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Méthode · Terminale spé maths

Trouver un point d'inflexion

Trouver un point d'inflexion se fait en trois temps : calculer la dérivée seconde, résoudre f''(x) = 0, puis vérifier que f'' change bien de signe en chaque solution. Cette dernière vérification est ce qui distingue une vraie inflexion d'une simple annulation. Une fois le rang x₀ validé, on donne les coordonnées complètes du point, (x₀ ;f(x₀)) : c'est un point du plan, pas une simple abscisse.

Les étapes

  1. 1

    Calculer f''

    On dérive deux fois.
  2. 2

    Résoudre f''(x) = 0

    On trouve les candidats.
  3. 3

    Vérifier et conclure

    Si f'' change de signe, point d'inflexion en (x₀ ;f(x₀)).

Exemple corrigé

Trouver le point d'inflexion de f(x) = x³.

  1. 1.f''(x) = 6x, nul en x = 0.
  2. 2.f'' change de signe en 0 (négatif avant, positif après).
  3. 3.f(0) = 0 : point d'inflexion (0 ;0).
Résultat : Point d'inflexion en (0 ;0).

Deuxième exemple

Trouver le point d'inflexion de f(x) = x³ - 3x².

  1. 1.f'(x) = 3x² - 6x, puis f''(x) = 6x - 6.
  2. 2.f''(x) = 0 pour x = 1, et f'' passe du négatif au positif en franchissant 1.
  3. 3.f(1) = 1 - 3 = -2.
Résultat : Point d'inflexion en (1 ;-2).

Piège à éviter

Vérifier le changement de signe : sinon, ce n'est pas une inflexion.

Questions fréquentes

Faut-il donner l'abscisse ou le point complet ?
Le point complet, avec ses deux coordonnées. Donner seulement x₀ laisse la réponse inachevée.
Comment vérifier le changement de signe ?
En dressant un tableau de signes de f'', ou en testant une valeur de part et d'autre de x₀.
Que faire si la dérivée seconde s'annule en plusieurs valeurs ?
On teste le changement de signe pour chacune : certaines donnent une inflexion, d'autres non.

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