Équations polynomiales dans ℂ en Terminale maths expertes

Équations polynomiales dans $\mathbb{C}$ℂ en Maths expertes : cours complet

Dans $\mathbb{C}$ℂ, toute équation polynomiale admet des solutions (théorème fondamental de l'algèbre). Tu apprends à résoudre les équations du second degré et à factoriser les polynômes.

Équation du second degré à coefficients réels

Forme

$$a{z}^2+bz+c=0(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0)$$az² + bz + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0)

Discriminant

$$\Delta =b^2-4ac$$Δ = b² - 4ac

Solutions

Exemple

$z^2-2z+5=0$z² - 2z + 5 = 0 : $\Delta =4-20=-16$Δ = 4 - 20 = -16.

$$z=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$$z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i

Somme et produit des racines

Pour $a{z}^2+bz+c=0$az² + bz + c = 0 :

$$z_1+z_2=-\frac{b}{a};z_1\times z_2=\frac{c}{a}$$z₁ + z₂ = -b/a ; z₁ × z₂ = c/a

(Valable aussi dans $\mathbb{C}$ℂ.)

Théorème fondamental de l'algèbre

Énoncé

Tout polynôme de degré $n\ge 1$n ≥ 1 à coefficients dans $\mathbb{C}$ℂ admet exactement $n$n racines (comptées avec leur multiplicité) dans $\mathbb{C}$ℂ.

Conséquence

Tout polynôme se factorise en produit de termes du premier degré :

$$P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)$$P(z) = aₙ (z - z₁)(z - z₂) … (z - zₙ)

Polynôme à coefficients réels

Propriété

Si $P$P a des coefficients réels et que $z_0$z₀ est racine, alors $\overline{z_0}$z₀̅ est aussi racine.

Conséquence

Un polynôme à coefficients réels se factorise dans $\mathbb{C}$ℂ en produit de :

• termes du premier degré $(z-r)$(z - r) (racines réelles),
• termes du second degré $(z^2+bz+c)$(z² + bz + c) avec $\Delta <0$Δ < 0 (paires de racines complexes conjuguées).

Factorisation par racine évidente

Méthode

Si $r$r est racine d'un polynôme $P$P de degré $n$n, on peut écrire :

$$P(z)=(z-r)\times Q(z)$$P(z) = (z - r) × Q(z)

où $Q$Q est de degré $n-1$n - 1.

Identification

On retrouve les coefficients de $Q$Q par identification ou division euclidienne.

Exemple

Résoudre $z^3-3z^2+4z-2=0$z³ - 3z² + 4z - 2 = 0.

Étape 1 : tester $z=1$z = 1 : $1-3+4-2=0$1 - 3 + 4 - 2 = 0 ✓.

Étape 2 : $P(z)=(z-1)(z^2+az+b)$P(z) = (z - 1)(z² + az + b).

Par identification : $a=-2$a = -2, $b=2$b = 2.

$$P(z)=(z-1)(z^2-2z+2)$$P(z) = (z - 1)(z² - 2z + 2)

Étape 3 : $z^2-2z+2=0$z² - 2z + 2 = 0, $\Delta =-4$Δ = -4, $z=1\pm i$z = 1 ± i.

Solutions : $z\in \{1,1+i,1-i\}$z ∈ {1, 1 + i, 1 - i}.

Équations bicarrées

$$a{z}^4+b{z}^2+c=0$$az⁴ + bz² + c = 0

On pose $Z=z^2$Z = z², on résout $a{Z}^2+bZ+c=0$aZ² + bZ + c = 0, puis on revient à $z$z.

Exemple

$z^4+z^2-2=0$z⁴ + z² - 2 = 0. Poser $Z=z^2$Z = z² : $Z^2+Z-2=0$Z² + Z - 2 = 0, $Z=1$Z = 1 ou $Z=-2$Z = -2.

• $z^2=1⟹z=\pm 1$z² = 1 ⇒ z = ± 1.
• $z^2=-2⟹z=\pm i\sqrt{2}$z² = -2 ⇒ z = ± i √(2).

Racines $n$n-ièmes d'un complexe

Théorème

L'équation $z^n=w$zⁿ = w (avec $w=r{e}^{i\phi }$w = r e^(iφ), $w\ne 0$w ≠ 0) admet exactement $n$n solutions :

$$z_k=r^{1/n}{e}^{i(\phi +2k\pi )/n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$zₖ = r^(1/n) e^(i(φ + 2kπ)/n) (k = 0, 1, …, n-1)

Géométriquement

Les solutions forment un polygone régulier à $n$n sommets sur le cercle de rayon $r^{1/n}$r^(1/n).

Exemple : racines cubiques de $8$8

$z^3=8=8e^0$z³ = 8 = 8 e⁰. Solutions :

$$z_k=2e^{2ik\pi /3},k=0,1,2$$zₖ = 2 e^(2 i k π / 3), k = 0, 1, 2

soit $2,2e^{2i\pi /3}=-1+i\sqrt{3},2e^{-2i\pi /3}=-1-i\sqrt{3}$2, 2 e^(2iπ/3) = -1 + i√(3), 2 e^(-2iπ/3) = -1 - i√(3).

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier les racines complexes : si $\Delta <0$Δ < 0, deux solutions complexes.
• Mauvaise identification lors de la factorisation : vérifier en redéveloppant.
• Confondre racine et solution.
• Oublier les conjuguées : si $z_0$z₀ est racine d'un poly réel, $\overline{z_0}$z₀̅ aussi.

FAQ — Équations polynomiales complexes

Pourquoi toujours $n$n racines dans $\mathbb{C}$ℂ ?

Théorème fondamental de l'algèbre : démonstration profonde, mais constat puissant.

Comment trouver une racine évidente ?

Tester $0,\pm 1,\pm 2$0, ± 1, ± 2, ou les diviseurs du coefficient constant.

À quoi servent les racines complexes ?

À la physique (oscillateurs, traitement du signal), à l'ingénierie, aux automatiques, à la mécanique quantique.

Le second degré a-t-il toujours deux solutions ?

Oui dans $\mathbb{C}$ℂ : éventuellement confondues si $\Delta =0$Δ = 0, ou complexes conjuguées si $\Delta <0$Δ < 0.