Matrices : applications en Terminale maths expertes

Matrices : applications en Maths expertes : cours complet

Les matrices ne sont pas qu'un outil de calcul : elles modélisent des transformations, des graphes, des chaînes de Markov, des systèmes dynamiques. Voici les applications principales étudiées en Maths expertes.

Matrices et transformations du plan

Représentation d'une transformation

Toute transformation linéaire du plan s'écrit :

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$x' ; y' = M x ; y

Matrices usuelles

Rotation d'angle $\theta$θ :

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$R_θ = cos θ & -sin θ ; sin θ & cos θ

Homothétie de rapport $k$k :

$$H_k=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)=k{I}_2$$Hₖ = k & 0 ; 0 & k = k I₂

Symétrie axe Ox :

$$S_{Ox}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$S_Ox = 1 & 0 ; 0 & -1

Symétrie axe Oy :

$$S_{Oy}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$S_Oy = -1 & 0 ; 0 & 1

Composition

La composée de deux transformations correspond au produit des matrices : si $T_1$T₁ a matrice $M_1$M₁ et $T_2$T₂ a matrice $M_2$M₂, alors $T_2\circ T_1$T₂ ∘ T₁ a matrice $M_2{M}_1$M₂ M₁.

Systèmes d'équations linéaires

Écriture matricielle

$$AX=B$$AX = B

Résolution

Si $A$A est inversible : $X=A^{-1}B$X = A⁻¹ B.

Sinon : il y a soit aucune solution, soit une infinité (selon la compatibilité).

Récurrences linéaires

Récurrence d'ordre 2

Soit $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$uₙ₊₂ = a uₙ₊₁ + b uₙ. On peut écrire :

$$\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_{n+2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ u_{n+1}\end{array}\right)$$uₙ₊₁ ; uₙ₊₂ = 0 & 1 ; b & a uₙ ; uₙ₊₁

D'où :

$$\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ u_{n+1}\end{array}\right)=M^n\left(\begin{array}{c}{u}_0\\ u_1\end{array}\right)$$uₙ ; uₙ₊₁ = Mⁿ u₀ ; u₁

Exemple : suite de Fibonacci

$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ

$$M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$M = 0 & 1 ; 1 & 1

$$\left(\begin{array}{c}{F}_n\\ F_{n+1}\end{array}\right)=M^n\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$Fₙ ; Fₙ₊₁ = Mⁿ 0 ; 1

Chaînes de Markov

Définition

Un système qui passe d'un état à un autre avec des probabilités données. Représenté par une matrice de transition :

$$P_{ij}=P(\text{eˊtat }j|\text{eˊtat }i)$$Pᵢⱼ = P( état j | état i)

Évolution

Si $X_n$Xₙ est la distribution de probabilité à l'étape $n$n (vecteur ligne) :

$$X_{n+1}=X_n\times P$$Xₙ₊₁ = Xₙ × P

État stationnaire

C'est un vecteur $X$X tel que $X=XP$X = XP (vecteur propre à gauche pour la valeur propre $1$1).

Exemple : météo

États : « soleil » (S), « pluie » (P). Matrice :

$$P=\left(\begin{array}{cc}0,8& 0,2\\ 0,4& 0,6\end{array}\right)$$P = 0,8 & 0,2 ; 0,4 & 0,6

(Probabilité $0,2$0,2 qu'après un jour de soleil il pleuve, etc.)

État stationnaire : on résout $XP=X$XP = X avec $X=(x,1-x)$X = (x, 1-x).

$$0,8x+0,4(1-x)=x⟹0,4-0,6x=0⟹x=\frac{2}{3}$$0,8 x + 0,4 (1 - x) = x ⇒ 0,4 - 0,6 x = 0 ⇒ x = 2/3

Donc à long terme : $\frac{2}{3}$2/3 de jours de soleil, $\frac{1}{3}$1/3 de jours de pluie.

Modèles démographiques

Modèle de Leslie

Modélise une population structurée par âge avec une matrice :

$$N_{n+1}=L\times N_n$$Nₙ₊₁ = L × Nₙ

où $L$L contient les taux de fécondité et de survie.

Long terme

Le comportement asymptotique dépend des valeurs propres de $L$L.

Modèles économiques

Modèle entrée-sortie de Leontief

Représente les flux entre secteurs économiques. Solution :

$$X=(I-A{)}^{-1}D$$X = (I - A)⁻¹ D

où $A$A est la matrice technologique, $D$D la demande finale.

Graphes

Matrice d'adjacence

Pour un graphe à $n$n sommets, $A_{ij}=1$Aᵢⱼ = 1 si $i$i et $j$j sont reliés, $0$0 sinon.

Compter les chemins

Le nombre de chemins de longueur $k$k entre $i$i et $j$j est donné par $(A^k{)}_{ij}$(A^(k))ᵢⱼ.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvaise composition : $T_2\circ T_1$T₂ ∘ T₁ correspond à $M_2{M}_1$M₂ M₁, dans cet ordre.
• Confondre vecteur ligne et colonne.
• Mauvaise lecture d'une matrice de transition (probabilités par lignes vs colonnes).
• Calculer $M^n$Mⁿ par produit direct quand $n$n est grand : préférer la diagonalisation.

FAQ — Matrices : applications

À quoi servent les chaînes de Markov ?

À modéliser météo, jeux, réseaux, files d'attente, algorithmes de Google (PageRank), apprentissage automatique.

Comment calculer une grande puissance de matrice ?

Par diagonalisation (si possible) : $M^n=P{D}^n{P}^{-1}$Mⁿ = P Dⁿ P⁻¹ où $D$D est diagonale.

Pourquoi étudier les valeurs propres ?

Elles déterminent le comportement à long terme des systèmes dynamiques.

Les matrices sont-elles utilisées en IA ?

Massivement : tous les réseaux de neurones sont des produits de matrices.