Comment étudier une suite récurrente ? Méthode et exemples

Q: Comment conjecturer la limite éventuelle ?

Si la suite converge vers , alors vérifie = f(). Ici 0,5 + 4 = donne = 8.

Q: Comment démontrer la conjecture de croissance ?

Par récurrence, en montrant que un+1 un se transmet d'un rang au suivant, après l'avoir vérifié au rang initial.

Les étapes

1
Partir de u₀
On applique $u_{1} = f (u_{0})$ u₁ = f(u₀).
2
Itérer
$u_{2} = f (u_{1})$ u₂ = f(u₁), $u_{3} = f (u_{2})$ u₃ = f(u₂), etc.
3
Observer
On conjecture variations et limite éventuelle.

Exemple corrigé

Calculer les premiers termes de $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}$ uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2 avec $u_{0} = 0$ u₀ = 0.

1. $u_{1} = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$ u₁ = (0 + 3)/2 = 1,5.
2. $u_{2} = \frac{1 , 5 + 3}{2} = 2, 25$ u₂ = (1,5 + 3)/2 = 2,25.
3. $u_{3} = \frac{2 , 25 + 3}{2} = 2, 625$ u₃ = (2,25 + 3)/2 = 2,625 (la suite semble croître vers $3$ 3).

Résultat :

u_{1} = 1, 5

u₁ = 1,5,

u_{2} = 2, 25

u₂ = 2,25,

u_{3} = 2, 625

u₃ = 2,625.

Deuxième exemple

Calculer les premiers termes de $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 4$ uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 4 avec $u_{0} = 0$ u₀ = 0, puis conjecturer la limite.

1. $u_{1} = 0, 5 \times 0 + 4 = 4$ u₁ = 0,5 × 0 + 4 = 4.
2. $u_{2} = 0, 5 \times 4 + 4 = 6$ u₂ = 0,5 × 4 + 4 = 6, puis $u_{3} = 0, 5 \times 6 + 4 = 7$ u₃ = 0,5 × 6 + 4 = 7.
3. $u_{4} = 0, 5 \times 7 + 4 = 7, 5$ u₄ = 0,5 × 7 + 4 = 7,5 : la suite croît en se rapprochant de $8$ 8.

Résultat : La suite semble croissante et converger vers

8

Piège à éviter

Réutiliser la valeur exacte du terme précédent à chaque étape.

Questions fréquentes

Comment conjecturer la limite éventuelle ?

Si la suite converge vers

ℓ

ℓ, alors

ℓ

ℓ vérifie

ℓ = f (ℓ)

ℓ = f(ℓ). Ici

0, 5 ℓ + 4 = ℓ

0,5ℓ + 4 = ℓ donne

ℓ = 8

ℓ = 8.

Peut-on arrondir les termes intermédiaires ?

Non : chaque terme sert au calcul du suivant, et les erreurs s'accumulent. On garde les valeurs exactes le plus longtemps possible.

Comment démontrer la conjecture de croissance ?

Par récurrence, en montrant que

u_{n + 1} \geq u_{n}

uₙ₊₁ ≥ uₙ se transmet d'un rang au suivant, après l'avoir vérifié au rang initial.

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