fréquentes

Peut-on lire la convexité sans calculer f'' ?
Sur une courbe déjà tracée, oui : là où elle forme un creux vers le haut elle est convexe. Pour une démonstration, le calcul de f'' reste indispensable.
Une fonction peut-elle changer plusieurs fois de convexité ?
Oui, autant de fois que f'' change de signe. Un polynôme de degré 4 peut ainsi présenter deux points d'inflexion.
Comment présenter la conclusion ?
Par intervalles, en précisant convexe ou concave sur chacun, puis en donnant les abscisses des points d'inflexion.

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