Nombres complexes (forme algébrique) en Terminale maths expertes

Nombres complexes (forme algébrique) en Maths expertes : cours complet

Les nombres complexes étendent les nombres réels en introduisant un nouveau nombre $i$i tel que $i^2=-1$i² = -1. Ils résolvent toutes les équations polynomiales et sont fondamentaux en mathématiques, physique, ingénierie.

Introduction

Le nombre $i$i

$$i^2=-1$$i² = -1

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$z s'écrit de manière unique :

$$z=a+ib(a,b\in \mathbb{R})$$z = a + ib (a, b ∈ ℝ)

• $a=\text{Re}(z)$a = Re (z) : partie réelle.
• $b=\text{Im}(z)$b = Im (z) : partie imaginaire.

Cas particuliers

• $b=0$b = 0 : $z$z est réel.
• $a=0$a = 0 : $z$z est imaginaire pur.

L'ensemble $\mathbb{C}$ℂ

L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$ℂ, et $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ℝ ⊂ ℂ.

Opérations

Addition

$$(a+ib)+(a^{\prime }+i{b}^{\prime })=(a+a^{\prime })+i(b+b^{\prime })$$(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')

Multiplication

$$(a+ib)(a^{\prime }+i{b}^{\prime })=(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })+i(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b)$$(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)

Exemple

$$(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i+6=8-i$$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i + 6 = 8 - i

Conjugué

Définition

$$\overline{z}=a-ib$$z̅ = a - ib

Propriétés

$$z+\overline{z}=2a=2\text{Re}(z)$$z + z̅ = 2a = 2 Re (z)

$$z-\overline{z}=2ib=2i\text{Im}(z)$$z - z̅ = 2ib = 2i Im (z)

$$z\times \overline{z}=a^2+b^2\in {\mathbb{R}}_{+}$$z × z̅ = a² + b² ∈ ℝ₊

Conjugué et opérations

$$\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$$z + z'̅ = z̅ + z'̅

$$\overline{z\times z^{\prime }}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$$z × z'̅ = z̅ × z'̅

$$\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$$(z/z')̅ = z̅/z'̅

Module

Définition

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}$$|z| = √(a² + b²) = √(z z̅)

C'est la distance à l'origine dans le plan complexe.

Propriétés

$$|z|\ge 0;|z|=0⟺z=0$$|z| ≥ 0 ; |z| = 0 ⇔ z = 0

$$|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$$|z z'| = |z| × |z'|

$$\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$$|z/z'| = |z|/|z'|

$$|\overline{z}|=|z|;|z{|}^2=z\overline{z}$$|z̅| = |z| ; |z|² = z z̅

Inverse d'un nombre complexe

$$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$$1/z = z̅/(z z̅) = z̅/|z|²

Exemple

$$\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{4+9}=\frac{2-3i}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i$$1/(2 + 3i) = (2 - 3i)/(4 + 9) = (2 - 3i)/13 = 2/13 - 3/13 i

Division

Pour calculer $\frac{z}{z^{\prime }}$z/z', on multiplie haut et bas par $\overline{z^{\prime }}$z'̅ :

$$\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{z\overline{z^{\prime }}}{|z^{\prime }{|}^2}$$z/z' = (z z'̅)/|z'|²

Exemple

$$\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{9+1}=\frac{3+i+6i-2}{10}=\frac{1+7i}{10}$$(1 + 2i)/(3 - i) = ((1 + 2i)(3 + i))/(9 + 1) = (3 + i + 6i - 2)/10 = (1 + 7i)/10

Représentation graphique

Dans un repère orthonormé, on associe à $z=a+ib$z = a + ib le point $M(a;b)$M(a ; b).

• L'image de $z$z est $M$M.
• L'affixe de $M$M est $z$z.

Distance et module

$$OM=|z|$$OM = |z|

Distance entre deux points

$$AB=|z_B-z_A|$$AB = |z_B - z_A|

Équations dans $\mathbb{C}$ℂ

Équation du second degré à coefficients réels

$$a{z}^2+bz+c=0$$az² + bz + c = 0

Si $\Delta =b^2-4ac$Δ = b² - 4ac :

• $\Delta >0$Δ > 0 : 2 solutions réelles.
• $\Delta =0$Δ = 0 : 1 solution réelle (double).
• $\Delta <0$Δ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées :

$$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$$z_1,2 = (-b ± i√(-Δ))/2a

Exemple

$z^2+z+1=0$z² + z + 1 = 0 : $\Delta =-3$Δ = -3.

$$z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$$z = (-1 ± i√(3))/2

Erreurs fréquentes à éviter

• $i^2=-1$i² = -1 : ne pas oublier.
• Mauvaise multiplication : développer comme un binôme algébrique.
• Diviser sans conjugué : pour diviser, multiplier par $\overline{z^{\prime }}$z'̅.
• Confondre module et carré du module.

FAQ — Nombres complexes (algébrique)

Pourquoi inventer les complexes ?

Pour pouvoir résoudre toutes les équations polynomiales ($x^2+1=0$x² + 1 = 0 n'a pas de solution réelle).

À quoi servent les complexes ?

À la physique (oscillations, ondes, électricité), à l'ingénierie (signal), à la mécanique quantique, aux mathématiques (fonctions analytiques).

Pourquoi $z\overline{z}\in \mathbb{R}$z z̅ ∈ ℝ ?

Car $z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$z z̅ = (a + ib)(a - ib) = a² + b², qui est réel positif.

Comment représenter graphiquement les complexes ?

Dans le plan complexe (ou « plan d'Argand-Cauchy ») : un point $M(a;b)$M(a ; b) représente $z=a+ib$z = a + ib.