Les étapes

1
Vérifier la non-colinéarité
On vérifie que deux des vecteurs, par exemple $u$ vecteur u et $v$ vecteur v, ne sont pas colinéaires.
2
Poser la combinaison
On cherche $a$ a et $b$ b tels que $w = a u + b v$ vecteur w = a vecteur u + b vecteur v, ce qui donne un système sur les coordonnées.
3
Résoudre et conclure
On résout le système : s'il admet une solution $(a, b)$ (a,b), les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple corrigé

$u (1; 2; - 1)$ vecteur u (1 ;2 ;-1), $v (0; 1; 1)$ vecteur v (0 ;1 ;1), $w (2; 3; - 5)$ vecteur w (2 ;3 ;-5). Sont-ils coplanaires ?

1. $u$ vecteur u et $v$ vecteur v ne sont pas colinéaires.
2.On cherche $w = a u + b v$ vecteur w = a vecteur u + b vecteur v : $2 = a$ 2 = a, $3 = 2 a + b$ 3 = 2a + b, $- 5 = - a + b$ -5 = -a + b.
3.De $a = 2$ a = 2 et $3 = 4 + b$ 3 = 4 + b on tire $b = - 1$ b = -1 ; on vérifie : $- a + b = - 2 - 1 = - 3 \neq = - 5$ -a + b = -2 - 1 = -3 ≠ -5.

Résultat : Le système est incompatible :

u

vecteur u,

v

vecteur v,

w

vecteur w ne sont pas coplanaires (ils forment une base de l'espace).

Il faut vérifier toutes les coordonnées : trouver

a

a et

b

b sur deux équations ne suffit pas, la troisième doit aussi être satisfaite.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Vecteurs de l'espace, représentations paramétriques, équations de plans et produit scalaire dans l'espace.

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