Exercices types · Terminale spé maths

La suite récurrente — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Premiers termes

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}

uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2,

u_{0} = 0

u₀ = 0, calculer

u_{1}

u₁ et

u_{2}

u₂.

Voir la correction

1.
$u_{1} = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$ u₁ = (0+3)/2 = 1,5.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = \frac{1 , 5 + 3}{2} = 2, 25$ u₂ = (1,5+3)/2 = 2,25.

Réponse :

u_{1} = 1, 5

u₁ = 1,5,

u_{2} = 2, 25

u₂ = 2,25.

Méthode utilisée : On calcule les termes de proche en proche.

Récurrence affine

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1

uₙ₊₁ = 2uₙ + 1,

u_{0} = 1

u₀ = 1, calculer

u_{1}, u_{2}, u_{3}

u₁, u₂, u₃.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 2 \times 1 + 1 = 3$ u₁ = 2× 1 + 1 = 3.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = 7$ u₂ = 7, $u_{3} = 15$ u₃ = 15.

Réponse :

3, 7, 15

3, 7, 15.

Avec un carré

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = u_{n}^{2}

uₙ₊₁ = uₙ²,

u_{0} = 2

u₀ = 2, calculer

u_{1}

u₁ et

u_{2}

u₂.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 2^{2} = 4$ u₁ = 2² = 4.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = 4^{2} = 16$ u₂ = 4² = 16.

Réponse :

u_{1} = 4

u₁ = 4,

u_{2} = 16

u₂ = 16.

Suite décroissante

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2}

uₙ₊₁ = uₙ/2,

u_{0} = 8

u₀ = 8, calculer

u_{1}, u_{2}, u_{3}

u₁, u₂, u₃.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 4$ u₁ = 4, $u_{2} = 2$ u₂ = 2, $u_{3} = 1$ u₃ = 1.
→ Relation de récurrence

Réponse :

4, 2, 1

4, 2, 1.

Avec soustraction

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = u_{n} - 3

uₙ₊₁ = uₙ - 3,

u_{0} = 10

u₀ = 10, calculer

u_{1}, u_{2}, u_{3}

u₁, u₂, u₃.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 7$ u₁ = 7, $u_{2} = 4$ u₂ = 4, $u_{3} = 1$ u₃ = 1.
→ Relation de récurrence

Réponse :

7, 4, 1

7, 4, 1.

Reconnaître arithmétique

Niveau 2 · Méthode complète

La suite

u_{n + 1} = u_{n} + 4

uₙ₊₁ = uₙ + 4 est-elle arithmétique ?

Voir la correction

1.
On ajoute toujours $4$ 4 : différence constante.
→ Relation de récurrence
2.
Oui, arithmétique de raison $4$ 4.

Réponse : Oui (raison

4

4).

Reconnaître géométrique

Niveau 2 · Méthode complète

La suite

u_{n + 1} = 3 u_{n}

uₙ₊₁ = 3uₙ est-elle géométrique ?

Voir la correction

1.
On multiplie toujours par $3$ 3.
→ Relation de récurrence
2.
Oui, géométrique de raison $3$ 3.

Réponse : Oui (raison

3

3).

Conjecture de limite

Niveau 3 · Type contrôle

Pour

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}

uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2,

u_{0} = 0

u₀ = 0, vers quelle valeur la suite semble-t-elle tendre ?

Voir la correction

1.
Les termes $0; 1, 5; 2, 25; 2, 625 \dots$ 0; 1,5; 2,25; 2,625… augmentent en se rapprochant de $3$ 3.
→ Relation de récurrence
2.
La suite semble tendre vers $3$ 3.

Réponse : Vers

3

Méthode utilisée : On calcule plusieurs termes pour conjecturer la limite.

Calcul de u₄

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = u_{n} + 2

uₙ₊₁ = uₙ + 2,

u_{0} = 1

u₀ = 1, calculer

u_{4}

u₄.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 3$ u₁ = 3, $u_{2} = 5$ u₂ = 5, $u_{3} = 7$ u₃ = 7.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{4} = 9$ u₄ = 9.

Réponse :

u_{4} = 9

u₄ = 9.

Problème : nénuphars

Niveau 3 · Type contrôle

Un étang est couvert par des nénuphars dont la surface augmente de

50%

50% par jour :

u_{n + 1} = 1, 5 u_{n}

uₙ₊₁ = 1,5 uₙ, avec

u_{0} = 4

u₀ = 4 m². Quelle surface au bout de

3

3 jours ?

Voir la correction

1.
$u_{1} = 1, 5 \times 4 = 6$ u₁ = 1,5× 4 = 6.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = 9$ u₂ = 9, $u_{3} = 13, 5$ u₃ = 13,5 m².

Réponse :

13, 5

13,5 m².

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