Géométrie des nombres complexes en Terminale maths expertes

Géométrie des nombres complexes en Maths expertes : cours complet

Les nombres complexes permettent de calculer en géométrie : distances, angles, rotations, similitudes. C'est une approche très puissante pour démontrer des propriétés géométriques.

Affixe et image

À tout point $M(a;b)$M(a ; b) on associe son affixe $z=a+ib$z = a + ib. Inversement, à $z$z correspond son image $M$M.

Calculs géométriques

Distance entre deux points

$$AB=|z_B-z_A|$$AB = |z_B - z_A|

Milieu d'un segment

L'affixe du milieu de $[AB]$[AB] est :

$$z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$$z_I = (z_A + z_B)/2

Vecteur

$$\overrightarrow{AB}\text{ a pour affixe }{z}_B-z_A$$vecteur AB a pour affixe z_B - z_A

Angles

Angle orienté

Pour trois points $A,B,C$A, B, C distincts :

$$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg \left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)(\text{mod }2\pi )$$( vecteur AB , vecteur AC ) = arg((z_C - z_A)/(z_B - z_A)) ( mod 2π)

Conséquences

$$A,B,C\text{ aligneˊs}⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$$A, B, C alignés ⇔ (z_C - z_A)/(z_B - z_A) ∈ ℝ

$$(AB)\perp (AC)⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}$$(AB) ⊥ (AC) ⇔ (z_C - z_A)/(z_B - z_A) ∈ iℝ

Transformations géométriques

Translation de vecteur $\vec{u}$vecteur u d'affixe $b$b

$$z^{\prime }=z+b$$z' = z + b

Homothétie de centre $\Omega$Ω (d'affixe $\omega$ω) et de rapport $k$k

$$z^{\prime }=k(z-\omega )+\omega$$z' = k(z - ω) + ω

Rotation de centre $\Omega$Ω et d'angle $\theta$θ

$$z^{\prime }=e^{i\theta }(z-\omega )+\omega$$z' = e^(iθ) (z - ω) + ω

Cas particulier : rotation autour de l'origine

$$z^{\prime }=e^{i\theta }z$$z' = e^(iθ) z

Similitudes directes

Une similitude directe est la composée d'une homothétie et d'une rotation. Son écriture complexe est :

$$z^{\prime }=az+b(a\ne 0)$$z' = az + b (a ≠ 0)

Caractéristiques

• Rapport $k=|a|$k = |a|.
• Angle $\theta =\arg (a)$θ = arg(a).
• Centre : point fixe $\Omega$Ω vérifiant $\omega =a\omega +b$ω = aω + b, soit $\omega =\frac{b}{1-a}$ω = b/(1 - a) (si $a\ne 1$a ≠ 1).

Exemple

$z^{\prime }=(1+i)z$z' = (1 + i) z : $a=1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$a = 1 + i = √(2) e^(iπ/4) → rotation d'angle $\pi /4$π/4 et homothétie de rapport $\sqrt{2}$√(2) centrée en $0$0.

Cercles et droites

Cercle de centre $\Omega$Ω (affixe $\omega$ω) et de rayon $r$r

$$|z-\omega |=r$$|z - ω| = r

Médiatrice de $[AB]$[AB]

$$|z-z_A|=|z-z_B|$$|z - z_A| = |z - z_B|

Droite passant par $A$A et $B$B

L'ensemble des $z$z tels que $\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$(z - z_A)/(z_B - z_A) ∈ ℝ.

Cocyclicité

Quatre points distincts $A,B,C,D$A, B, C, D sont cocycliques (sur un même cercle) ou alignés ssi :

$$\frac{z_C-z_A}{z_C-z_B}\times \frac{z_D-z_B}{z_D-z_A}\in \mathbb{R}$$(z_C - z_A)/(z_C - z_B) × (z_D - z_B)/(z_D - z_A) ∈ ℝ

Exemples d'applications

Démontrer qu'un triangle est équilatéral

$ABC$ABC équilatéral direct $⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\pi /3}$⇔ (z_C - z_A)/(z_B - z_A) = e^(iπ/3).

Identifier une transformation

Reconnaître la transformation $z^{\prime }=-iz+2$z' = -i z + 2 :

• $|a|=1$|a| = 1 : isométrie.
• $\arg (a)=-\pi /2$arg(a) = -π/2 : rotation d'angle $-\pi /2$-π/2.
• Centre : $\omega =\frac{2}{1-(-i)}=\frac{2}{1+i}=1-i$ω = 2/(1 - (-i)) = 2/(1 + i) = 1 - i.

C'est une rotation de centre $1-i$1 - i et d'angle $-\pi /2$-π/2.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvais sens de l'angle orienté : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$( vecteur AB , vecteur AC ), pas l'inverse.
• Confondre alignement et perpendicularité : $\in \mathbb{R}$∈ ℝ vs $\in i\mathbb{R}$∈ iℝ.
• Mauvais centre de transformation : utiliser la bonne formule.
• Oublier le « mod $2\pi$2π » pour les arguments.

FAQ — Géométrie complexe

Pourquoi utiliser les complexes en géométrie ?

Parce que les calculs (rotation, translation, etc.) deviennent plus simples qu'avec les coordonnées cartésiennes.

Comment voir si trois points sont alignés ?

Le rapport $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$(z_C - z_A)/(z_B - z_A) doit être réel.

À quoi servent les similitudes ?

À modéliser les transformations de figures, en particulier les homothéties et rotations combinées. Très utilisé en infographie, géométrie projective.

Une rotation conserve-t-elle les distances ?

Oui : c'est une isométrie. Une homothétie de rapport $|k|\ne 1$|k| ≠ 1 ne conserve pas les distances.